(word完整版)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题,推荐文档

1、八下实数实数知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 x 2 = a(a 0) 时， 我们称 x 是 a 的平方根，记做： x = a (a 0) 。因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；a2、当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： x = 。3、当 a0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。例 1.（1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是；（2） 的平方根是它本身。x（3） 若的平方根是2，则 x=； 16 的平方根是 32x（4） 当 x时，有意义。（

2、5） 一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：a1、如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 = a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“”，读作， “根号 a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。a2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 0(a 0) 。a3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例 2.81（1） 下列说法

3、正确的是（）74a1 的立方根是 1 ；b（2） 下列各式正确的是（）= 2 ；（c）、的平方根是 3 ；（ d）、0 没有平方根；8153- 2732a、= 9b、3.14-p =p-3.14c、= -9d、-=(-3)2（3） 的算术平方根是。x- xx + 1（4） 若+有意义，则=。a - 3（5） 已知abc 的三边分别是 a, b, c, 且 a, b 满足+ (b - 4)2 = 0 ，求 c 的取值范围。（7） 如果 x、y 分别是 4 3的整数部分和小数部分。求 x y 的值.（8） 求下列各数的平方根和算术平方根.64；49 ；0.0004；(25)2；11.1211.44

4、，0，8，100 ，441，196，104496449121（9）()2 等于多少？()2 等于多少？7.2（10） ()2 等于多少？a（11） 对于正数 a，()2 等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算. 知识点三、【开平方性质】9949494 916 9(1) 4 =，=； (2)(2) 16 =，=；(3)=，=；16251625(4)(4)=，=.知识点四、【立方根】：1、如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做： 3 a ，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的

5、是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例 3.（1）64 的立方根是 3 a（2）若= 2.89, 3 ab = 28.9 ，则 b 等于（）a. 1000000b. 1000c. 10d. 10000643 y 33 ( 8)2（3）下列说法中： 3 都是 27 的立方根，= y ，的立方根是 2，= 4 。其中正确的有（）a、1 个b、2 个c、3 个d、4 个知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限

6、”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率p以及含有p的一些数，如：2-p，3p等；（2）开方开不尽的数，如: 2, 5, 3 9 等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 9 等；无理数也不一定带根号，如：p2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下

7、列各数：572.253.141、0.33333、-、 -、 - 2 、0.3030003000003（相邻两个33 之间 0 的个数逐次增加 2）、其中是有理数的有；是无理数的有。（填序号）43 2（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,-p,其中无理数有 ()个a2b3c 4d5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是 0，最大的负整数是-1，最小的正整数是 1.2、实数的性质：实数 a 的相反数是-a；实数 a 的倒数是 1 （a0）；实数 a 的绝对值|a|= a(a 0)，它的几何意义a- a(

8、a b ，则化简- a + b 的结果为（）ba. 2a + bb. - 2a + bc . bd. 2aa- bo（5）比较大小(填“”或“”).5 - 11673310 ，- 3 20 ，7 6，225（6）将下列各数： 2, 3 - 8,3,-1 -，用“”连接起来； 。b（7） 若 a = 3,= 2 ，且 ab a)a+ b y 与a- b分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式3. 分母有理化的方法与步骤：（1） 先将分子、分母化成最简二次根式；（2） 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3） 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母

9、有理化(1) 33-1(2)253+(4) 3 5 - 5335 2(3)5 2 + 35- 3例题：把下列各式分母有理化：a - ba - b1b -a2 + b2a + 2a - 2（1）(2)（3）（4） a2 + b2aab+ b-+ b +【练习】(1)5 +21. 找出下列各式的有理化因式a2(2)2 3 - 8 11b5 (3)+ a(4)a- 3(4) 75 - 75 7 - 52. 把下列各式分母有理化7八下实数25 -157 -2(1)(2)(5) 2x -y2 x +y(3)2 - 62 +63. 计算2 - 32 + 313 -232 - 53 - 22 + 325 +

10、 3(1)+(2)+8(3)1(2 + 3 )2+1(2 - 3 )2(4)+4. 比较大小与5. 把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：1226b(1) 2；(2) - 5 7 ；(3) 4；(4) - 2a；(5)3 ；39496.计算： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)x - yx +y17 - 5x + y - 2 xyx -y15 - 32 34810.160.02250.01 640.36 3242710025 y 4121x6；1. 计算八下实数1122 11323 12253(1) 515 + 5 ； (2) (4 - 3 5) ； (3) (14 +

11、 6 5) (3 +5) ； (4)26 4；专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含p的数，如： 2p, p1 等，开方开不尽的数，如22,等；3 6特定结构的数，例 0.010 010 001等；某些三角函数，如 sin60，cos45 等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如p0 , 16 是有理数，而不是无理数。例 1下面几个数：0. 23，1.010010001，3，其中，无理数的个数有（ ）a、1b、2c、3d、43例 2.（2010 年浙江省东阳县）是7a. 无理数b有理数c整数d负数举一反三：2341.在实

