椭圆、双曲线抛物线典型例题整理

1、椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1 :已知椭圆的焦点是 Fi（0， 1）、F2（0,1） , P是椭圆上一点，并且 PF + PF2= 2F1F2，求椭圆的 标准方程。解：由 PF + PF= 2FiF2 = 2X 2= 4,得 2a = 4.又 c = 1,所以 b2= 3.2 2所以椭圆的标准方程是y4+ = 1.2已知椭圆的两个焦点为解：由椭圆定义知 c= 1,F1（ 1,0） , F2（1,0），且2a = 10,求椭圆的标准方程.25+ 24 b=詁5 1 =24.椭圆的标准方程为、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为 A 2,0，其

2、长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 解：（1）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1,2 2椭圆的标准方程为：1;41（2）当A 2,0为短轴端点时，b 2 , a 4,2 2椭圆的标准方程为：1;416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。2 2求过点（一3,2）且与椭圆X + 7 = 1有相同焦点的椭圆的标准方程.94X2y29因为c2= 9 4= 5,所以设所求椭圆的标准方程为= 1.由点（一3,2）在椭圆上知 二+a a 5a22x y+ = 115+ 10例.解:5= 1，所以a2 = 15.所以所求椭圆的标准方程为a 5四、与直线相结合的问题，求椭圆

3、的标准方程。例:已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x y 10交于A、B两点，M为AB中OM的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.y2 1，xy 10由x22得 1 a 2x2y21axMX21a222，yMa解：由题意，设椭圆方程为2a2x 0,1 xM11a2koM血 Jy 1a2xma42 y21为所求.4五、求椭圆的离心率问题。例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.解：22c a 2 c13- 3c22a , e13石.221例2已知椭圆xy1的离心率e求k的值.k 892由 e 1, 得 k 4解:当椭圆的焦点在x轴上时，a2 k8,b 9，得 c k

4、 1 .2当椭圆的焦点在y轴上时，2 a9 , b2k8，得 c21 k .由e11 k1刚5，得，即k29445满足条件的k 4或k -.4六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若厶ABC的两个顶点坐标 A 4,0) , B(4,0) , ABC勺周长为18,求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A, B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离，因此顶 点C的轨迹为椭圆，并且2a= 10,所以a= 5,2c = 8,所以c = 4,所以b2= a2 c2 = 9,故 2 2顶点C的轨迹方程为2- + 9 = 1.又A、B C三点构成三角形，所以y工0.2 2 2 2x yx y

5、所以顶点c的轨迹方程为2-+ 9=1(y工0)答案：2-+9 =吐丫工0)2 22 .已知椭圆的标准方程是 才十2-= 1(a5),它的两焦点分别是 F1, F2,且FiF2= 8,弦AB过点R,求厶ABF的周长.4a= 4 41.2 23.设F1、Fa是椭圆X + y = 1的两个焦点，P是椭圆上的点， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PFF2的面积.94七、直线与椭圆的位置问题2例已知椭圆y21,2 PF1F2的面积为尹斤 PF2 =2X 4= 4.1 1求过点P 1 ,丄 且被P平分的弦所在的直线方程.2 211解法一：设所求直线的斜率为 k，则直线方程为y k x.代入椭圆方程，

6、并整理得222 2i 2k x2k2由韦达定理得2k x h2 k22k2 2kXiX22k2P是弦中点，Xi1 故得所以所求直线方程为 2x 4y 301 iP丄,2解法二：设过的直线与椭圆交于A Xi, yiX2, y，则由题意得Xi2yii,22X22y2i,2XiX2i,yiy2i.2 2得X|X2yi2 y；02yiy2将、代入得XiX2所求直线方程为2x 4y 3 八、椭圆中的最值问题2 2例椭圆X y i的右焦点为Fi6 i2时，求点M的坐标.1丄，即直线的斜率为20 .过点Ai, 3解：由已知：a 4, c 2 .所以1,右准线2M，故 MQ过A作AQ I ,垂足为Q ,交椭圆

