(word完整版)二次根式知识点总结及常见题型,推荐文档

1、二次根式知识点总结及常见题型第 17 页一、二次根式的定义资料编号:20190802a形如（ a 0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a 叫做被开方数.（1） 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2） 判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:是否含有二次根号“”;被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.a（3） 形如 m（a 0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:aam= m （ a 0）;a - bb - a（4） 根据二次根式有意义的条件,若二次根式与都有意

2、义,则有 a = b .二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:a（1） 双重非负性:0, a 0;（主要用于字母的求值）（2） 回归性: ( a )2 = a （ a 0）;（主要用于二次根式的计算）a 2- a(a 0)（3） 转化性:= a = a(a 0).（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为 0,则每个非负数分别等于 0.c若 a + b 2 += 0 ,则 a = 0, b = 0, c = 0 .应用与书写规范: a + b2 + c = 0 ,ca 0, b2 0,0 a = 0, b = 0, c = 0 .该性质常与配方法结合求字母的值.（2）（3）

3、= a - b = a - b(a b)(a - b)2(;主要用于二次根式的化简. a2 b (a 0)a b = ,其中 b 0;-a2 b (a 0 , x 1 .y - 11x - 11 - x例 2. 若 x, y 为实数,且 y =+,化简:2y - 1 .a - bb - a分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式与都有意义,则有 a = b .解 : x - 1 0,1 - x 0 x 1, x 1 x = 1 y = 0 + 0 + 1 = 1 0 可得: a - 5 0, a 5.例 6. 计算:22 -3 22 3 （1） ( 6 ) ;（2） ( 2

4、x + 3 ) ;（3）.分析:本题考查二次根式的性质: ( a )2 = a （ a 0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:= 6（1） ( 6 )2;（2） ( 2x + 3 )2 = 2x + 3 ; -32 23 2 23 （3）= (- 3)2 = 9 2 3= 6 .注意: (a b )2 = a2 b ,其中 b 0.该结论主要用于二次根式的计算.例 7. 化简:252- 10 2 7 x 2 - 6x + 9（1）;（2）;（3）(x 3).a 2- a(a 0)分析:本题考查二次根式的性质:= a = a(a 0).该性质主要用于二次根式的化简.252解:（1）= 25 =

5、 25 ;（2）（3）= -= 10 ; 10 2- 7 1077x 2 - 6x + 9(x - 3)2= x - 3 x 3原式= 3 - x .(a - b)2(注意:结论:= a - b = a - b(a b).该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.x - 3(x - 2)2(1 - x)2例 8. 当有意义时,化简: x + 5 +.x - 3解:二次根式有意义 x - 3 0 x 3(x - 2)2(1 - x)2 x + 5 += x + 5 + x - 2 + 1 - x= x + 5 + x - 2 + x - 1= 3x + 2(x - 2)2例 9. 化简: ( x -

6、 3 )2 +.x - 3(x - 2)2分析:= x - 2 ,继续化简需要 x 的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:的被开方数 x - 3 为非负数.x - 3解:由二次根式有意义的条件可知:0 x 3(x - 2)2 ( x - 3 )2 += x - 3 + x - 2= x - 3 + x - 2= 2x - 5a + 1 + 2aa + 1 - 2a例 10. 已知0 a 1 ,化简-=.解 : 0 a 1a1a 0, n - 2 3, n 2 m - n -(n - 2)2= m - n - m - 1n 2 - 4n + 4- m - 1= m - n -

7、n - 2 - m - 1= m - n - (2 - n)- (m - 1)= m - n - 2 + n - m + 1= -1(c - a)2b 2(a + c)2例 12. 已知 a, b, c 在数轴上的位置如图（2）所示,化简: a -+-.ca0b图图 2图解:由数轴可知: c a 0 b a + c 0(a + c)2(c - a)2b 2 a -+-= -a - a + c + c - a - b= -a + a + c + a - c - b= a - b(x - 2)2习题 10. 要使= ( x - 2 )2 , x 的取值范围是 .a 2习题 11. 若+ a = 0

