(word完整版)一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案),推荐文档

1、一元二次不等式及其解法1. 一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(a0)的形式.当 a0 时，解集为；当 a0 时，解集为.2. 一元二次不等式及其解法(1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为 不等式.(2) 使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的.(3) 一元二次不等式的解：函数与不等式000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根bx1x22a无实根a

2、x2bxc0(a0)的解集rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23. 分式不等式解法f（x）(1) 化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为 0，左边化为g（x）的形式.12(2) 将分式不等式转化为整式不等式求解，如：error! f(x)g(x)0；f（x）g（x）0 f(x)g(x)0；)f（x）f（x）g（x） 0，f（x）f（x）g（x） 0，g（x）0 g（x） 0；g（x）0 g（x） 0. (2014课标)已知集合 ax|x22x30，bx|2x2，则 ab() a.2，1b.1，2)c.1，1d.1，2)解：ax|x3 或 x1，bx|2x2，abx|2x12，

3、1.故选 a. 设 f(x)x2bx1 且 f(1)f(3)，则 f(x)0 的解集为() a.x|xrb.x|x1，xrc.x|x1d.x|x1解：f(1)1b12b，f(3)93b1103b， 由 f(1)f(3)，得 2b103b，解出 b2，代入原函数，f(x)0 即 x22x10，x 的取值范围是 x1.故选 b.1 1 已知2x2，则 x 的取值范围是()1a.2x0 或 0x21b.2x211c.x2d.x21解：当 x0 时，x2；当 x0 时，x2.1所以 x 的取值范围是 x2，故选 d.12x 不等式 x1 0 的解集是.12x解：不等式 x1 0 等价于(12x)(x1

4、)0，11(x )也就是2 (x1)0，所以1x2.x|1x1，x r故填2.3 (2014武汉调研)若一元二次不等式 2kx2kx80 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为.3解：显然 k0.若 k0，则只须(2x2x)max8k，解得 k；若 k0，则只须38k(2x2x)min，解得 k(3，0).故 k 的取值范围是(3，0).故填(3，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于 x 的不等式(ab)x2a3b0 的解集为不等式(a3b)xb2a0 的解集.，1()3 ，求关于 x 的解：由(ab)x3b2a 的解集为1( )3，3b2a1得 ab0，且 ab 3，从而 a2b，

5、则 ab3b0，即 b0， 将 a2b 代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集为(，3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为 axb(a0)的形式.挖掘隐含条件 ab0 且3b2a1ab 3是解本题的关键.解关于 x 的不等式：(m24)xm2.解：(1)当 m240 即 m2 或 m2 时，当 m2 时，原不等式的解集为，不符合当 m2 时，原不等式的解集为 r,符合1(2)当 m240 即 m2 或 m2 时，xm2.1(3)当 m240 即2m2 时，xm2.类型二一元二次不等式的解法 解 下 列 不 等 式 ： (1)x27x120;(2)x22x30； (3)x

6、22x10;(4)x22x20.解：(1)x|x3 或 x4.(2)x|3x1.(3).(4)因为 0，可得原不等式的解集为 r.)x1，x0， (2013金华十校联考)已知函数 f(x) x1，x 0，f(x1)1 的解集是()则不等式 x(x1)a.x|1x 21b.x|x1c.x|x 21d.x| 21x 21)解：由题意得不等式 x(x1)f(x1)1 等价于 x10，x（x1）（x1）1 1 或)x1 0， x（x1）（x1）1 1，解不等式组得 x1；解不等式组得1x 21.故原不等式的解集是x|x 21.故选 c.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系 已知关于 x 的不等式

7、 x2bxc0 的解集是x|5x1，求实数 b，c 的值.解：不等式 x2bxc0 的解集是x|5x1，x15，x21 是 x2bxc0 的两个实数根，) )51b，b4，由韦达定理知 5 1c， c5.已知不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，求不等式 cx2bxa0 的解集.解：不等式 ax2bxc0 的解集为x|2x3，a0，且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根，由根与系数的关系得b) 23，a)c2 3，ab5a，c6a，a0.即a0.代入不等式 cx2bxa0，得 6ax25axa0(a0).即 6x25x10，x| x11所求不等式的解集为23 .类型四含有参数的一

8、元二次不等式 解关于 x 的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0 时，不等式为(x1)0，得 x10，不等式的解集为x|x1；1(x )(2)当 m0 时，不等式为 mm (x1)0.1(x )当 m0，不等式为m (x1)0，1x|x 1 或x1m1，不等式的解集为m.1(x )当 m0，不等式为m (x1)0.1x| 1 x1()若m1 即 m1 时，不等式的解集为 m；1x|1x 1 ()若m1 即 0m1 时，不等式的解集为m ；1()若m1 即 m1 时，不等式的解集为.点拨：当 x2 的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对 m0 与