7、于即M为所求点，因此yM3，且M在椭圆上.故xm在椭圆上，当|AM| 2MF|为最小值2MF| .显然|AM| 2MF的最小值为| AQ ,2 3 .所以 M 2.3,. 3 .双曲线典型例题、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例i讨论Xyi表示何种圆锥曲线，它们有何共冋特征.25k 9 k解：（(i)当k9 时，25 k 0, 9 k0,所给方程表示椭圆，此时a2252 2 c ab2i6 ,这些椭圆有共冋的焦点（一4,0), (4, 0).(2)当9k25时，25 k 0, 9k0 ,所给方程表示双曲线，此时，2 2k, b29 k ,a225 k ,b29 k，c2a2b216，这些双曲

8、线也有共同的焦点（一4，0）,）（4，0）.（3） k 25，k 9，k 25时，所给方程没有轨迹.二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程. 过点P 3,15，Q 16,5且焦点在坐标轴上.43C J6，经过点（一5, 2）,焦点在x轴上.2与双曲线Z16(1)(2)(3)解: (1)设双曲线方程为m2仝 1有相同焦点，且经过点3 2,242x2y- 1nQ两点在双曲线上,22516nm256251解得162x169m n2所求双曲线方程为y- 19说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.（2）v焦点在x轴上，设所求双曲线方程为:双曲

9、线经过点（一21 (其中0625丄165或30所求双曲线方程是（舍去）2x 2牙y说明：以上简单易行的方法给我们以明快、2X16J816（3）设所求双曲线方程为:双曲线过点 3、2,2 ,14 （舍）2所求双曲线方程为 122y_8三、求与双曲线有关的角度问题。2 2例3已知双曲线L916简捷的感觉.2y 1 04红11的右焦点分别为16F1、F2，点P在双曲线上的左支上且PFPF232，求 F1PF2的大小.解：点P在双曲线的左支上- PF1 PF2622PF1PF2 2PFPF2 3622PF1PF2100F1F2 2 4c2 4 a2 b12 100- F1PF290(2)题目的“点 为

10、“点P在双曲线上” 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。2 y21的两个焦点，点4P在双曲线的左支上”这个条件非常关键, 结论如何改变呢请读者试探索.应引起我们的重视，若将这一条件改例4已知F1、F2是双曲线P在双曲线上且满足f1PF2 90，求F1PF2的面积.分析：利用双曲线的定义及2X解：/ P为双曲线4F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积.1上的一个点且F1、F2为焦点.-円 PF2II 2a4, F1F2 2c 2.5F1PF290在 Rt PF1F2中，PF12PF2PF1 PF2I 2PF12PF220 2PFJPF216PF1 PF221S F1PF2二PF1PF212

11、2F1F22202PFJ PF216五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点F1 5,0、F2 5,0，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线./ c 5 , a 3- b2 c23242162a2x9522y_162x642x解：在双曲线64所求方程1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.2.y_362 1 中,36由P是双曲线上一点，得|卩戸 PF21 或 PF233.又 PF2 c a 2，得 PF2六、求与圆有关的双曲线方程。例 P是双曲线1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF1 17 ,求PF2的值.a 8, b 6，故 c 1

12、0.PF216.例6求下列动圆圆心M2(1 )与0 C : X 2 2的轨迹方程：y22内切，且过点A 2,02(2) 与O C1 x2 y 1 2(3) 与O C1： x 3 2 y2 解：设动圆M的半径为r(1)：O C1与o M内切，点 MC1 和O C2: x9外切，且与Oy 12C2: x 34都外切.2y1内切.r 2, MA r ,A在O C外MAMC点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有:双曲线方程为2x2(2)vO M 与O MC1MC2 MC11的轨迹是以C2、7G、o C2都外切mc2点M1a2G为焦点的双曲线的上支，且有:23a4所求的双曲线的方程为：34G外切

