(word完整版)等差等比数列知识点梳理及经典例题,推荐文档

1、数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师a、等差数列知识点及经典例题一、数列由an 与sn 的关系求an由 sn 求 an 时，要分 n=1 和n2 两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段0ns - s函数的形式表示为 a = s1 nn-1(n = 1)(n 2) 。例根据下列条件，确定数列an的通项公式。分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2） 可转化后利用累乘法求解；（3） 将无理问题有理化，而后利用 an 与 sn 的关系求解。解答：（1）（2） 累乘可得，故（3）数列知识点梳理及经典习题出题人：李老师二、等差数列及其前 n 项和（一）等差数列的判定1、

2、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义， an - an-1 = d (常数)(n 2) ，第二种是利用等差中项，即2an = an+1 + an-1 (n 2) 。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前 n 项和直接判断。（1） 通项法：若数列 an 的通项公式为 n 的一次函数，即 an =an+b,则 an 是等差数列；（2） 前 n 项和法：若数列 a n的前 n 项和 s 是n s =n an2 + bn 的形式（a，b 是常数），则 a 是n 等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。1例已知数列 an 的前 n 项和为 sn ，且满

3、足 sn - sn-1 + 2sn asn-1 = 0(n 2), a1 = 2131（1） 求证：sn是等差数列；（2） 求 an 的表达式。n分析：（1） s1- sn-1+ 2snasn-1= 0 1sn1与sn-1的关系 结论；（2）由sn的关系式 sn 的关系式 an11111解答：（1）等式两边同除以 sn asn-1 得 s-sn-1n+2=0，即sn-sn-1=2（n2）.sn是以11=2 为首项，以 2 为公差的等差数列。s1a1111（2）由（1）知sn= +（n-1）d=2+(n-1)2=2n, sn =s1 ,当 n2 时，2n 1(n = 1)11 2an =2 sn

4、 sn-1 = 2n(n -1) 。又 a1 = 2 ，不适合上式，故 an = 1。 2n(n -1)(n 2)【例】已知数列an的各项均为正数，a11.其前 n 项和 sn 满足 2sn2pan2anp(pr)，则an的通项公式为 a11，2a12pa1a1p，即 22p1p，得 p1.于是 2sn2anan1.当 n2 时，有 2sn12an2 1an11，两式相减，得 2an2a22an2 1anan1，整理，得 12(anan1)(anan12)0.11n1又an0，anan12，于是an是等差数列，故 an1(n1)2 2 .（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式 a =

5、a +（n-1）d 及前 n 项和公式 s = n(a1 + an ) = na+ n(n -1) d ，共涉及n1n212五个量 a1 ， an ，d,n, sn ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量， 用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为 sn = d n + a - d = a + (n -1) d ，故数列 sn 是等差数列。n21212n例已知数列 x 的首项 x =3，通项 x = 2n p + nq(n n *, p, q为常数) ，且 x ， x ， x 成等差数n

6、1n145列。求：（1） p, q 的值；（2） 数列 xn 的前 n 项和 sn 的公式。分析：（1）由 x1 =3 与 x1 ， x4 ， x5 成等差数列列出方程组即可求出 p, q ；（2）通过 xn 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由 x1 =3 得2 p + q = 3又 x = 24 p + 4q, x = 25 p + 5q,且x + x = 2x，得3 + 25 p + 5q = 25 p + 8q45154由联立得 p = 1, q = 1 。（2）由（1）得， xn =2n +n（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为 d，若 d0,则数

7、列递增；若 d0,d0,且满足，前 n 项和 sn 最大； n+1an 0a 0（2） 若 a10，且满足，前 n 项和 sn 最小； n+1（3） 除上面方法外，还可将an 的前 n 项和的最值问题看作 sn 关于 n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意 n n * 。例已知数列an 是等差数列。（1） 若 am = n, an = m(m n), 求am+n ;（2） 若 sm = n, sn = m(m n), 求sm+n .解答：设首项为 a1 ，公差为 d ，n - m（1） 由 am = n, an = m ， d = m - n = -1 am+n = am

