圆锥曲线直线与圆锥曲线地位置关系

1、实用标准文案直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、 直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，x2 y2、下面以直线y kx m和椭圆：二 21 a b 0为例a by kx m（1 ）联立直线与椭圆方程：2 22 22 2b x a y a b（2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x），代入椭圆方程得到2 2 2 2 2 2关于主变量的一元二次方程：b x a kx m a b ，整理可得：a2k2 b2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0

2、（3 ）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 0 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 0 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 0 方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定2 2以直线y kx m和椭圆：271 a b 0为例：a by kx m（1 ）联立直线与双曲线方程：2 22 22 2，消元代入后可得：b x a y a bb2 a2k2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0(2)

3、与椭圆不同，在椭圆中，因为 a2k2 b20，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为b2 a2k2，有可能为零。所以要分情况进行讨论22 2b当b a k 0 k且m0时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲a线相交，只有一个公共点bb当b a k 0k 时，常数项为a m a b 0，所以0恒成立，此aa时直线与双曲线相交当b22 2a k0 k b 或 ka-时，直线与双曲线的公共点个数需要用a判断0方程有两个不同实根直线与双曲线相交0方程有两个相同实根直线与双曲线相切0方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数

4、来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相 同的根，则为相切(3) 直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为,a U a,，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x a时，点位于双曲线的右支;当 x a时，点位于双曲线的左支。对于方程:b2a2k22 a2kxm aa2b20,设两个根为x1,x2当b2 a2k2K时，则ab2a2k20，所以xi,x异号，即文档交点分别位于双曲线的左,当b2 a2k20 k -或a0时,x1x22 2 2 2a ma b22 20，所以b2a2k2Xi,X2同号，即交点位

5、于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2 ）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点一刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位a置关系的判定b k -且m 0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程a中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 一 k b时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直a a线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。2 2 2 一 一 b a k 0 k 或k 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得:aa直线不一定与双曲线有

6、公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离21、位置关系的判定：以直线 y kx m和抛物线：y 2px p 0为例y kx m2联立方程： 2kx m2px，整理后可得：y2 2px2 2 2k x 2km 2p x m 0（1 ）当k 0时，此时方程为关于 x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当k 0时，则方程为关于 x的二次方程，可通过判别式进行判定 0 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 0 方程有两个相同实根直线与抛物线相切 0 方程没有实根直线与抛物线相离2、 焦点弦问题

7、：设抛物线方程：y2 2px，过焦点的直线（斜率存在且 k 0），对应倾斜角为与抛物线交于A Xi，yi ,BX2，y22y 2px联立方程:k22px，整理可得:k2x2k2p2pk2p4(1)xiX22P4y2(四)ABSVAOBXiX2k2pk2p22k2p 2pk22p2p1tan2dO lAB2pOF2cossin2P sin2圆锥曲线问题的解决思路与常用公式:sinABsin2P.2sin2P2si n1、直线与圆锥曲线问题的特点:（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉）（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设A x1, y1 , B x2,y2 ，至

8、于A, B坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3 ）通过联立方程消元，可得到关于X （或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出X1,X2,y1,y2 （所谓“设而不求”）（4 ）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是 “以一个（或两个）核心变量为中心，以交点A x1,y1 ,B x2,y2为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（为x2,XiX2,yi y2,y2，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次方程的系数运算

9、来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个： 一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算； 二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1 ）斜截式：y kx m

10、，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件（2）x my b，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方2程后消去x时使用，多用于抛物线y 2px （消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直1接体现斜率，当m 0时，斜率k ml上两点 A yi ,B X2,y2 ,所以(1)AB证明:AB-i k2XiX2 或 AB因为A Xi,yi ,B X2, y2在直线l上,2 2XiX2yiy2，代入yiy2yiy2所以k音kx2yiy2kxi mkx2 mm可得:m4、弦长公

11、式：（已知直线上的两点距离） 设直线l:y kx m，22 I22AB Jx1x2kx1mkx2m Jx1x2kx1x2Jik2 J 论 x2 $k2 x-i x2I-同理可证得| AB i- |yi y（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果 A, B为直线与曲线的交点（即 AB 为曲线上的弦），贝V xi X2 （或 y- y2 ） 可进行变形： x-i x2 JXix2 2 JXX4XjX2，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方2 2x y 程二 21 a b 0为例,a2 b2设直线ykxm与椭圆

12、交于A为， ,B x?, y?两点,则该两点满足椭圆方程，有:yb2y；b2考虑两个方程左右分别作差,并利用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系:丄2axi2212 2X1X2-ry1y20b1x2 x1 x2-7 y1by2 y1 y2o由等式可知：其中直线x1x22y2_02AB的斜率k% y2X1x2AB中点的坐标为X1X2 y1y22AB的斜率与AB中点代B坐标的平方差问这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线 的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及 题中也可使用点差法。、典型例题2 2XV一例1 ：不论k为何值，直线y kx 1与椭圆1有