13、，且与o C2内切1, MC1 MC22 4x24y T(3)vO M MC1点M的轨迹是以2a 2, c 3, b所求双曲线方程为:2x2y1 x 25mc2c1、2cC2为焦点的双曲线的右支，且有:a25抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.0)0, 1),准线方程是:1(1) x2 4y (2) x ay2(a解：(1) p 2，焦点坐标是(2 1 y _x a(2)原抛物线方程为:2p当a 0时,焦点坐标是当a 0时,焦点坐标是P 丄2 4a1(丄,0)，准线方程是：x 4ap1,，抛物线开口向左,24a(丄,0)，准线方程是：x4a，抛物线开口向右

14、,14a14a综合上述，当a 0时，抛物线x14a21ay的焦点坐标为（一,0），准线方程是：x4a二、求直线与抛物线相结合的问题例2若直线y kx 2与抛物线y2解法一:设Ad，%）、8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.kx直线与抛物线相交, AB中点横坐标为:解得：k 2或k故所求直线方程为:解法二：设A（x1,两式作差解:(yiB(X2, y2),则由：2y8x2可得：k2x2 (4k 8)xx1x284 y1k故k4k 4则所求直线方程为：k 0且0,则k X1X24k 822k21 （舍去）.y 2x 2.)、Bgy)，则有2y18x1y2)(y1 y2)8(X

15、1X2)，即-y2kx1 :2 kx22k(x12或k1（舍去）2y2y2X2X2)8X2 .8yi y24 4k 4,三、求直线中的参数问题例3 （1）设抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为（2）以（1）中的弦为底边，以 x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为 坐标.3 5，求k值.9时，求P点y2 4xoo解：(1)由得：4x (4k 4)x k 0y 2x k设直线与抛物线交于 A（x1,y1）与B（x2, y2）两点.则有:x1x21 k, x-i x2AB,(1 22)(为 X2)2.5(X1X2)24x1x2、5(1 k)2 k2.5(12k)AB 3賦 J5（1

16、2k） 3*5，即 k 4（2）S 9，底边长为3/5 ,三角形高h （=3/55T点P在X轴上，设P点坐标是（xo,o）则点P到直线y 2x 4的距离就等于h,即l2Xo 0 4 乞55),它的两焦点分别是Fi, F2,且FF = 8,弦AB过点Fi，求 ABF的周长.2 2x V3设Fi、F2是椭圆9 + 4= 1的两个焦点，P是椭圆上的点， 且PF : PF2= 2 : 1,求厶PF1F2的面积.七、直线与椭圆的位置问题X c . 6，经过点(一5, 2),焦点在x轴上.21 1例 已知椭圆 v2 1，求过点P 1 ,丄 且被P平分的弦所在的直线方程.2 2 2八、椭圆中的最值问题2 2

17、例椭圆 1的右焦点为F，过点A1,3，点M在椭圆上，当 AM 2MF为最小值 16 12时，求点M的坐标.双曲线典型例题、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。2 2例1 讨论一x25 k 9 k1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征.、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程.1516(1) 过点P 3, , Q,5且焦点在坐标轴上.432 2(3 )与双曲线L 1有相同焦点，且经过点1643 2,2三、求与双曲线有关的角度问题。2 2例3已知双曲线1的右焦点分别为F,、 F2，点P在双曲线上的左支上且916PFi PF232，求 F1PF2 的大小.题目的“点P在双

18、曲线的左支上” 这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点 P在双曲线上”结论如何改变呢四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。2例4已知F1、F2是双曲线 y2 1的两个焦点，点 P在双曲线上且满足F1PF2 90，求4R PF2的面积.五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点F1 5,0、F2 5,0，求与它们的距离差的绝对值是 6的点的轨迹.2P是双曲线642361上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且PF117，求PF2的值.六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。例6 求卜列动圆圆心M的轨迹方程：(1 )与0C : x 22y22内切，且过点A 2,0(2 )与0C1: x2y1221 和O C2: xy 124都外切.(3 )与0C1 x 322y9外切，且与02C2: x 3y 1内切抛物线典型例题、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程.2 2(1) x 4y (2) x ay (a 0)分析：(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2) 先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求 p及焦点坐标与准线方 程.