椭圆的标准方程及其几何性质

1、v1.0可编辑可修改椭圆的标准方程及其几何性质1.椭圆定义：（1） 第一定义：平面内与两个定点F,、F2的距离之和为常数 2a（2a | F2F2 |）的动点P的 轨迹叫椭圆，其中两个定点F,、F2叫椭圆的焦点.当PF,|PF22aF1F2时，P的轨迹为椭圆；当PF, PF2 2a F,F2时，P的轨迹不存在；当PF,|PF22aF1F2时，P的轨迹为 以F,、F2为端点的线段（2）椭圆的第二定义：平面内到定点F与定直线1（定点F不在定直线I上）的距离之比是常 数e（ 0 e ）的点的轨迹为椭圆（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性

2、质标准方程2 2m 缶，(a b 0)2 2占(a b 0)性质参数关系a2 b2 c2焦占八 、八、(c，0)，( c，0)(0，c)，(0，c)焦距2c范围|x| a，|y | b|y| a，|x| b顶点(a,0),(a,0),(0, b)，(0，b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce 一 (0J) a准线2 axc2 a yc2 23.点P（x，y。）与椭圆笃与y a bb 0）的位置关系：2 22 222当z y_ ,时，点p在椭圆外；当y_ ,时，点p在椭圆内；当L ,时，点P在a2 b2a2 b2a2 b2椭圆上；4.直线与

3、椭圆的位置关系直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离0例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0) 、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；35两个焦点坐标分别是(0， 2)和(0,2 )且过(，一).2 2(3) 两个焦点坐标分别是(-3 , 0) , (3 , 0)，椭圆经过点(5 , 0).(4) 两个焦点坐标分别是(0 , 5) , (0 , -5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(5) 焦点在y轴上，与y轴的一个交点为 P(0， 10) , P到它较近的一个焦点的距离等于2.17解: (1)因为椭圆的焦点在 X轴上，所

4、以设它的标准方程为(ab 0)2 2xy2, 2ab2aab210,2c 85,c 42 2 2a c 542所以所求椭圆标准方程为2259因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2y2ab2(a b 0)由椭圆的定义知,2a3)2 (； 2)2(3)2 (5 2)2 + ( 3)2 2 、 23 J10 1U10 2/102 2a ,10 又 c 22 2 2b a c 10 462 2所以所求标准方程为110 6另法：t b2 a2 c2 a24可设所求方程2y2a2x1，后将点a 4353 ,-)的坐标代入可求出 a，从而求2 2出椭圆方程+(3) T椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的

5、标准方程为:2 2笃与1(a b 0)a b- 2a (5 3)20. (5 3)2010, 2c=6. a 5, c 32 2 2 2 2b a c 53162 2所求椭圆的方程为：1.2516椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为2y2ax2b21(ab 0).- b2 a2 c2144.所求椭圆方程为:2 2y x169144(5)T椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为:2y_b21(ab 0) p(o,io)在椭圆上,a =io又 P到它较近的一焦点的距离等于2,C ( 10)=2,C=8.- b2 a2 c2 36.2 2所求椭圆的标准方程是1.10036题2。已知B, C

6、是两个定点，丨BC|= 6，且 ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A（x,y），根据已知条件得|AB|+|AC|=10 *再根据椭圆定义得a 5,c3,b4.所以顶点A的轨迹方程为2516（y丰0）（特别强调检验）所示的平面直角坐标系，2M为重心，则|MB+| MC=X339=26.M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为2 x2y1 ( y 丰 0)-16925根据椭圆定义可知，点因为AABC的顶点，故点 A不在x轴上，所以方程中要注明y丰0的条件.题3。在 ABC中，BC=24, AC AB的两条中线之和为 39

7、, 求厶ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图题4。已知x轴上的一定点A ( 1,0 ), Q为椭圆2y 1上的动点，求 AQ中点M的轨迹方程解：设动点M的坐标为（x, y），则Q的坐标为（2x 1,2y）.2因为点Q为椭圆y21上的点,4-222 4y21所以有(2x 1)(2y)2 1，即(x4所以点M的轨迹方程是（x I）2 4y2题5。长度为2的线段AB的两个端点A B分别在x轴、y轴上滑动，点M分AB的比为-,3求点M的轨迹方程.55解：设动点M的坐标为（x, y），则A的坐标为（二x,0）* B的坐标为（0 - y）.3 2因为|AB| 2，所

