次根式知识点及习题

1、二次根式知识点一：二次根式的概念形如/ （）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根，所以 “是为二次根式的前提条件，如:等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a 0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a 0)、Vx+y等；4、含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有V 4、V9、VaA2 V ( x+y) A2、VxA2+2xy+yA2(3

2、)最终结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法1. 积的算数平方根的性质Vab=Va Vb (a0, b0)2. 乘法法则Va Vb=Vab (a0, b0)用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积二次根式的乘法运算法则，的算术平方根。3. 除法法则b0)用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算Va + Vb=Va+ b (a0,二次根式的除法运算法则， 数平方根。4. 有理化根式。,也称有如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式 理化因式。知识点九：二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式

3、后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次 根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点一：分母有理化分母有理化有两种方法I. 分母是单项式如：Va/ Vb=VaxVb/ VbxVb=Vab/bJ a._ V a X J b /EX VTbII. 分母是多项式要利用平方差公式女口 1/ Va+V b=VaV

4、 b/( Va+V b)( VaV b)= VaV b/a b如图I后一/E(7 + i/T5) (后 一 /Tia b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。“二次根式”经典练习题【典型例题】.利用二次根式的双重非负性来解题(5 0 (a0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。)1.下列各式中一定是次根式的是(、x ; C、 x21取何值时，下列各式在实数范围内有意义。(1 .X 2;1(212x 1(5 ,2x 1(6 )若 x(x 1)x . x 1，则x的取值范围是(7)若x 3 x 3，则x的取值范围(7注：(书写格式(4)由5+x 0且x+4丰0得x 5且x工4.当

5、x5且x工4时代数式在实数范围内有意义)3.若.3m 1有意义，则m能取的最小整数值是4.若j20m是一个正整数，则正整数m的最小值是 5.当x为何整数时，.10x 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 6. 若 2004 a 梟2005 a，则 a 20042 =7. 若 yx 3 .3 x 4，贝U x y 8.设m n满足n一 m2 9,9 m22m 39. 若m适合关系式 3x 5y 2 m 2x 3y m x 199 y 199 x y，求m的值.2 ；10. 若三角形的三边a、b、c满足a 4a 4 b 3=0,则第三边c的取值范围是 11. 方程14x 81 x y m 0，当y

6、 0时，m的取值范围是（）A、0 m 1B、m 2C、m 2D、m 2a（a b）二.利用二次根式的性质.a2 =| a|= 0（a 0）（即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）a（a 0）来解题1. 已知. x3 3x2 = x x 3，则（） 0 3D. 3 x 032. 已知ab,化简二次根式 a b的正确结果是（）A. aabB . a . ab C . a. ab D. a. ab3. 若化简|1-x|-.、x2 8x 16的结果为2x-5则x的取值范围是（）A、x 为任意实数 B、1 x 1 D、x 44. 已知a，b, c为三角形的三边，则 （a b c）2 （b c a

7、）2. （b c a）2 =5、当-3x0）,即（a2 |a |。）1.把下列各式化成最简二次根式:(2)412 402(3)25m5(4) x4x2y22.下列各式中哪些是同类二次根式: 5 .一 a3b3c.3.23.a b c3.计算：（1）6、27 （ 3.3）(2) 12ab(3)(4)2.1824-(6)2a2b24. 计算(1) 2 3 3 3 81 121 、 502131:3(x硏药4 )5已知xzv10 ，x等于（A. 4 B .土 2 C . 2D .土 4、X : y 36.已知 x .21, y .、21，求 二 的值)yjx yJx 3/xy四. 二次根式的分母有理

8、化2 21已知：x ，求x x 1的值。,312.已知：x= y 上3二2，求代数式 3x2 5xy+3y2的值。3 423 42.3.1.991004.已知,15 x .19 x 2，试求、19 x , 15 x 的值。五. 关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1估算31 2的值（）A.在1和2之间 B . 在 2和3之间 C . 在 3和4之间 D . 在 4和5之间2.若.3的整数部分是a，小数部分是b,.3a b 3. 已知9+ . 13与9 . 13的小数部分分别是 a和b,求ab 3a+4b+8的值4. 若a, b为有理数，且 J8 +彳8 + I1 =a+bJ2，则ba =.

9、8六. 二次根式的比较大小1(1) .200和2.3(2) 5.6和 6.5(3) . 17. 15和. 1513 (倒数法)5二次根式提高测试题一、选择题1 .使、3 x I 有意义的x的取值范围是（）Vxl2. 一个自然数的算术平方根为a a 0，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（）（A）a 1,a 1 （B）a 1（C）、a2 1,、a21（D）a21,a213 若x 0 ,则|反x等于（）(A) 0(B) 2x(C) 2x(D 0 或 2x4.若 a 0,b0，则. 一狂化简得（)(A) a-、ab(B)a ： ab(C) aab(D) a、ab5.若、讨1y1 ym，贝9

10、的结果为（y)(A) m222(B) m 2(C).m 2(D).m 26.已知a,b是实数,且Ja22abb2 ba,则a与b的大小关系是（)(A) a b(B)a b(C) a b(D) ab7.已知下列命题： J 2 452275 ；J3236; a23 2a3 a3 ;Ja2b a b其中正确的有（)(A) 0 个(B)1个(C)2个(D) 3 个&若4与，2： 3化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为()(A 20 ( B)51( C) 13( D) 15326889当a 1时，化简Vi 4a 4a2 |2a 1等于()(A) 2(B) 2 4a(C) a(D) 0 210化简,4x2 4x 1, 2x 3 得()(A) 2 (B) 4x 4(C) 2(D) 4x 4二、填空题11 若2x 1的平方根是 5，则J4齐.12 当x时，式子有意义.x 413 已知：最简二次根式 J4a b与a23的被开方数相同，则 a b 14 若x是J8的整数部分，y是J8的小数部分，贝U x , y 215.已知2009- x . y，且0 x y，则满足上式的整数对x,y有16.x 1，则、x 1 217.xy0，且、x3y2 xy、x成立的条件是18.x 1，则、x21x -x4等于解答题20 21 计算