椭圆的标准方程及性质

1、v1.0可编辑可修改12椭圆的标准方程及性质1. 椭圆的两种定义: 平面内与两定点Fi, F2的距离的和等于定长 2a IRF2I的点的轨迹，即点集 M=P| | PF|+| PR|=2 a，2a | 冃冃 ； ( 2a时为线段 F1F2 ,2a |FiF2无轨迹).其中两定点Fi, F2叫焦点，定点间的距离叫焦距. 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| 門 e, Ov edv1的常数 .2.标准方程:(1)焦点在x轴上，中心在原点：2 2冷1 (ab0)；焦点 F1 (- c, 0), F2 (c, 0).其中 c Ja2 b2ab22(2)焦

2、点在y轴上，中心在原点：y2 x21 ( ab0);焦点 F1 (0,- c), F2 (0, c).其中 c Ja2 b2a b3.椭圆一般方程两种标准方程可用统 形式表示：Af+By2=1 (A0, B0,冷B当Av B时，椭圆的焦点在 x轴上，A B时焦点在y轴上)，已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便4 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，贝U c相同。与椭圆2 x 2 a2每 1 (a b 0)共焦点的椭圆方程可设为 b22x2a m2y.2b m1 (mb2),此类问题常用待定系数法求解。5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e相同。与椭圆2 x 2 a2(y21 (

3、a b 0)共焦点的椭圆方程可设为 ,X2y2y2x26 :椭圆 F 1与 2 r 1 (a b 0)的区别和联系abab标准方程2 2务占1 (a b 0)ab2 2比务1 (a b 0)ab图形Y罠A 1；Jr 丁 !性质焦占八 、八、Fj c,0), F2(c,0)F1 (0, c) , F2(0,c)焦距1 叭 | 2cF1F22cv1.0可编辑可修改范围Xa，| y bx b， y a对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(a,0)，(0, b)(0, a)，( b,0)轴长长轴长=2a，短轴长=2b离心率e -(0 e 1) a准线方程2 aXc2 a yc焦半径PF1a ex0， P

4、F2 aPF1 a ey， PF2 a ey2 2X y7 性质：对于椭圆 二 牙1 （a b 0）如下性质必须熟练掌握:a b1. 范围；对称轴、对称中心；顶点;焦点、焦距；准线方程；离心率焦半径PF amaxc, PF i aminc.2.焦准距p两准线间的距离2a2b2；通径长2 .半通径.ca3.最大角F1PF2maxF1 B2 F22.方秽血二庄表干櫛図的充要衆件是,ABCO-冃吊乩C同号，凫产弘时.巻佩在?轴上“ Ab0）相交干两点恥14）、E（刼4 a bF v3把也所在直线方程y=kK+b,代入椭圆方程亠+亠=1整理得；时a 肝弦性公式jUJ = J1十护|出一xj =寸1十护

5、J（jt十毛） 一仏谜（含汀勺方程2 x2 a2（含y的方程）b 1作三角换元可得椭圆的参数方程11 对椭圆方程x a cosy bsi n为参数.3312有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论:设J （_筍,阳），甘（冬是楙圜 %+*_】（存 再a（9上不重合的两.点*直线川晞斜率k&,叫 升）是线段/頁的中点坐标Ao -仔 祈同标蒂方您：笃+上十1（ji0） 畑（环列）为申点笊我所在直线的斜率和匕一2 aba椭圖标准方程：4 + 3 1加 0）.以财仇小）为中点的弦所在直线的斜率打上取耳 a bb斜率为k的弦的中点軌迹方程；设弦冋的端点为仗】y】）Q仗一 y- ），中点为卜1

6、（於，计；，把厂Q的坐工+耶7标代入櫚圜方腥后伍差相範用中点公式和斜率公式T禅/ b亠 （桶圆内不直茜点的线段儿213对椭圆：芯a2X?1，则 kAB=b2Xob2 yo第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线I与X轴相交时，我们把X轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线I与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 则直线l的倾斜角 的范围是02. 倾斜角不是90 的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即k tan 如果知道直线上两点P（X1,yJ,P（X2,y2），则有斜率公式ky2y1.特别地是，当为x?，%y?时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；X2 X

7、1y轴平行或者重合当a =90时，斜率k=0 ;当当X1 X2， y1 y2时，直线与y轴垂直，斜率k=o.注意：直线的倾斜角a =90 时，斜率不存在，即直线与v1.0可编辑可修改090时，斜率k 0,随着a的增大，斜率 k也增大；当90180时，斜率k 0,随着a的增大，斜率k也增大这样，可以求解倾斜角a的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线li、I?，其斜率分别为 ki、k2，有：（1）l1/l2k1k2； （2）l1l2k1k21.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.直线的点斜式方程

8、1. 点斜式：直线I过点P0（x0,y）,且斜率为k，其方程为y y k（x心）.2. 斜截式：直线I的斜率为k,在y轴上截距为b,其方程为y kx b.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线l过点P（x0,y0）且与x轴垂直，此时它的倾斜角为 90 ,斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为x x0 0,或x x0.4. 注意：-_y k与y y k（x xj是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点卩0（0），后者才是整条直线x x0直线的两点式方程1. 两点式：直线l经过两点P（N，y1）,卩2区2），其方程为 y y1x x1 ,y? y1 X2 为2. 截距式：直

9、线I在x、y轴上的截距分别为 a、b,其方程为-1.a b3. 两点式不能表示垂直 x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段PP2中点坐标公式（仝空,上比）.2 2直线的一般式方程1. 一般式：Ax By C 0，注意A、B不同时为 0.直线一般式方程Ax By C 0 （B 0）化为斜截式方程ACACyx，表示斜率为一，y轴上截距为一的直线.BBBB2. 与直线l : Ax By C 0平行的直线，可设所求方程为Ax By G 0 ;与直线Ax By C 0垂直的直线，可设所求方程为Bx Ay C10.3.已知直线12的方程分别是：h：A1XByC10( A, B1

10、 不同时为 0), I2 ： Aex B2yC2 0 ( A2 , B2不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别：(1) h 12A1A2B B20；(2)I1/I2A B2A2 B10, AC 2A2B10 ；(3) I1 与 l2 重合AB2 AB10,AC2A2 B10 ；(4) I1与I2相交A1B2A2 Bl0.如果 A2B2C20 时，则 I1/I2Al旦C1.l1与丨2 重合-A1 旦C1.I1 与 l2相交A1 B1A2B2C2 B2C2A2B?两条直线的交点坐标45v1.0可编辑可修改1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组Ax Biy C1 0 .若方程

11、组有惟一解，则A2x B2y C20两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合2. 方程(Ax By Ci) (A2X B?y C2) 0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是Ax Biy Ci 0 与 Ax B?y C2 0 的交点.两点间的距离1.平面内两点Pi(Xi,yi)，巳(X2,y2)，则两点间的距离为：IPP2I(xX2)2(%y?)2.特别地，当P,B所在直线与 x轴平行时，IRP2I |xi X2I ；当PA所在直线与 y轴平行时，I PP2 1 1 yi y2 1 ；点到直线的距离及两平行线距离1. 点P(x,y)到直线l: Ax By C 0的距离公式为d 1 Ax0 By。C|.B22. 利用点到直线的距离公式