8、以有 (5x)2 (5 y)2 4，即 25 x2 25 y2 43 294所以点M的轨迹方程是空x2 25 y24 *94yB0A2题6。已知定圆x y 6x 550，动圆M和已知圆内切且过点P（-3，0），求圆心M的轨迹及其方程+分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值.根据图形,用数学符号表示此结论:MQ8 MP卜上式可以变形为 MQMP8，又因为PQ 68，所以圆心M的轨迹是以P, Q为焦点的椭圆+解已知圆可化为：x 3 2 y2 64M （x, y），贝V MP为半径*又圆M圆心Q（3, 0）, r 8，所以P在定圆内.设动圆圆心为和圆Q内切，所以MQ 8 MP即 MQ MP8

9、,故M的轨迹是以P, Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点，所以2a 8 ,b27,故动圆圆心 M的轨迹方程是:2 2x y167一4题7o ABQ的两个顶点坐标分别是 B（0,6）和Q0 , -6）,另两边AB AC的斜率的乘积是-,9求顶点A的轨迹方程选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,解：设顶点A的坐标;为(x,y).依题意得 y6 y64XX922顶点A的轨迹方程为X-1(y813622说明：方程Xy_1对应的椭圆与8136(0 , 6)应舍去.22题& P为椭圆Xy1上的点，且2 59解：由题意，得(5-X0)254(5X。)55 - 79、“ 5.

10、7P的坐标为（,),( ,44422题9椭圆y-1上不同三点A（59等差数列，求证X1X28.练根据条件对一些点进行取舍6).2=64y轴有两个交点，而此两交点为（0,6）与P与F1, F2的连线互相垂直，求 P7 25X0育，y81165.795 -. 79、,),( ,)44449Xi, yj, B(4, ),C(X2, y2)与焦点 F(4,0)的距离成54 44证明：由题意，得(5X1)(5X2) = 2 (54)X1 X2 85 55题10.设P是以0为中心的椭圆上任意一点,与此椭圆长轴为直径的圆内切2证明：设椭圆方程为务a2y_b21,( ab 0),焦半径F2P是圆Oi的直径,F

11、2为右焦点，求证：以线段 F?P为直径的圆则由aPF22a PF2OOi知，两圆半径之差等于圆心距,所以，以线段F2P为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切题11。已知椭圆的焦点是F, 1,0), F2(1,0) , P为椭圆上一点，且| F,F2 |是| PF, |和|PF?丨的等差中项(1) 求椭圆的方程; 若点P在第三象限，且/ PF1F2 = 120,求tan F1PF2.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题解: (1)由题设I PF1I + 1 PF? 1=2| FF I 2a 4 , 2c=2,b=、.32椭圆的方程为42y-1.3F1F2*x/(

12、2)设/ F1PF2则/ PF2 F1 = 60 9由正弦定理得:F1F2 sinPF2I由等比定理得:sin2sin整理得:IPF1_sin 120si n(60)PF1PF?sin120sin (60)-2 sin(60 )25 sin , 3 (1 cos )sin1 cos山故tan5 2题12.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线 y=x+1与椭圆相交于点 P和点Q且OPL OQ I PQ=也0，求椭圆方程22 2解：设椭圆方程为 mx+ny=1 (n0, n0),设 P (X1, y1), Q( X2, y2),解方程组y=x+1,mX+ny 2=1.2消去y,整理得(

13、叶n) x+2nx+n仁0.2A =4n 4 ( m+n) (n 1) 0，即 m+n mn0, OPLOQ xiX2+yiy2=0,即 X1X2+ (Xi+1) (X2+I) =0, 2x1X2+ (Xi +X2) +1=0，二，?2_ 2n +1=0.m n m nnrn=2.由弦长公式得4(m n mn)，将m+n=2代入，得3 m- n=-.4(m n)2C 1 m=, 2 解得13椭圆方程为+ -y2=122y_=1.22 2题13.直线l过点M( 1, 1),与椭圆 + =1相交于A B两点，若AB的中点为M43试求直线l的方程.解：设 A (X1, yj、B (X2, y2),2

