概率论与数理统计课后习题答案

1、第一章概率论的基本概念四设 A,B,C是三事件，且 P(A) P(B) P(C)丄，P(AB) P(BC) 0 , P(AC)-. 48求A, B, C至少有一个发生的概率。解：P (A，B, C至少有一个发生)=P ( A+BC)=P(A)+ P(B)+ P(C) F(AB F(BC RA0+ P(ABC= -0 -488.九 从5双不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有 2只配成一双的概率是多少?“4只全中至少有两支配成一对” “ 4只人不配对”从10只中任取4只，取法有 罟 种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。 取法有24P(A)C； 2

2、4C10821P(A)1 P(A)1旦 1321 21十四P(A)右1P(B|A) -, P(A|B)1扌，求P(A B)。解：由P(A|B)定义牆P(A)P(B| A)P(B)由已知条件1 1有舟塔忒P(B)11 丄123由乘法公式，得 P(AB) P(A)P(B| A) 12由加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB)十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放 回抽样，求下列事件的概率。(1) 二只都是正品(记为事件 A)法一：用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P(A)C2C8C1028450.62法二：

3、用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P(A)a82A102845法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记A， A分别表第一、二次取得正品。8728P(A) P(AA) P(A)P(A2| A1)10945(2) 二只都是次品(记为事件B)法三:P(B)C；Ci。145145P(B) p(AA2)p(A)P(A2|A!)210145(3)只是正品，一只是次品(记为事件C)法一：1 1p(C) C8C；6法二：P(C) (C8 C2) A216Aw45法三:p(c)p(a1A2 a1a2)且a1A2与A,a2互斥8 2 2 8 16P(Ai)P(A2 IA

4、1) P(A1)P(A2 |A1) -2162iio 9 10 9 45(4)第二次取出的是次品(记为事件D)法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，法二：P(D)a9 a21A205法三：P(D)P(A1 A2A1A2)且 a1 A2 与 A1 a2 互斥P(A)P(A |A)P(A1)P(A2|A1)10 2 10 1 5二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。 第一次及格的概率为 P,若第一次及格 则第二次及格的概率也为 P;若第一次不及格则第二次及格的概率为 (1)若至少有一2次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

5、解：A=他第i次及格，i=1,2 已知 P (A)=P (A|A)=P, P(A2 IA1) P2(1) B=至少有一次及格所以B 两次均不及格 A1A2- P(B) 1 P(B) 1 P(AA2)1 P(A)P(A2 |Aj1 1 P(AJ1 P(A2|A)P 3121 (1 P)(1 -) 2P 尹2由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A| A1) = P2(2) P(AA2)定义P(AA2) P(A2)(*)由全概率公式，有 P(A2)P(Ai)P(A2| Al) P(Ai)P(A2 |Ai)P P (1P2 P2P)将以上两个结果代入（*)得 P(A | A2)P

6、22PP1 P 刁T 2.二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱 30只,其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只， 作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设B表示“第i次取到一等品”i=1 ，2(1)1P(B1)10 1 182-0.4 （ B= A1B +AB由全概率公式解）。2502 3051 10 91 18 17(2)P(B2|B1)PB2)2 50 492 30 290.4857P(B1)2A表示“第j箱产品” j=1,2，显然

7、AU A=SAA= $（先用条件概率定义，再求P （ BB）时，由全概率公式解）第二章随机变量及其分布一一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3, 4, 5,分布律为P（X 3） P（球为3号,两球为1,2号）i c2c5i101 C；C；1 C：C53P（X 4） P（一球为4号，再在1,2,3中任取两球）P（X 5）P（一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）也可列为下表X: 3 , 4 , 5P：.三设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次

8、品的只数,（1 ）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0, 1，2个。C3P(X 0) C32235P(X 1)c；c；51235P(X 2)C1135P11111JJxO|12X：0，1，2P：2212135,3535再列为下表五一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子 飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定 鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1 ）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2 ）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以表示

9、这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。(3) 求试飞次数 X小于Y的概率；求试飞次数 Y小于X的概率。解：(1) X的可能取值为1, 2, 3,，n,P X=rj=P 前n 1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去 =(|)n 1 1 ,n=1, 2,1 , 2, 3(2) Y的可能取值为P Y=1= P第P Y=2= P 第= 2 1 2次飞了出去= 13次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去13P Y=3= P 第1, 2次飞向了另132扇窗子，第3次飞了出去2!33 PX YPYkPXY|Yk同上，PXk 13PYk 23PYk 213YkPXkPXY|

10、Yk全概率公式并注意到PX Y|Y 10k注意到X,Y独立即PX Y |Y kPX k3PY kPXk 1PY kPX kY|Yk2 1 j49 3 27198138Y)81九有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取故 PY XPX Y PX10 件,次品接受这批产品，次品数大于 2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取经验收无5 件,仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%求(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率(2 )需作第二次检验的概率(3) 这批产品按第2次检验的标准被接受的概率（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率（5 ）这

