线性代数知识点归纳

1、线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3.行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：a11a12La1n（定义法）Dna21a22La2n/d ( j1j2L jn)I(1)a1 j1 a2 j2 L anjMMMj1j2L jn3n13n2Lann（降阶法）行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 I |A，i j，ai1 Aj1 ai2 Aj2 1 ain Ajn0, i j.（化为三角型行列式）上三角、下三

2、角、主对角行列式等于主对角线上兀素的乘积b110Mb220LbnnS b22 L bnn若A与 B都是方阵（不必同阶）AB例计算-1-1(i)mn A|b-1例计算行列式-1-2-22 -11 1-13-2 557 35耳nOa1na2n1a2n 1NNar1Oan1O11L1X1X2LXn2212X1X2LXnXiXjMMM1 j nn 1n 1Ln 1X1X2Xn关于副对角线:范德蒙德行列式:n(n 1)(1)ana2nKan1a bb b LbbabLa b型公式：bbaLba (n 1)b(a b)MMMO1bbbLa（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法（递推公式

3、法）对n阶行列式Dn找出Dn与Dn 1或Dn 1, Dn 2之间的一种关系称为递推公式，其中Dn, Dn 1，Dn 2等结构相同，再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法（拆分法）把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算 （ 数学归纳法 ）n2. 对于n阶行列式A，恒有：E A n ( 1)$ n k，其中Sk为k阶主子式;k 13. 证明A 0的方法： 、A |A ； 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax 0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A) n ； 、证明0是其特征值.Aij ( 1)i jM4. 代数余子式和余子式的关

4、系：Mg ( 1)i jAj第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质1.矩阵的定义4. 矩阵方程的求解a11a12La1na21a22La2n称为m n矩阵MMM由m n个数排成的m行n列的表Aam1am2 Lamn记作：A aj mn或Amn同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）b.数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A或A ，规定为 A （ aij）.c.矩阵与矩阵相乘：设A （aj）ms, B （bj）sn,则CAB(cij)m n，其中b2jCij(ai1，ai

5、2，L , ais) mai1b1 jai2b2 j注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式ABABBA0 A不成立.0或 B=0a.分块对角阵相乘：AA11,BBnABAI1B11,An An11A：A22B22A22B22b.用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的（行行向量；a0L0 S 血Lbina1b)2La1l nB0a2L0b21b22Lb2na2b21a?b22La2b2nMMOM M MOMMMOM00Lambm1bm2LUmnambm1ambm2La bUm mn用对角矩阵（右右乘一个矩阵，相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的（列）向量.c.5L

6、b1na10L0冃bh比5Lamdnb21b?2Lb2n0a2L0aib21a2b22Lamb2nMMOMMMOMMMOMbm1bm2Lbmn00Lama1bm1a2bm2Lambmn两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘d.方阵的幕的性质：AmAn Am n， (Am)n (A)mna.b.矩阵的转置：把矩阵 A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵A分块矩阵的转置矩阵:伴随矩阵：A*AjAA A A AE,分块对角阵的伴随矩阵:A的转置矩阵,记作at .A是反对称矩阵AnAI2MAnAnat .At.AtBtCTDtA21A22MAnA1.*BA*

7、ABAj为A 中各个元素的代数余子式(1)mn B A1)mn A B矩阵转置的性质：T T(A ) ATT T(AB)B AATIA1 TT 1(A ) (A )TT(A )(A)矩阵可逆的性质：(A1)1 A1 1 1(AB)B AA11 IA1(A1)k (Ak) 1 Ak伴随矩阵的性质：(A)|An2A(AB) B AAl|An1(A1)(A) 1 请kk(A ) (A )n若 r(A)nr(A )1若r(A)n10若 r(A)n1|AB |A|BAk|kAAA A A |A E (无条件恒成立)2.逆矩阵的求法方阵A可逆A0.伴随矩阵法A1 A|A|a1b1db主L换位):cdad