14、2则乞+比=1,4 32 2 乞+里=14 3，得(X1X2)(X1 x2)+ (y1 y2)(y1y2)_043y1y2.3= X1X2X1X24y1y2又 M为AB中点, X1 +X2=2, y1+y2=2.直线i3的斜率为一-.4直线i3的方程为y 仁一(x 1),4即 3x+4y7=0.题14。已知椭圆C的中心为坐标原点 0, 个长轴端点为 0,1 ,短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形，直线I与y轴交于点(0, m ,与椭圆C交于相异两点 A B,且AP 3PB .(1)求椭圆方程；(2 )求m的取值范围.【解题思路】通过 AP 3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与

15、系数关系得到一个关于m的不等式解析(1)由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2 2C：y_ 冬C ： 2 .2 a b1(ab 0)由条件知a 1且b c ,又有a2b2 c2，解得 a 1 , b故椭圆C的离心率为e -a.2其标准方程为:(2)设 l 与椭圆 C交点为 A (X1, y1), B (X2, y2)y = kx + m2222 2得(k + 2) X + 2kmx+( m 1 )= 02x + y = 1A=( 2km 22m11因入=3 kz 0 k = 2_ 0,. 1m 或 n2m2成立，所以(*)成立1 1即所求m的取值范围为(一1， ?U( -, 1) 4 (

16、k2+ 2) (m 1)= 4 (k2 2rn + 2) 0 (*)2 kmm 1X1+ X2=严，X1X2= kT2X1+ X2= 2X2 t AP = 3 PB . X1 = 3X2 2X1X2= 3x22 2 km 2 m 1消去 X2，得 3 ( X1 + X2)+ 4X1X2= 0,. 3 ()+ 42 = 0 整理得 4k2m+ 2m k2 2= 0221212 2 2mm =时，上式不成立；mz时，k =2-,444m 1题15。设x、y R, i、j为直角坐标平面内 x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi +(y+2)j，b=xi+( y - 2) j，且 | a|+| b

17、|=8.(1) 求点M( x, y)的轨迹C的方程.(2) 过点(0, 3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP = OA + OB，是否存在这样的直线l，使得四边形 OAP昵矩形若存在，求出直线 l的方程；若不存在，试说明理由.(1)解法一： a=xi + (y+2) j , b=xi + (y- 2) j，且 | a|+| b|=8 ,点M(x, y)到两个定点 Fi (0, - 2) , F2 ( 0 , 2)的距离之和为 8.2 2轨迹C为以Fl、F2为焦点的椭圆，方程为 + =1.12 16解法二：由题知，x2 (y 2)2+.x2 (y 2)2 =8,移项，得.x2(y 2)2=

18、8- , x2(y2)2 ,两边平方，得2 2 2x+ (y+2) =X +(y-2) 2-16 . x2(y2)2 +64,整理，得 2 x2(y 2)2 =8- y,两边平方，得 4 x2+ (y-2) 2 = (8- y) 2,2 2展开，整理得+Z=1.12 16(2).T过y轴上的点(0, 3),若直线I是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点/ OP=OA + OB=0, P与O重合，与四边形 OAPB矩形矛盾y=kx+3,12 16直线I的斜率存在设I方程为y=kx+3, A (X1, yj, B (X2, y2),2222消 y 得(4+3k)x+18kx - 21=0.此时，A =

19、( 18k )- 4 (4+3k )18k21(-21) 0 恒成立，且 X1+X2= , X1X2=4 3k24 3k2v1.0可编辑可修改1+11i/ OP=OA + OB四边形 OAPB是平行四边形.若存在直线I，使得四边形 OAPB是矩形，贝U OAL OB 即 OA OB=0. OA=（xi，yi），OB=（ X2, y2）. OA OB =xiX2+yiy2=0,即（1+k?） xiX2+3k （xi +X2） +9=0,即（i+k） ） +3k ） +9=0,即 k2=?，得 k= 二.4 3k24 3k2i64存在直线I : y= 5 x+3，使得四边形 OAPB!矩形.4椭圆

