数值分析第4章答案

1、第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h hf(x)dx Aif( h) Aof(O) AJ(h);2h(2) 2h f(x)dx Aif( h) Aof(O) Af(h)；1 lf(x)dx f( 1) 2f(Xi) 3f(X2)/3;h 2。f(x)dx hf(O) f(h)/2 ah2 f (0) f (h);解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h(1)若 (1) h f (x)dx A 1f

2、 ( h) Aof (0) Af(h)令f(x)1，则2h A1 A) A1令f(x) x，则0 A 1h Ah2令f (x) X ,则2 322h3 h2A1 h2A3从而解得Ao 4h3A3A1 h3令 f (x) x3，则hh3f (x)dxx3dx 0hhA1f (h)Af(0)A1f(h)0h故 h f (x)dx A 1f ( h) A)f(0) Af(h)成立。令 f (x) x4，则hhf(x)dxh425x dxhh5A1f ( h)A)f (0) A1f (h) |h5故此时，hhf(x)dxAf h) A0 f (0) A1f (h)h故 hf(x)dx A 1f( h)

3、 A)f(O) Af(h)具有3次代数精度。2h(2)若 2hf(x)dx Aif( h) Aof (0) Aif(h)令f(x)1，则4h A1A1令f(x) x，则 0 A 1h Ahh3 h2Ai h2Ai3从而解得Ao4hA 8h3A18h3令 f (x) x3，则02h2hf(x)dx2h x3dx2hA1f ( h) Aof (0) A1f(h) 02h故 2h f(x)dx A1f( h) A)f (0) A,f(h)成立。2h2hf(x)dx2h x4dx2h64h516 5Aif( h) Aof(0) Af(h) -h53故此时，2h2hf (x)dxAif( h) Aof

4、(0) Aif(h)因此，2h“f(x)dx Aif ( h) Aof (0) Aif(h)具有3次代数精度。i(3) 若 i f (x)dx f( i) 2f (xi) 3f (x2)/ 3 令f(x) i，则iif(x)dx 2f( i)2f (xi) 3f (x2)/ 3令f(x) x，则0 i 2x-i 3x2令f (x) X ,则2 22 i 2xi 3x2从而解得x.0.2899xi 0.6899或ix2 0.5266x2 0.i266令 f (x) x3，则ii 31 f (x)dx /dx 0f ( i) 2f (xi) 3f(x2)/ 30i故 1 f (x)dx f( i)

5、 2f(xJ 3f (x2)/ 3 不成立。因此，原求积公式具有 2次代数精度。h2f (h)(4) 若 0 f(x)dx h f (0)f(h)/ 2 ah f (0)令f(x) i，则f (x)dxh,h f (0)f (h)/ 2ah2 f (0)f (h)令 f (x)x，则h0 f(x)dxhxdx0!h22h f (0)f(h)/ 22ah f (0)f (h)!h22令 f (x)x2，则h0 f(x)dx2dx01h33h f (0) f (h)/ 22ah f (0)f (h)1 32h 2ah2故有1.313h h321a122ah2令 f (x)x3，则h0 f(x)dx

6、h 3x3dx0h f (0)1h441 2f (h)/ 2 才f (0)12f (h)1h44令 f (x)x4，则h0 f(x)dxh 415x dx h051 2 h f (0) f (h)/ 2 h f (0) 12f (h)!h521h56故此时，h0 f (x)dx h f (0)f(h)/21 2h2 f (0)f (h),12h 1 2f (x)dx hf(0) f (h)/ 2 - h2 f (0) f (h)12因此，0具有3次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:10；1 x(1)0rdx,n 8;0 4 x11(1 e x)2 .dx,n 0 x1 xd

