焦半径公式的证明

1、焦半径公式的证明【寻根】 椭圆的根在哪里自然想到椭圆的定义：到两定点Fi, F2（| FiF2|=2c）距离之和为定值2a（2a2c）的动点轨迹（图形）.这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a.第一个参数c,就确定了椭圆的位置； 再加上另一个参数 a,就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身 份”来，c比a更“显贵”.1遗憾的是，在椭圆的方程广丿 丁里，却看不到C的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找C,并寻找关于C的“题根” 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭

2、圆的定义但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发【例1】 已知点P（x, y）是椭圆-上任意一点，Fi（- c,0 ）和F2（c,0）是椭圆的两个焦CC点求证:【分析】X X| PF|=a+-i ； | PB|=a 可用距离公式先将| PF|和| PR|分别表示出来然后利用椭圆的方程“消 y”即可【解答】由两点间距离公式，可知从椭圆方程- 解出(1)代（2）于（1）并化简，得a- x| PF|= 门 (-a x a)ca- x同理有 | PF2|=(- a xc0) 试用【例2】P （x,y）

3、是平面上的一点，P到两定点Fi（-c，0），F2（ c，0）的距离的和为2aX,y的解析式来表示 ri=| PF|和2=| PB|.【分析】问题是求ri=f （x）和2=g（x）.先可视x为参数列出关于ri和2的方程组,然后从中得出ri 和2.【解答】依题意，有方程组干代于并整理得ri-r2=r, = x联立，得【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出,对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.三、焦半径公式与准线的关系x二-为准线的椭圆上任意一点 PDL l 1于D.按椭圆的第二定义，则有11 网厂e 斗PF 1-&PD|=畛 + 一）=山 + 必 C.准线丁缺乏

4、定义的“客观性”即 ri=a+ex,同理有2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性【例3】P（ x，y）是以F（ -c，0）, F2（c，0）为焦点，以距离之和为 2a的椭圆上任意一点.直线l为x=- 一 , PD丄 I 交 I 于 D.求证：4.【解答】由椭圆的焦半径公式 | PF|=a+ex.对| PD|用距离公式 | PD|=x- =x+ -IMI乳+诙 旧故有【说明】此性质即是:该椭圆上任意一点,到定点 F（-c, 0） （ F2（c, 0）与定直线 li：x=-（l2：x=：）的距离之比为定值 e （0e

5、1）.而另四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半,特别一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单 是逆过程中的两次求平方根） 其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明兰+疋=1【例4】 设点P（x,y）适合方程-.求证：点P（x,y）到两定点F（ -c, 0）和F2（c，0）的距离之和为 2a （c2=a2-b2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P（x，y）到Fi（-c,0 ）的距离设作ri=| PF|.由椭圆的焦点半径公式可知ri=a+ex同理还有2=a-ex+得ri+2=2a即1PF|+| PR|=2a.即P（x，y）到两定点Fi（ -c，0）和H