9、 m0 进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2 的系数正负(不等号方1向)的不确定性，对 m0 与 m0 进行讨论；第三层次：m与 1 大小的不确定性，对m1、m1 与 m1 进行讨论.解关于 x 的不等式 ax222xax(ar).解：不等式整理为 ax2(a2)x20， 当 a0 时，解集为(，1.2当 a0 时，ax2(a2)x20 的两根为1，a，所以当 a0 时，2，)解集为(，1 a；2，1当2a0 时，解集为 a；当 a2 时，解集为x|x1；1，2当 a2 时，解集为a .x1类型五分式不等式的解法 (1)解不等式2x11.x1x1x2x2解：2x11 2x110 2x1 0

10、2x10.)x2 2x10 （x2）（2x1） 0， 2x1 0.1得xx2或 x2.x2(2)不等式x23x20 的解集是.x2x2解：x23x20（x2）（x1）0(x2)(x2)(x1)0，数轴标根得x|2x1 或 x2，故填x|2x1 或 x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集， 如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤： (1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根

11、(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零. (1)若集合 ax|12x13，bx|x2x 0，则 ab()a.x|1x0b.x|0x1c.x|0x2d.x|0x1解：易知 ax|1x1，b 集合就是不等式组x|0x 2，所以 abx|0x1.故选 b.x（x2） 0，)x 0的解集，求出 bx1(

12、2)不等式2x10 的解集为()22(1，11，1a. b.(，1)(，1c.x12 1，)d.（x1）（2x1） 0，)2 1，)解：2x102x1 01得2x 1.故选 a.1类型六和一元二次不等式有关的(0，恒成立问题(1) 若不等式 x2ax10 对于一切 x2 成立，则 a 的最小值为()5a.0b.2c.2 d.3(0，1解：不等式可化为 axx21，由于 x2 ，(x1)(0，1ax .f(x)error!在2 上是减函数，155.a.(xx)max2 2(2) 已知对于任意的 a1，1，函数 f(x)x2(a4)x42a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是()a.1x3b.x

13、1 或 x3c.1x2d.x1 或 x2解：记 g(a)(x2)ax24x4，a1，1，) )g（1）0，x23x20，依题意，只须 g（1）0 x25x60 x1 或 x3，故选 b.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数， 把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出 x 的取值范围.对于满足|a|2 的所有实数 a，求使不等式 x2ax12xa 成立的 x 的取值范围.)解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设 f(a)(x1)ax22x1，则 f(a)在f（2）0，x24x30，x3或x1

14、，2，2上恒大于 0，故有：f（2）0即x210解得 x1或x1.x1 或 x3.类型七二次方程根的讨论 若方程 2ax2x10 在(0，1)内有且仅有一解，则 a 的取值范围是() a.a1c.1a1d.0a1解法一：令 f(x)2ax2x1，则 f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得 a1.解法二：当 a0 时，x1，不合题意，故排除 c，d；当 a2 时，方程可化为4x2x10，而 1160，无实根，故 a2 不适合，排除 a.故选 b.x21. 不等式x10 的解集是() a.(，1)(1，2b.1，2 c.(，1)2，)d.(1，2x2解：x10(x1)(x2)0，且 x1，即

15、x(1，2，故选 d.x|1x22. 关于 x 的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为m范围是()a.m0b.0m2，则 m 的取值1c.m2d.m0解：由不等式的解集形式知 m0.故选 d.3.(2013安徽)已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为解集为()a.x|xlg2b.x|1xlg2x|x 12 ，则 f(10x)0 的c.x|xlg2d.x|xlg2(x1)(10x1) 1解：可设 f(x)a(x1)2 (a0 可得(10x1)2 0，从而 10x2， 解得 x0 在(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是() a.a4c.a12d.a0 对 x(1，2)恒成立，则实

16、数 k 的取值范围是.解：x(1，2)，x10.则 x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于x1k0，即 kx1 恒成立，由于 2x13，所以只要 k2 即可.故填(，2.7.(2014江苏)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是.)f（m）2m210，解：由题可得 f(x)0 对于 xm，m1恒成立，即 f（m1）2m23m0，解得22 2 m0.故填( 2，0).8. 若关于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围.解：x2axa3 的解集不是空集x2axa30 的判别式 0，解得 a6或 a2.9

17、. 已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1，3).(1) 若方程 f(x)6a0 有两个相等的实根，求 f(x)的解析式；(2) 若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.解：(1)f(x)2x0 的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且 a0.因而 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程 f(x)6a0 得 ax2(24a)x9a0. 因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，1即 5a24a10，解得 a1 或 a5.1由于 a0，舍去 a1，将 a5代入得 f(x)的解析式163f(x)5x25

18、x5.(x12a)2a24a1(2)由 f(x)ax22(12a)x3aaaa，a24a1及 a0，可得 f(x)的最大值为a.a24a1a由a0，0，)解得 a2 3或2 3a0.故当 f(x)的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是(，2 3)(2 3，0).a（x1）10. 解关于 x 的不等式： x2 1(a0).解：(x2)(a1)x2a0，()xa2当 a1 时有(x2)a1 0，a2a2若a12，即 0a1 时，解集为x|2xa1；a2若a12，即 a0 时，解集为；a2a2若a12，即 a0 时，解集为x|a1x2.“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very