8、 ,则 a 的取值范围是. 3 习题 12. 计算: 2 =.习题 13. 计算: -4 122 =.2(x - 3)2习题 14. 若= x - 3 成立,则 x 的取值范围是.习题 15. 下列等式正确的是【】(- 3)2（a） ( 3 )2 = 3（b）= -333（c）= 3（d） (- 3 )2 = -3习题 16. 下列各式成立的是【】1 2- 2 （a） 1 2= - 121（b）= 3 -p(p- 3)2（c） =2 2（d） = 732 + 42习题 17. 计算: (- 2 7 )2 = .习题 18. 化简: ( - x )2 +a 2 - 3a + 1习题 19. 若=

9、.x 2+ b2 + 2b + 1 = 0,则a 2 + 1 a - a + 41 2a 2- b =. a + a - 41 2习题 20. 已知- 1 a 0)a b = ,其中 b 0.-a2 b (a 0a a 0- 1a- aa -2a 1 a= -= -.选择【 d 】.1a - 2习题 23. 化简(2 - a)得.三、二次根式的乘法一般地,有:baba=（ a 0, b 0）（1） 以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件: a 0, b 0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2） 二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;bab（3） 两个带系数的二次根式

10、的乘法为:m a n= mn（ a 0, b 0）;（4） 二次根式的乘法公式可逆用,即有:abab=（ a 0, b 0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例 14. 若 x 】x - 6 =x(x - 6)成立,则（a） x 6（b）0 x 6（c） x 0（d） x 为任意实数【abab分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:=（ a 0, b 0）x 0解:由题意可得: x - 6 0解之得: x 6. 选择【 a 】.x + 1x - 1x 2 -1例 15. 若=成立,则 x 的取值范围是.abab分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:=（ a 0

11、, b 0）x + 1 0解:由题意可得: x - 1 0解之得: x 1.2a1 a8例 16. 计算:（ a 0）.2a1 a81 a 242a 1 a8解:= 1 a （ a 0）. 12 2 a 21327习题 24. 计算:=.3 (-2习题 25. 已知 m = -21),则有【3 】（a） 5 m 6（b） 4 m 5（c） - 5 m -4（d） - 6 m 0 ）（1） 以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件;（2） 二次根式的除法公式用于二次根式的计算;ba b（3） 二次根式的除法公式可写为: a =（ a 0, b 0 ）;（4） 二次根式的除法公式可逆用

12、,即有:abab=（ a 0, b 0 ）公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变. 五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1） 被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;（2） 被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式. 六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化.121222 2如对进行分母有理化,过程为:=212 + 3;对进行分母有理化,过程22为:=13 -3 - 2 .2 + 3(3+2 )(3- 2 )7由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例 17. 计算:6327 y 22 2328

13、xy 2（1） 54 ;（2） 8 3;（3） (-.5465469解:（1）= 3 ;32323 8233 328893 162 2383（2） 8 3= 8 3= 8 = 8 = 8 3 = 2 ;4xx333428xy 2 7 y 2（3） （ (-)=-3 ）28xy 27 y 2= -= -2.例 18. 化简:560.4a 3 - 6a 2 + 9a（1）;（2）;（3）（ a 3 ）.5656解:（1）=0.42525（2）=（3） a 3=5 66 6= 10 ;530 ;6a 3 - 6a 2 + 9a= a(a 2 - 6a + 9)=a(a - 3)2= (a - 3)

14、a注意:随着学习的深入,在熟练时某些计算或化简的环节可以省略,以简化计算.x + 1x - 2x + 1例 19. 式子=成立的条件是.x - 2abab分析:本题求解的是 x 的取值范围,考查了二次根式除法公式逆用成立的条件:=（ a 0, b 0 ）.x + 1 0解:由题意可得: x - 2 0解之得: x 2 .例 20. 计算:320 - 1532 - 82275（1）;（2）;（3）.327522523 275解:（1）=;520520 - 15（2）=-= 2 -5 - 8216（3）解法 1:=-=-= 4 - 2 = 2 . 32 -2解法 2:=