11、批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，由于产品总数很大，故 X-B（ 10,）, Y（ 5,）（近似服从）(1) P X=0=疋(2) P Xw 2=P X=2+ P X=1=C100.120.98C；00.1 0.99 0.581(3) P Y=0=(4) P 0X 2, Y=0 (0X 2与 Y=2独立)= P 0 X 2P Y=0= X (5) P X=0+ P 0X 2, Y=0+ =0,x 1,18.十七设随机变量X的分布函数为Fx(x) ln x,1 x e,1, x e.求( 1) P (X2), P 0X 3,P (2X52); (2)求概率密

12、度 fx (x).解：(1) P (Xw2)=Fx (2)= ln2P (0 1 )。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为xx1 2P(X 10)10fx(x)dx 1 10 e 5dx e 5 10 e因此 Y B(5,e2).即 P(Y k)5 e 2k(1 e 2)5 k,(k 1,2,3,4,5kP(Y 1) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1(1 e 2)51(1 y)51(10.1353363)5510.8677510.4833 0.5167.二十三设XN()(1 )求 P (2Xw 5) , P ( - 4)2, P (X3)- 若 X N(u,c 2),则 P (

13、aX3 )= 0a(T(TP (2X 5) =0 劣0 宁=0(1) -0(-P ( - 42)=1 P (| X|2)= 1 P ( 2 P3)=1(2)决定3_2C使得 P (X C )=P (Xw C)P (Xw 3)=1 0=1 =P (X C )=1 P (XwC )= P (Xw C)得P (Xw C )= 1 =2又P (Xw C )= 0 30.5,查表可得 30 C =32 232.二十九 设 XN (0, 1)(1 )求Y=&的概率密度21x_ X的概率密度是f(x) 1 e 2 , x. 2nY= g (X)=eX是单调增函数又X= h(Y ) = lnY 反函数存在且a

14、 =min g( m), g 什 m)=min(0, +m)=03 = maXg ( m), g 什 m )= maX0, + m )= + m Y的分布密度为：叽fh(y)|h(y)| 荷e 27 0 y0y为其他(2) 求Y=2X2+1的概率密度。在这里，丫=2乂+1在什)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是Fy (y),则Fy ( y)=P ( Yw y)= P (2X+1w y)= p 口 x 口2当 y1 时：Fy(y) P 分 X1 二1 e 2 dx-,2ny) = (0) =0故Y的分布密度” (y)是:当 yw 1 时：“ (y)= Fy (当 yi 时，(y

15、)= Fy(y)=y212 dx2“(y 1)(3) 求Y=| X |的概率密度。 Y 的分布函数为Fy ( y)= P (Yw y )= P ( | X | w y)当 yvO 时，Fy ( y)=0当 y0 时，Fy ( y)= P ( | X | w y )= P ( yW XW y)=12n eTdxY的概率密度为:当 yw 0 时：(y)= Fy ( y) = (0) =0当 y0 时：(y)= Fy ( y)=y 1y .2n edx 22 4 厂e 2 冗第三章多维随机变量及其分布.一在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一 只。考虑两种试验：(1)

16、放回抽样，(2)不放回抽样。我们定义随机变量 X, Y如下:0,若第一次取出的是正品，X1,若第一次取出的是次品0,若第二次取出的是正品，Y1,若第二次取出的是次品试分别就(1) (2)两种情况，写出 X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P ( X=i,Y=j)= P ( X=i)P (Y=j)P ( X=0,Y=0 )=101025121236P ( X=0,Y=1 )=1025121236P ( X=1,Y=0 )=2105121236P ( X=1,Y=1 )=221121236或写成（2）不放回抽样的情况P X=0,Y=0 =10_94512

17、1166P X=0,Y=1 =10_210.121166P X=1,Y=0 =210.10121166P X=1,Y=1 =_2_1丄121166或写成X表示取到.二盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 4只球, 黑球的只数，以 Y表示取到白球的只数，求 X, Y的联合分布律。、x0123Y、00032353510612235353521630353535解：(X, Y)的可能取值为(i, j) , i=0, 1, 2, 3,j =0, 12 , i + j 2,联合分布律为P X=0, Y=2 =C；C；C；135P X=1, Y=1 =C；C；C635P X=1, Y=2 =

18、c3c；c；C74635P X=2, Y=0 =cfc；C74335P X=2, Y=1 =2 1C3C2C1235P X=2, Y=2 =c2c335P X=3, Y=0 =C3C235P X=3, Y=1 =cfc235P X=3, Y=2 =0三设随机变量X, Y)概率密度为f(x, y)k(6 x y), 0 x 2,2 y 40,其它(1)确定常数k。(2)P X1, Y3(3)求 P (XY , P X+Y400 解：(1)利用数学期望的性质2, 3有1E (Y )= 2E (X1) E (%)+3 E (X3)丄 E (X4 )=72利用数学方差的性质 2, 3有D (Y )=22 D(X1)+ ( 1)2 D(XJ+32 D (X3)+(汀 D 旳=(2)根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知乙N (,)，乙N (,