20、作业班级：姓名： 题i6。选择题2 2i. 已知Fi、F2是椭圆 +=i的两个焦点，过 Fi的直线与椭圆交于 M N两点，则i6 9 MNF的周长为.16C解析：利用椭圆的定义易知 B正确.答案：B22. 椭圆 +y2=1的两个焦点为 Fi、F2,过Fi作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个4B.3C.交点为P,则| PF2 |等于+y2=i,4ii解法一：（如下图）设椭圆的右焦点为 Fi,左焦点为F2,过Fi垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.v1.0可编辑可修改x221 F1( , 3 , 0).设 P ( 3 , yp)代入 一 +y =1，得 yp=,211二 P ( V3, -)

21、, | PF|=-22又T | PF2|+| PF|=2 a=4,/ | P|=4 |PF|=4 丄=72 2F2,已知圆F2经过椭圆的中心，且3. 设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆与椭圆相交于M点，若直线MF恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率 e为A. -1 3 1,3C.D.32解析：易知圆F2的半径为/ 、 2 2 2c, (2a c) +c =4c ,(-)2+2ac(-)2=0,a=.3 1.a25答案：A2x4.已知P为椭圆亠252y_161上的一点，M ,N分别为圆(x3)22y 1和圆(x 3)24上的点,则 PMPN的最小值为(A. 5B.715解析B.两圆心C、

22、D恰为椭圆的焦点,| PC | | PD | 10 , PMPN的最小值为10-1-2=75. 椭圆有这样的光学性质： 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点， 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4aB. 2(a c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) A CA,此时小球经过的路程为2(a c);A B D B A,此时小球经过的路程为2(a+c);(3) A P B Q

23、 A此时小球经过的路程为4a,故选D2 2X y1. 已知Ft F2为椭圆1的两个焦点，过 Fi的直线交椭圆于 A、B两点若259F2 A F2B 12，贝V AB =解析ABF2的周长为4a 20 , AB =82. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是 2 2解析：椭圆方程化为 +=1.2 2k焦点在y轴上，则-2,即k0,. 0k b 0)上任意一点,P与两焦点连线互相垂直,解析：4 5225由椭圆方程可得 a=5, b=3, c=4, e=_，准线方程为x= 一= 一5 44答案：4 丄25 x=5 4223. 椭圆 + =1的离心率是259，准线方程是

24、2 2且P到两准线距离分别为 6、12，则椭圆方程为 解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求.2 2答案: + 二=145202 25. 点P在椭圆 + =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P259的横坐标是.解析：利用第二定义25答案：仝126. 已知R为椭圆的左焦点，A B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF丄F1A, PO/ AB( 0为椭圆中心)时，求椭圆的离心率 .剖析：求椭圆的离心率，即求 -，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有 a具体数值，因此只需把 a、c用同一量表示，由 PF丄FiA, PO/ AB易得b=c, a=2 b.2 2

25、解：设椭圆方程为 X2 + =1 ( ab0), Fi (- c, 0), c2=a2 b2,a2 b2则 P ( c, b. 1 c2),即 P ( c ,).V aaAB/ PQ 二 kAE=kop,即b =L . /. b=c.a acc2 =、2 b,cb2e= = _j a2b27.2如图，把椭圆252I 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴16的垂线交椭圆的上半部分于p , P2 , P3, F4 , P5 , R,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点则PF解析P2FP3FP4F由椭圆的对称性知:F5FPFP6FP7FP7FPeFP3FF5F 2a 35 .题18.求椭圆的标准方

26、程1.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 2 4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为2x 2 a2 y_ b22岭1(a ab 0),b c4( 21),.22b c解之得：a24.2 , b=c = 4.则所求的椭圆的方程为322y1621或162L 1.322.已知方程x2 cos y2sin 1,(0,),讨论方程表示的曲线的形状解析当(0,)时，sin cos，方程表示焦点在 y轴上的椭圆，当 一时，sin cos ，方程表示圆心在原点的圆，4当(才