12、数中3，0，3.14，中无理数有（）a.1 个b2 个c3 个d4 个2、平方根、算术平方根、立方根的概念a16a若 a0，则 a 的平方根是，a 的算术平方根；若 a0，则 a 没有平方根和算术平方根；若 a 为任意实数， 则 a 的立方根是 3 a 。【例 1】的平方根是 【例 2】3 27的平方根是 【例 3】下列各式属于最简二次根式的是（）x2 +1x2 y5120.5a. b.c.d.【例 4】（2010 山东德州）下列计算正确的是（a） 20 = 0（b） 3-1 = -39235（c）= 3（d）+=(-3)2【例 5】（2010 年四川省眉山市）计算的结果是a.3b -3c 3

13、d 9举一反三：1. 下列说法中正确的是（ ）a、的平方根是3b、1 的立方根是1c、=1d、是 5 的平方根的相反数2. 1.25 的算术平方根是；平方根是. -27 立方根是.， ，.类型二计算类型题1. 估算、比较大小正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围， 要想正确估算需记熟 020 之间整数的平方和 010 之间整数的立方例 1设，则下列结论正确的是（ ）a. b.c.d.解析：3例 2.(2010 年浙江省金华)在 -3， 1， 0 这四个实数中，最大的是（）3a. -3b.c. 1d. 02. 二次根式的运算二次根

14、式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义( a0 = 1(a 0), a- p = 1a p(a 0, p是整数) ，运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。1a例 1、计算 a3 +a2所得结果是1-2a+a2例 2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+其中 a

15、=9 时”，得1-2a+a2出了不同的答案，小明的解答：原式=a+=a+(1a)=1，小芳的解答：原式=a+(a1)=2a1=291=17是错误的；错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： 3)例 3、计算：（1）（322 3)2(3 2 +2（2） ( 2- 3)2001( 2 + 3)20021- a例 4、二次根式a. a 1（1）（2）（3）类型三数形结合例 1. 点 a 在数轴上表示的数为，点 b 在数轴上表示的数为，则 a，b 两点的距离为 举一反三：1. 如图，数轴上表示 1，的对应点分别为 a，b，点 b 关于点 a 的对称点为 c，则点 c 表示的数是（ ）a1 b1c2d

16、2 2。 已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示：化简3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 a，则点 a 表示的数是（ ）a、1b、1.4c、d、类型四实数绝对值的应用例 4化简下列各式：(1) |-1.4 |(2) |-3.142|(3) |-|(4) |x-|x-3| (x3)(5) |x2+6x+10|举一反三：【变式 1】化简：类型五实数非负性的应用若 a 为实数，则 a2 ,| a |, a (a 0) 均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于 0，则每个非负数都等于 0。例 5已知：=0，求实数 a, b

17、 的值。举一反三：z - 61.已知(x-2)2+|y-4|+=0，求 xyz 的值2、已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值。3、已知那么 a+b-c 的值为 类型六实数应用题例 6有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。基础训练二一、选择题1. 下列各式中正确的是（ ）a. b.c.d.2. 的平方根是( )a.4b.c. 2d.3. 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 -2 是 4 的平方根 带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（ ）a3 个b.

18、 2 个c. 1 个d. 0 个4. 和数轴上的点一一对应的是（ ）a. 整数b.有理数c. 无理数d. 实数5. 对于来说（ ）a. 有平方根b只有算术平方根c. 没有平方根d. 不能确定6. 在（两个“1”之间依次多 1 个“0”）中，无理数的个数有（ ）a3 个b. 4 个c. 5 个d. 6 个7. 面积为 11 的正方形边长为 x，则 x 的范围是（ ）a. b.c.d.8. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）a-2 与b.-与c.与d.与9-8 的立方根与 4 的平方根之和是（ ）a0b. 4c. 0 或-4d. 0 或 410. 已知一个自然数的算术平方根是 a ，则该自然数的下

19、一个自然数的算术平方根是（ ）a. b.c.d.二、填空题11. 的相反数是，绝对值等于的数是，=。12. 的算术平方根是，=。13. 的平方根等于它本身，的立方根等于它本身，的算术平方根等于它本身。14. 已知x的算术平方根是 8，那么 x 的立方根是。15. 填入两个和为 6 的无理数，使等式成立：+=6。16. 大于，小于的整数有个。17. 若2a-5与互为相反数，则 a=，b=。18若a=6，=3，且 ab 0，则 a-b=。19. 数轴上点 a，点 b 分别表示实数则 a、b 两点间的距离为。20. 一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=，x=。三、解答题21