13、公共点，则实数 m的取值范围7 m是（ ）A. 0,1B. 1,C. 1,7 U 7,D. 0,7思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去y ），得到关于x的二次方程，因为直线与椭圆有公共点，所以0在x R恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可y kx 122解： 22mx 7 kx 17m，整理可得：mx 7y 7mm 7k2 x2 14kx 7 7m 0214k4m 7 k27 7m 0即1m 7k20 m7k2 1m7k211maxQm7m1,7 U7,思路二：从所给含参直线y kx 1入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直线均与2 2椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆

14、上，所以代入0,1后 丄 1，即7 m11 m 1，因为是椭圆，所以 m 7,故m的取值范围是1,7 U 7,m答案：C小炼有话说：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键（2）本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以 m 72 2,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有x y例2:已知双曲线1的右焦点为124个交点，则此直线斜率的取值范围是（A.b.

15、 J3, J3C.思路:2x由一122y41可得渐近线方程为:若过右焦点的直线与右支只有一个交占八、的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即答案：C 小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下:2 2由121可知F 4,0，设直线l:y kx 4，联立方程可得:2 x3y21222212，整理后可得:x3k x4yk x413k2 x224k2x48k2120当13k20 k3时，8x280 x 7 ,即位于双曲线右支,符合题意32当13k20时，2 224k241 3k248k21248 k21 0直线与双曲线必有两个交点，设为,仏,X2，y2因为直线与双曲

16、线的右支有且只有一个交点X-|X20，即48k2121 3k23k2103 k 33综上所述：k 33例3 :已知抛物线C的方程为x2过点A 0,和点B t,3的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是（A.,1 U 1,B.C.D.2U .2,思路:由A,B两点可确定直线 AB的方程（含t），再通过与抛物线方程联立，利用可得到关于t的不等式，从而解得t的范围解：若t 0 ,则直线AB :x 0与抛物线有公共点，不符题意AB: y 4x 1，与椭圆联立方程:12y4x 1t2tx2 4xQ直线与抛物线无公共点16 8t2答案：D例4 :过双曲线x22 1的右焦点F作直线I交双曲线于 A,

17、B两点，若实数2使得AB的直线恰有3条，则思路:由双曲线方程可知F .3,0，当I斜率不存在时，可知AB为通径，计算可得:AB4，当I斜率存在时，设直线I : y k x . 3，与椭圆方程联立，利用弦长公式可得AB2 24 1 k4 1 k为关于k的表达式，即2 k22 k2。可解得：k2-4或42242424k2。若0或0，即2时，可得k 0,仅有一解，不符444题意。若24 0且-一4 0，则每个方程只能无解或两解。所以可知当4时,44方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。符合题意，所以42解：由双曲线 x2 L 1 可得 a 1,b、2,c.3F .3,0 ，2当AB斜率不存在

18、时，I的方程为x .32b2AB为通径，即AB4a若直线I斜率存在，不妨设为 k则设I : y k x 灵，AXi,%,BX2,y22x22y2L 2联立直线与椭圆方程：yk x消去y可得：2x k x %132，整理可得2 k2 x2 /3k2x3k2202尿2 24 2k23k22216k16AB Ji k2 x, x2Ji k2厂4 1 k22 k2|2 k2224224可得：k2或k244当2一4 0时，即2，则方程的解为k 0，只有一解，不符题意424同理，当0,即2，则方程的解为k 0,只有一解，不符题意4当2一4 0且2 4 0时，则每个方程的解为 0个或两个，总和无法达到 3个

19、，不符44题意所以若AB的直线恰有3条，只能2满足条件的直线AB的方程为:4，方程解得：kx 3， y乎x -答案： 42x例5:已知椭圆432y1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4xm对称，则的取值范围是（A.1313,1313B.2.13132, 1313C.,131313D.2.13132 1313思路:3 %x2 x1 x2A X%,BX22则有3x24y；3x24y；4 y1y2*，中点坐标为设椭圆上两点中点问题想到点差法,123x212x；42xo，则有2yoXiyiX2，由 y2y2 y；0,变形可得:y；0由对称关系和对称轴方程可得，直线AB的斜率k -4M上，所以方程

20、转化为:x-i x26xo8yoyo 3xo ，由对称性可知 AB中点Xo,y。在对称轴上，所以有yo 4x。 m，所以解得：yo3m依题意可得:占八、x,y必在椭圆内，2 2所以有3X0 4y。12,代入可得：2212 ,2用2 .133 m43m解得：m 1313答案：D例6 :过点M2,0的直线2(X2m与椭圆y21交于R,F2两点，线段RP2的中点为P ,设直线m的斜率为& 0，直线OP的斜率为k2，则kh的值为（)11A. 2B.2C.D.22思路一：已知m与椭圆交于P|, P2两个基本点，从而设R x.,y1 ,P2 x2, y2 ，可知x1x2P x1 互， 辿，即k2 出一，从