8、bc c a畐Ul变号初等变换法(AhE)初等行变换1(EMA 1)1 2 2例求212的逆矩阵2 2 112 2 1I*2 1 2 02 2 10110:0119r39I2010192 b1“ 12001001r3 2r2100r2r101022991299，21992 2 10I362133011 2所以212 21 00r3 r20 0 1113r21212992211992299r1 2r2 0 01-21201332210-11339221292919分块矩阵的逆矩阵A1A11AB1BB 1BA1A1CA 1A1CB 1A1OA 1OOBOBCBB 1CA 1B1111a1a1爲a2

9、丄a25a2a2a31a31配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义AB BA E A 1 B ）例 设方阵A满足矩阵方程A2 A 2E 0,证明A及A 2E都可逆，并求A 1及A 2E11解由A2 A 2E 0得A E A E ,故A可逆，且A 1 A E .221由 A2 A 2E 0也可得(A 2E)(A 3E) 4E 或(A 2E)(A 3E) E ,故 A 2E 可逆,且41 1A 2E -(A 3E).43行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都

10、是0时,称为行最简形矩阵4.初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj (CiCj )E(i, j)1E(i,j)E(i, j)|E(i, j) 1ri k ( q k )E(i(k)Ei(k) 1 Ei(；)|Ei(k)| krirjk ( Ci Cj k)E(i,j(k)1Ei,j(k)Ei,j( k)Ei,j(k)|1矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等(行行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵 乘A ;对A施行一次初等0列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵(右右乘A.注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其

11、位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵5矩阵的秩关于A矩阵秩的描述:、r(A)、r(A)A的r阶子式全部为0;、r(A)A中存在r阶子式不为0;?矩阵的秩的性质:r( A) 1; A Or(A) 0； 0 w r(Am n)冬 min( m, n)r(A)r(AT) r(ATA)r(kA)r(A) 其中k 0若Am n,B. s,若r(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0的解r( AB) w minr(A),r(B)P、Q可逆,r(A) r(PA)r(AQ) r(PAQ);即：可逆矩阵不影响矩阵的秩A中有r阶子式不为0, r 1阶子式(存在的话)全部为0;Ax只有零解

12、r(Am n) nr(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律AB O B OAB AC B Cr(Bns) nr(AB) r(B)B在矩阵乘法中有右消去律若r(A) rA与唯一的ErOO等价称Er O为矩阵A的等价标准型.O Or(AB) r(A)r (B), maxr(A),r(B) r(A,B) 1、日1a2 L aX2（全部按列分块，其中b2）；n MMXnbn、ax182 X2Lan Xn（线性表出）、有解的充要条件：r（A） r（A, ） n （ n为未知数的个数或维数）b11b12 Lb1sb21b22 Lb2s则 ABC m s1,2 , ,nc1, c2,L , csnMMM

13、 1 2bn1bn2 LbnsA i ci ，(i1,2 ,L, s)i为Axci 的解A , ,12sA1, A 2, A sc1,c2,L , csc1, c2,L ,cs可由1, 2, n 线性表 示 .即：C 的列向量能由A的列向量线性表示，1B 为系数矩阵 .同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵 .a11 a12La1n1c1a11 1 a12 2 La1n 2c1即：a21 a22La2n2c2a21 1 a22 2 La2 n 2c2A lJ .MMMMMLLLan1an2Lamnncmam1 1 am 2 2 Lamn 2cm12n , B 的列向量为12

14、s2. 设 Am n,Bn s, A 的列向量为3. 线性相关性判别方法：法1法2法3推论线性相关性判别法（归纳）?线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合 ,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关（向量个数变动） 原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关 ，原向量组相关（向量维数变动） 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 向量组1, 2, , n中任一向量 ,1 i w n）都是此向量组的线性组合. 若1, 2, , n线性无关，而 1, 2, , n,线性相关,则 可由1, 2, ,