20、. 计算 + 4 9 + 2（） （结果保留 3 个有效数字）22. 在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“ ”号连接：参考答案：一: 1、b 2、d 3、b 4、d 5、c 6、a 7、b 8、c 9、c 10、d二：11、，-312、3，13、0；0，；0，114、15、答案不唯一 如：20、1，916、517、18、-1519、2三：21、-17-92 -3637.922、一、选择题基础练习三521. 大于2，且不大于 3的整数的个数是（）a. 9b. 8c. 7d. 52. 下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理

21、数；（3）实数分为正实数和负实数；（4） 无理数包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有（ ）a.（1）（2）（3）（4）b.（2）（3）c.（1）（4）d. 只有（1）3 (3 - x)33. 要使=3x，则 x 的取值范围 ()a. x3b.x3c.0x3d.任意数4. 下列四个命题中，正确的是（ ）a. 数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数b. 数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数c. 两个无理数之和一定是无理数d. 数轴上任意两个点之间还有无数个点5. 若 a 为正数，则有()aaaaa. ab. a=c. ad. a 与的关系不确定6.2 不是()2a. 分数b. 小数c. 无理数d

22、.实数7. 下列说法正确的是（ ）a. 无限小数都是无理数b. 无理小数是无限小数c. 无理数的平方是无理数d. 无理数的平方不是整数-1 23 8. 下列等式正确的是（）916a= 3b4= 11- 1793c 3 - 9 = -3 d= 1 319. 实数 a 在数轴上的位置如图 2-6-2，则 a，-a， ， a2 的大小关系是（）.aa. a - a 1 a2ab. - a 1 a a2ac. - a 1 a a2ad. 1 a2 a 0，则 ab=1；（ ）2把下列各数分别填入相应的集合里31822|3|，213，1234， 7 ,0， 9,8, 2 ,( 2 3)无理数集合负分数集

23、合整数集合非负数集合*3已知 1x2，则|x3|+ (1 - x)2等于（）（a）2x （b）2（c）2x（d）20，32，1.2121121112中4下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？13,21， 3， 03，31，1 + 2，33互为相反数：；互为倒数：互为负倒数： *5已知、是实数，且（x 2）2 和2互为相反数，求，y 的值|a + b|6.若,b 互为相反数，c,d 互为倒数，m 的绝对值是 2，则2m2 + 1+4m-3cd=。a + 2（3）224*7已知0，则=。三、解题指导：1. 下列语句正确的是（）（a）无尽小数都是无理数（b）无理数都是无尽小数（c

24、）带拫号的数都是无理数（d）不带拫号的数一定不是无理数。2. 和数轴上的点一一对应的数是（）（a）整数（b）有理数（c）无理数（d）实数4.如果 a 是实数，下列四种说法：（1）2 和都是正数；（2），那么一定是负数，1（3）的倒数是a；（4）和的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（）（a）0（b）1（c）2（d）332 31234*5比较下列各组数的大小：（1）45 (2)|4 - a2| +a + b2a + 3b11(3)ab0 时, ab6若 a,b 满足a + 2=0,则a的值是 *7实数 a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中 o 是原点，且|a|=|c|(5)判定 a+b,a+c

25、,c-b 的符号(6) 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点 a 表示数1，若 ab3，则点 b 所表示的数为 9已知 x0，且 y|x|，用连结 x，x，|y|，y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11（2011 广东茂名，9，3 分）对于实数 a 、b ，给出以下三个判断：ab若 a = b ，则=若 a b ，则 a b 若 a = -b ，则 (-a)2 = b 2 其中正确的判断的个数是（）5a3b2c1d0 12若的值在两个整数 a 与 a+1 之间，则 a=*13.数轴上作出表示 2， 3， 5的点。四独立训练：10 的

26、相反数是 ，3 的相反数是 ，3 8 的相反数是 ； 的绝对值是 ，0的绝对值是， 2 3的倒数是 2数轴上表示32 的点它离开原点的距离是。11a 表示的数是2，且 ab3，则点 b 表示的数是。223 3 3,(1 2), 7 ,01313,2cos60, 31 ,1101001000(两 1 之间依次多一个 0),中无理数有，整数有，负数有。4. 若 a 的相反数是 27，则a|；5若|a| 2，则 a= 5. 若实数 x，y 满足等式（x3）24y0，则 xy 的值是 6. 实数可分为（）（a）正数和零（b）有理数和无理数（c）负数和零 （d）正数和负数）1（d）3*7若 2a 与 1a 互为相反数，则 a 等于（1（a）1（b）1（c）28当 a 为实数时， a2=a 在数轴上对应的点在（）(a)原点右侧（b）原点左侧（c）原点或原点的右侧（d）原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有（）（