7、x, n 4;06.,厂命,n6；解:(1)n 8,a 0,b1,h18,f(x)x4 x2复化梯形公式为7f (xk)f(b)0.11140复化辛普森公式为hS8 -f(a)6f(Xk1)2f (Xk)f(b)0.11157n 10,a0,b1,h10,f(x)(1复化梯形公式为T10 2f(a)f(Xk)f (b)1.39148复化辛普森公式为SI0h9-f (a) 46k 0f(xk1)2f(Xk) f (b)1.45471(3)n4,a1,b9, h2,f (x)复化梯形公式为h3T4 -f (a) 2 f(xQ f(b)2k 117.22774复化辛普森公式为S4 hf(a) 46f

8、(xk1)2f(Xk)f(b)17.32222n 6,a 0,b ,h636,f(x) C复化梯形公式为T6h-f(a) 2f(xQ2k 1f(b)1.03562复化辛普森公式为-55S6 -f(a) 4f(xk i) 2f (Xk)6k 0 k 2k 1f (b)1.035773。直接验证柯特斯教材公式(2。4)具有5交代数精度。 证明：柯特斯公式为f (x)dxb a907 f(X。)32f(xJ 12f(X2)32f(X3)7f(%)令f(x)1，则bb aa f(X)dX 莎詈7f(X0)32f(X1)12f(X2)32f(X3)7f(X4)令f(x) x，则bbf (x)dx xdx

9、aa1222(b a)b a仏)32f(X1)12f(X2)32f(X3)7心)1 (b2(ba2)b f (x)dxbx2dx 】(b3 a3)aa3b a907f(x。)32f(xJ 12f (X2)32心)7f (X4)1 (b33(b3a )令 f (x) X3，则bf(x)dxbx3dx 丄(b4 a4)aa4 b a907 f(x) 32f(xJ 12f(X2)32仏)7f(X4)1(b4a4)令 f (X) x4，则bf(x)dxbx4dx (b5 a5)aa55a )7 f(x0) 32f(xJ 12f(X2)32f(x3) 7f(x4) - (b5905令 f (x) x，则

10、bf (x)dx a5dxa6(bQ a6)6K aA7f(x。)32f(xJ 12f(X2)32f(X3)7f(Q - (b6906a6)令 f (x) x6，则hb a0 f （x）dx 苛7f（x。）32f（N）12f（X2）32f（xJ 7彳仇）因此，该柯特斯公式具有4。用辛普森公式求积分5次代数精度。1e xdx并估计误差。0解：辛普森公式为S山6此时，f(a)4f (-a壬 f(b)a 0,b1,f(x)从而有1S 6(114e 21)0.63233误差为R(f)1180127b a (b a、4180 2 k(0e 0.00035,(0,1)5。推导下列三种矩形求积公式:f (x

11、)dx(ba)f (a)f (x)dx(ba)f(b)f (x)dx(ba)f(七n2 号* b)(ba)2；a)2；24)(b a)3；证明:(a,b)(1)Q f(x) f(a) f ( )(x a),两边同时在a,b上积分,(b a)f (a)b)(x a)dx abf(x)dx a即bf(x)dx a(b a)f (a)(2)Q f(x)f(b) f (f (2)(b)(b a)2x),(a,b)两边同时在a,b上积分,(b a)f(a)b)a (b x)dxba f(x)dx即ba f(x)dx(b a)f(b)(3)Q f(x)f号)2）（b a）2f （竽）（x护Jx 专)2,(

12、a,b)两连边同时在a,b上积分，得f (x)dxf (x)dx(b a)f(乎)(b a)f心）ba(xjdx26。若用复化梯形公式计算积分山（b241IQexdx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超a)3；,15过2 io5 ?若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分?解：采用复化梯形公式时，余项为R（f） b ah2f （ ）,（a,b）121又 Q Iexdx0即2故 f (x) ex, f (x) ex, a 0,b1.Rn(f)1 5若 FUf) 2 105，则265h2 105e当对区间0,1进行等分时,故有:10 5212.85因此，将区间213等分时