21、结构上可联想到韦达定理， 设m:y k1 x 2，2 22X联立椭圆方程：2y2 i2k：X28ki2X 8ki220 ，可得：XiX28ki22ki2 iyiy2kiXiX24k14ki2k2-，则k2，即i2k1k1k2思路二:线段PiP2为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问2Xi题可用“点差法”，设P Xi，yi ,F2 X2，y2 ，则有22X222yi2y2i，两式作差，可得:i1 22 Xi2X22yi2y201 XiX22XiX2yiy2yiy20，发现等式中出现与中点和PF2斜率相关的要素，其中XiX22yiy22，所以k2yi y2XiX2，且ki

22、jXiX21 yiy2，所以等式化为iy2yiy2XiX2XiX2kik20 ,所以 kik2答案：D 小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。（1 ）涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜 率的联系（2 ）涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法2例7:已知点A i,2在抛物线C : y4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D,E，直线AD,AE的斜率分别为kAD,kAE，若直线DE过点P i, 2，则kAD kAE （）A. 4B. 3C. 2D. i思路：设D Xi,yi ,E X2,y2，进而所求kAD k

23、AE%y22 %y2XiX2XiX24所以可从直线DE入手，设直线DE : y 2k x i，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简kAD kAE2解：设 D Xi,yi ,E X2,y2y22x21yi2y22yM2 yiy24 iXiiX21%x2XiX2设 P i, 2，则 DE:y2k xi联立方程：y2 4x消去X可得：y 2 kXiky2 4y4k 80yiy24,yiy2 k4k8kX-IX2yiy242k44k2k2xz xz2yiy2k2 4k 4kk2i入2i6k2k24k 44 4k 2 k2k2k2答案：C例8 :已知抛物线C : y24x的焦点为F ,过点F的直线l交

24、抛物线于M , N两点，且代入可得:2B. 2 2MF 2 NF，则直线I的斜率为（）思路一-：从点的坐标出发，因为M,F,N三点共线，从而MF2 NF可转化为ULLTLULTMF2NF ，考虑将向量坐标化，Fi,0 ，设 M,N X2，y2，有uurULLTMFi xi, yi ,NF i x2, y2，所以yi2y2，设直线I : Xmy i，联立抛物A. 2D.线方程消元后可得：y 4my 4 0 ,利用韦达定理可得： 4m，再结合yy4y 2y，消去yi, y即可得m2，直线i：x4Tyi，即可得到斜率为2二思路二：从所给线段关系MF 2 NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑

25、M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形 PMNQ，由抛物线定义可知:MP MF , NQ NF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为PMF。不妨设M在第一象限。考虑将角放入直角三角形， 从而可过N作NT MP于T，则tanNMT|TM|因为 |MF 2 NF 而 TM| I PM PT PM QN MF |NF NF ，且 MN| |MF| NF| 3 NF，利用勾股定理可得：|T叫MN|2 |MT2血| NF|， 从而tan NMT TN 2/2，即 k 2y2， 当M在第四象限时，同理，可得 k 2/2|TM|综上所述：k 2一2答案：B2X2例9:如图，在平面直角坐标系xO

26、y中，椭圆y 1的左、右焦点分别为Fi,F2，设A, B2AF1与直线BF2平行，y2眼，则直线AF1的斜3是椭圆上位于 x轴上方的两点，且直线AF2 与 BF1 交于点 P， AF1|BF2率是（）B. 、2D. 1思路：先设出直线 AF1 : xmy 1,BF2 : xmy 1，只需一个等量条件即可求出m，进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程,分别解出A,B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用示 AF-i, BF2: AF|.2 m2 1 m ._1m22、2m21 mm212，可将已m22知等式转化为关于m的方程，从而解出m 1，所以斜率为解：由椭圆方程可得：F11,0，1,0设 AF1 : x

27、 my 1,BF2: xmyA xnyi ,B X2,y2，依图可知：y1 0,y2 0联立AF1与椭圆方程可得:2y21 my 1my 12y21,整理可得:22 y 2my 102m 2 2 m212 m22m22y1AF1 2 m2 1m22L 1m2 y1讨 f同理可得:BF2AF1bf2.1m2 y1m m212 ”23直线AF1的斜率k答案：D1m . m21m222 m21m、m21m22，解得:小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算AF1 , BF2使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上,便于消去X得到关于y的方程m22时，抓住焦点的纵坐标为本题采用x my的特点,b的形式以1(2 )直线方程x my b，当m 0时，可知斜率k与m的关系为：k m2 2例10 :过椭圆-1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A, B,C,D四43点，则-11-的值为()ABCD11A.-B. 8