27、2)时，sin cos，方程表示焦点在 x轴上的椭圆3. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程2 2 2 2解析a c 3 a 2， b 3，所求方程为乞+工=1或+=1. a 2cc J31299124. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 .、3，求这个椭圆方程.解：由题设条件可知a=2c, b= , 3 c,又 a c= . 3，解得 a2=12, b2=9. 所求椭圆的方2程是122+ 2_=12 2卡x y或一+ 912=1.2 2题19。已知实数x,y满

28、足1,求x242y2 x的最大值与最小值【解题思路】把x2y2 x看作x的函数解析由1得y22丄x2 ,422题20。椭圆x216-1上的点到直线I:90的距离的最小值.21 2 x202x 22 x2yx1 2 x21 2x 2(X 1)22i，x 2,2x1时,x2y23x取得最小值一，当2x 2时,x2y2x取得最大值6【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点P,设 P( 4cos ,3sin ).那么点P到直线I的距离为:v1.0可编辑可修改227|4cos3si n121,12 122题21。已知椭圆笃a2 . 2.(a b0)与过点A(2 ,0) ,

29、B(0 , 1)的直线I有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率解析直线I的方程为:.31x2求椭圆方程由已知.a2 b2aa24b22y1x2得:(b2a2 )x2a2xa2a2b20a4(4ba2)(a2a2b2)0，即a24 4b2122 y- 1122题22。已知A、B分别是椭圆笃a由得:a22,b2故椭圆2E方程为22 y b21的左右两个焦点，o为坐标原点，点 P( 1,上Z)2在椭圆上，线段 PB与y轴的交点M为线段PB的中点。(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC 求 Sin A Sin B 的值。 sin C(1)求椭圆的标准方程;解析(1)v点M是线段PB的中点

30、OM是厶PAB的中位线又 OM AB PA AB1 1a2 2b22 2 2a b c解得 a22,b21,c2 1椭圆的标准方程为2y =1v1.0可编辑可修改(2)v点C在椭圆上，A B是椭圆的两个焦点二 AC+ BC= 2a= 2 /2 , AB= 2c= 2在厶ABC中，由正弦定理,BC AC ABsin A sin B sin C.sin A sin B = BC AC 22污snC AB V 题23。已知长方形 ABCD,AB=2.2 ,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图 8所示的平面直角坐标系xoy.(I )求以A B为焦点，且过 C D两点的椭圆的标准方程；(n )过点P(

31、0,2)的直线|交(I )中椭圆于M,N两点，是否存在直线l ,使得以弦MN为直径的 圆恰好过原点若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由JDl yICAOB解析(I )由题意可得点A,B,C的坐标分别为,2,0 , . 2,0 , . 2,1图82 2设椭圆的标准方程是笃爲 1 a b 0 a b则 2a AC BC22.21 0 2 . 2 2 2 1 0 242.2a 2b2a2c2422.22椭圆的标准方程是x1.42(n)由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为y kx 2 k 0设M,N两点的坐标分别为 x1, y1 , x2, y2 -y kx 2联立方程：22x2 2y24

32、消去y整理得，1 2k2 x2 8kx 4024有 x-ix28k1 2k2，XlX2421 2k2若以MN为直径的圆恰好过原点,则0MON ,所以 x-ix2 y1 y20,所以,x1x2kx12 kx22k2 x1x22 k x-ix2所以,41 k21 2k2嶋41 2k即81 2k4k； 0,得 k22,k所以直线I的方程为y 、2x2,或y.2x 2.所以存在过P(0,2)的直线I : y2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点题24。如图，在 Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=2, AC。一曲线 E过点C,动点P在曲2线E上运动，且保持I PA+I PB的值不变，直线I经过A与

33、曲线E交于M N两点。(1) 建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2) 设直线l的斜率为k，若/ MBF为钝角，求k的取值范围。解：(1 )以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系， 则A (- 1, 0), B( 1,0)由题设可得v2_2v 2 2J231 2 l|PA| |PB| |CA| |CB| y22( 2 )2-2 22 2动点P的轨迹方程为务% 1(a b 0),a b则 a 2,c 1.ba2 c2 12曲线E方程为y212(2)直线MN的方程为yk(x 1),设M (x1, y1),设M (x1, y1,), N(x2,y2)y k(x 1)2222由 22 得(1 2k2)x2 4k2x 2(k2 1