13、可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为(a,b)R(f)b a / h 4 七(4)硕(2)f (),又Q f(x)f (x)Rn(f)2880h4|f)l若 R(f)-10 5，则2105当对区间0,1进行等分时1 n _h 故有(1440e1105)43.71因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果f (x)0 ,证明用梯形公式计算积分bIf(x)dx所得结果比准确值I大，并说a明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为 f ( )3Rt古(b a)3,a,b12又Q f (x)0 且 b aRt0又 Q RT 1 TI T0为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。即计算

14、值比准确值大。其几何意义为，f (x)&用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10(1)2 1xdx.020 xsinxdxX ,10x2dx.解：(1)121x ,Tdx0kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)0123因此 I 0.71372721 xsinxdxkT0(k)T1(k)010 6110 710 21因此I 0(3)I 1 x2dxkT0(k)T1(k)丁(k)1 2T3(k)丁(k)T4丁(k)1 5012345因此 I 10.20759229。用n 2,3的高斯-勒让德公式计算积分1esin xdx.解:exsin xdx.Q x 1,3,令 t x 2，则 t 1

15、,1用n2的高斯一勒让德公式计算积分I 0.5555556 f( 0.7745967) f (0.7745967)0.8888889 f (0)10.9484用n 3的高斯一勒让德公式计算积分I 0.3478548 f( 0.8611363) f (0.8611363) 0.6521452 f( 0.3399810) f(0.3399810) 10.9501410地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是a；1(c)2sin2 d ,(椭圆中心)的距离，记h为近地点距离,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心 H为远地点距离，R=6371( km)为地球半径，则a (2R H h)/2

16、,c (H h)/2.我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离 H=2384(km)。试求卫星轨道的周长。解：QR 6371,h439,H2384从而有。a (2R H h)/27782.5(H h)/2972.5c 22()sin dakT0(k)T1(k)T2(k)012I 1.564646S 48708(km)即人造卫星轨道的周长为 48708km11。证明等式35nsin _2 4 Ln 3!n5!n试依据nsin()(n 3,6,12)的值，用外推算法求的近似值。n解若 f (n) nsin ，n又Q sinx x x3 x5 L3!5!此函数的泰勒展式为f(n)

17、n si n nnn13!15!Q55!n4当 n 3时，nsin2.598076n当 n 6 时，n sin 3n当 n 12 时，nsin 3.105829 n由外推法可得nT0(n)T1(n)T2(n)369故 3.1415812。用下列方法计算积分3dy，并比较结果。1 x/(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式;(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。 解3 dyi(i)采用龙贝格方法可得kT0(k)T1(k)T畀T3(k)T4(k)01234故有 I 1.098613(2)采用高斯公式时3 dy此时 y 1,3,令x y乙则x 1,1,作变换y，则Iif(x)dx,

18、1x 51r_5,I1 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.4054054x 7作变换y，则4I2f(x)1dx,1x 71x 7，12 f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.2876712x 9作变换y ，则41 113 2f(x)，x 9I3 f( 0.5773503)f (0.5773503)0.2231405作变换yI41 dx,f(x)1x 111x 11f (0.5773503)0.1823204I4 f( 0.5773503)因此，有I 1.098538113.用三点公式和积分公式求f (x)(1 x)2在x 1.0,1.1，和处的导数值

19、，并估计误差。f (x)的值由下表给出:xF(x)解:f(x)1(1 x)2f（X。）2h4f(G f(X2)1h2f (X1)2h f(X0)f (X2)f (f (X2)1g4f (X1)3f(X2)由带余项的三点求导公式可知)h2又Q f(x0) 0.2500, f (x1) 0.2268, f (x2) 0.2066,1f (x。) 3f(X0)4f(xJ f(X2) 0.2472h1f (Xi) f(x0) f(x2)0.2172h1f(X2)f(x。)4f(xJ 3f(X2)0.1872h又Q f (x)1 2(1 x)224 f(X) k又Q x 1.0,1.2f ( )0.75故误差分别为h2R(X0)|亍