15、( 32 - 8 )2 = 64 -= 8 - 4 = 2 .8162 222二次根式的乘除混合运算例 21. 计算:32 2231 30122718（1） - 22 ;（2）.2 38235 30解:（1）原式=30 8 235= 3 - 1 - 22 2（2）原式=216 2= - 3 42= - 3 4 4212 1827= -382243= 2.习题 27. 下列计算正确的是【3】32123（a）= 2（b）=2- x 3- xx 2（c）= x（d）= x831227习题 28. 计算:=.x36x 3习题 29. 计算: 4 2=.习题 30. 直线 y = 3x - 1与 x 轴

16、的交点坐标是.习题 31. 如果 ab 0, a + b 0 ,那么下面各式:ababababbaab=;= 1;= -b .其中正确的是（填序号）.ab 2习题 32. 若 ab 0 ,则化简的结果是.习题 33. 计算:281 182 12 - 5 2 2 7 136 21 32 4（1） 3;（2） 8.42 3x 2 + 4x + 4例 22. 先化简,再求值: x + 1 - x + 1 x + 1,其中 x =- 2 . 3x 2 + 4x + 4解: x + 1 - x + 1 x + 1= 3- (x + 1)(x - 1) x + 1x + 1x + 1 (x + 2)2=

17、- (x + 2)(x - 2) x + 1 x + 1= - x - 2x + 2(x + 2)22当 x =- 2 时222原 式 = - 2 - 2 - 2 = - 2 - 4 = 2- 1.- 2 + 22习题 34. 先化简,再求值: 2 -a + 1 a + 1 ,其中 a =+ 1 .a - 1a 2 - 2a + 1a - 16习题 35. 先化简,再求值: x 2 - y - x - x 2 - y 2, 其 中 x = 2, y =.1xx 2 - 2xy + y 2习题 36. 下列根式中是最简二次根式的是【】233912（a）（b）（c）（d） 例 23. 观察下列各式

18、:2 1=1 - 2=- 1;21 +(1 + 2 )(1 - 2 )23 1=2 - 3=-32;+( 2 + 3 )(2 - 3 )34 1=3 - 4=-43;+( 3 + 4 )(3 - 4 )lll.199 + 100（1） 请利用上面的规律直接写出的结果;（2） 请用含 n （ n 为正整数）的代数式表示上述规律,并证明;（3）计算: 1 + 1 + 1 + l + 1 (1 +2017 ).2233 1 + 42016+2017 11分析:本题考查分母有理化.解:（1）1n +n + 1（2）=-100n + 1n199 + 10099=-;= 10 - 3;3234201720

19、17（3）原式= ( 2 - 1 +-+-+ l +- 2016 ) (1 += ( 2017 - 1)( 2017 + 1= 2017 - 1= 201612 + 119 + 813 +2习题 37. 化简:+ l +.七、同类二次根式如果几个最简二次根式的被开方数相同,那么它们是同类二次根式.同类二次根式的判断方法:（1） 先化简二次根式;（2） 看被开方数是否相同;（3） 定结果:若相同,则它们是同类二次根式;若不相同,则不是. 同类二次根式的合并方法:几个同类二次根式相加减,将它们的系数相加减,二次根式保持不变. 八、二次根式的加减二次根式相加减,先把各个二次根式化简,再合并同类二次根

20、式.二次根式加减运算的步骤:（1） 化简参与运算的二次根式;（2） 合并同类二次根式;（3） 检查结果.例 24. 计算:81812271245（1）+;（2）-+.23322解:（1）原式= 2+ 3+ 2= 5+ 2;35533（2）原式= 3- 2+ 3=+ 3.注意:不是同类二次根式不能合并.例 25. 计算:25 +-.3218222解:原式= 5 + 4- 322= 52 +2= 722例 26. 计算:752（1） 3 + 2 3 -2 ;（2） ( 5 -)(7 +)+ (22 - 3 ) . 23 23 3 2 2 2解:（1）原式= 2 = 3 - 249= 1936- 3 6（2）原式= 5 - 7 + 8 - 4+ 36= 9 - 4.“”“”at the end, xiao bian gives y