15、 n线性表示,且表示法唯一4. 最大无关组相关知识记作 r( 1, 2,L , n)向量组的秩 向量组1, 2丄,n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B .向量组等价|1, 2, n和1, 2, n可以相互线性表示记作： 1, 2, n % 1, 2 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩 矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 ，且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组1,2,s可由向量组1, 2, n线性表示，且S n，则1, 2, s线性相关向量组1,2,s线性无关，且可由1, 2, n线性表示，则S W n.向量

16、组1, 2s可由向量组1 ,2, n线性表示,且r ( 1 ,2 , s ) r( 1 ,2 ,n）,则两向量组等价;任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等 设A是m n矩阵,若r（A） m , A的行向量线性无关;5. 线性方程组理论向量式 捲！X2 2 L xn na11a12Lai nX13a21a22La2nX2b2A,x1MMMMMam1am2LamnXntm线性方程组的矩阵式Ax(1)解得判别定理其中1j2j1,2,L , nmJ(2)线性方程组解

17、的性质:(1)1, 2 是 Ax的解,12也是它的解是Ax的解,对任意k, k也是它的解1 , 2 ,L ,k是Ax的解,对任意k个常数齐次方程组1 , 2,L ,k,1 12 2 k k也是它的解是Ax的解,是其导出组Ax 的解,是Ax的解1, 2是 Ax的两个解,12是其导出组Ax的解2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax1 , 2,L ,k是Ax的解,则1 12 2 Lk k也是Ax的解12的解21 11 2 L2 L k k是Ax 0的解判断1, 2丄,s 是 Ax的基础解系的条件1, 2丄，s线性无关；1, 2丄,s都是Ax的解；sn r(A)每个解向量中自由未知量的个数(4

18、) 求非齐次线性方程组 Ax = b 的通解的步骤(1)将增广矩阵(A b)通过初等行变换化为 阶梯形矩阵； 当r(A b) r(A) rn时，把不是首非零元所在列对应的n r个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得 Ax b的一个特解0；(4) 不计最后一列，分别令一个自由元为1，其余自由元为零，得到 Ax 0的基础解系 1, 2,., n-r ;(5) 写出非齐次线性方程组Ax b的通解x 0 k1 1 k2 2 . kn r n r其中k1,k2,.,kn r为任意常数例求下述方程组的解Xi X2 X3 X4 X57,3xi X2 2x3 X4 3x52,2x2 X3 2X4 6X523

19、11111解廉(A,b)312130212610102972220111323232001000X11X32x5X4原方程组等价于方程组X2212X3X43X5X3100令x40 ,1 ,0 .X5001由于r(A)r(A) 25，知线性方程组有无穷多解92232求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系9求特解：令x3 x4 x5 0,得x1-,X221202121311,20,300100019 22323 2故特解为0 .2 .0012029 2121323 2所以方程组的通解为x k1112 0k300，( k1, k2, k3为任意常数)00000010(5)其他性质一个齐次线性方程组

20、的基础解系不唯一 .若 是Ax 的一个解，1, ,L , s是Ax的一个解仆，L , s,线性无关AV Ax 与Bx 同解（代B列向量个数相同）rr（A） r（B）,且有结果：B 它们的极大无关组相对应 , 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系 .V矩阵Amn与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B （左乘可逆矩阵P ）;矩阵Amn与Bl n的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵 Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程1.2.特征值、特征向量的性质及计算3.矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化标准正交

21、基 n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.向量a1, a2,L , an 与d,b2丄，bn T的内积nah 曲a?b2 Lanbni 1与正交 （，）0 记为:亠=T向量a1,a2,L ,an 的长度II II 厂是单位向量| | | J（,）1.即长度为内积的性质：正定性：（，）0,且（，对称性：（，)(,)线性性：（12, ) ( 1 ,(k ,)k(,)1的向量2.n)a2i 12an3. 设A是一个n阶方阵，若存在数 和n维非零列向量x,使得（）是矩阵A的特征多项式(A) Otr A， tr A称为矩阵A的迹上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.0

22、,则0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.r(A)为:aia21A一定可分解为 A= bMan1 tr Aa1b1a2b2Lanbn,2b2, L , bn、A (印 a?b2 L anbn)A,从而 A的特征值T爲a1, a2,L ,an为A各行的公比，b| ,b2,L ,bn为A各列的公比若A的全部特征值i, 2,L , n, f (A)是多项式，则：若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( 1), f ( 2) L , f( n) ； | f(A) f ( i)f( 2)L f( n). A与At有相同的特征值，但

23、特征向量不一定相同4.特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A的特征方程 A E 0，求出特征值 根据(A iE)x 0得到A对应于特征值i的特征向量设(A iE)x 0的基础解系为1, 2,L n ri,其中 ri r(A iE).k2 2 Lkn 斤 n 斤，则A对应于特征值i的全部特征向量为ki i其中ki,k2,L ,心斤为任意不全为零的数.211例求A020的特征值;和全部特征向量413解第一步:写出矩阵A的特征方程，求出特征值211AE020(2413)24 31 ( 2)2( 1) 0解得特征值为11, 232.第二步：对每个特征值代数齐次线性方程组(AE)x 0,求其非零解，即

24、对应于特征值的全部特征向量1时，齐次线性方程组为(A E)x 0,系数矩阵1 11101A E0 300104 14000得基础解系:R10，故对应于特征值1的全部特征向量为k1P1 (k 0)1当 2时，齐次线性方程组为 (A 2E)x 0,系数矩阵411411A 2E00000041100001得基础解系:P21，P3014故对应于特征值2的全部特征向量为k2F2 k3F3,其中k2, k3不全为零.5. A与B相似P 1AP B（ P为可逆矩阵）A与B正交相似| P 1AP B（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵相似（称是A的相似标准形）6. 相似矩阵的性质: E A E B ,从

25、而 代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.（注注是A关于0的特征向量，P 1是B关于0的特征向量 tr A tr B A B 从而AB同时可逆或不可逆 r(A) r(B)若A与B相似，则A的多项式f （A）与B的多项式f （A）相似.7. 矩阵对角化的判定方法 n阶矩阵A可对角化（即相似于对角阵）的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量这时，P为A的特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵，主对角线上的元素为 A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有:P 1APA可相似对角化n r（ iE A） ki，其中匕为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量i的重数 n r（A） Ax基

26、础解系的个数 ：当i 0为A的重的特征值时， A可相似对角化 若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化8. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数 ,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；(B：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r( iE A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值 9. 正交矩阵 AA E正交矩阵的性质：A a 1 ； AAT AT A E； 正交阵的

27、行列式等于 1 或-1； A是正交阵,则A，A 1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行(列)向量都是单位正交向量组10.1 2 0例实对称阵A2 22，求正交阵Q ,使得Q 1AQ为对角阵.0231 2(1)(2)(5) 0解 A E 220 2所以A的特征值为11时，解（AE)x得基础解系为x.(2,2,1)T2时，解（A2E)x得基础解系为X2(2,1, 2)T5时，解（A5E)x得基础解系为X3(1,2,2)t2213332令Q （力以以）12 1 T，贝V Q AQ Q AQ333122令y1y2X2_X22 1 2 tX33, 3, 3) y3 42 0 00 5 00

28、0 1333X1_xf丄，-,2)t33 311.施密特正交规范化1 , 2, 3线性无关正交化 23(2,1)21(1,1)(3,1)（3,2）3“、 1“ 、 2(1,1)（2,2）1223单位化:技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量第四部分二次型1.1.2.3.二次型及其矩阵形式二次型向标准形转化的三种方式正定矩阵的判定二次型f（XX2 丄，Xn）a11a12Lai nX1a21a22La2nX2LLLLLan1an2LannXnnajXjXj （Xi, X2 丄，Xn）j 1xtAx其中A为对称矩阵,（Xi,X2丄,Xn）TA与B合同CtAC B .(A, B为实对称矩阵，C为可逆矩阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2p r ( r为二次型的秩) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等 两个矩阵合同的充分条件是：A