8、 + (m + n - m)d = n + n (-1) = 0.m = na + n(n -1) da = n2 + m2 + mn - m - n12, 解得 1mn.（2） 由已知可得n = ma + m(m -1) dd = -2(m + n)12mn sm+n= (m + n)a1+ (m + n)(m + n -1) d = -(m + n)2【例】已知数列an的各项均为正数，sn 为其前 n 项和，对于任意的 nn*，满足关系式 2sn3an3.(1) 求数列an的通项公式；1(2) 设数列bn的通项公式是 bnlog3anlog3an1，前 n 项和为 tn，求证：对于任意的正

9、整数 n，总有tn1.(1)解 当 n1 时，由 2sn3an3 得，2a13a13，a13.当 n2 时，由 2sn3an3 得， 2sn13an13.两式相减得：2(snsn1)3an3an1，即 2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当 n1 时，a13 也适合 an3n.an的通项公式为 an3n.11(2)证明 bnlog3anlog3an1log33nlog33n1 111 (n1)nnn1，tnb1b2bn11111(12)(23)(nn1) 11n11.等差数列习题sn1. 设an为等差数列，sn 为an的前 n 项和，s77，s157

10、5，已知 tn 为数列 n 的前 n 项数，求tn2. 已知数列an 是等差数列，其前 n 项和为 sn ， a3 = 6, s3 = 12 （）求数列an的通项公式；（）求 1 + 1s1s21+l + 1 sn12.解：设数列an的公差为 d，则 snna12n（n1）d)7a121d7a12s77，s1575， 15a1105d75 ， d1 sn11 n a12（n1）d22（n1）sn + 1 sn 1sn1 n1 n 2数列 n 是等差数列，其首项为2，公差为2，n（n1） 119tnn(2)224n24na1 + 2d = 614. 解：（）设数列an的公差为，由题意得方程组 3

11、a+ 3 2d = 12，解得nn1na1 = 212d = 2，数列a 的通项公式为 a = a + (n - 1)d = 2n ，即 a = 2n （） an= 2n ， sn= n(a1 + an ) = n(n + 1) 2111111+l +s1s2sn=+l +1 22 3n(n + 1)= 11111+( -) + (- ) +l + (-1 ) = 1 -1 1223nn1n1b、等比数列知识点及练习题等比数列及其前 n 项和（一）等比数列的判定判定方法有：（1） 定义法：若 an+1 = q(q为非零常数)an = 常q(q数且n2 ) ，则a 是等比数列；a或为非零nnan

12、-1（2） 中项公式法：若数列an中， an 0且a2n+1 = an aan+2 (n n * ) ，则数列an是等比数列；（3） 通项公式法：若数列通项公式可写成 an = cqn (c, q均为不为0的常数， n n * )，则数列a n是等比数列；（4） 前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 s n= k aqn - k (k为常数且k 0, q 0,1) ，则数列an是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2） 若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例在数列an中， a1 = 2,

13、an+1 = 4an - 3n +1, n n * 。（1） 证明数列an - n是等比数列；（2） 求数列an的前 n 项和 sn ；（3） 证明不等式 sn+1 4sn 对任意 n n * 皆成立。解答：（1）由题设 an+1 = 4an - 3n +1, 得 an+1 - (n +1) = 4(an - n), n n * 。又 a1 -1 = 1, 所以数列an - n是首项为 1，且公比为 4 的等比数列。（2） 由（1）可知 an- n = 4n-1 ，于是数列a n 的通项公式为 a = 4n-1 + n 。所以数列a n的前 n 项和 sn =4n+1 -1 +3n(n +1)

14、。2（3） 对任意的 n n * ，4n+1 -1(n +1)(n + 2)4n -1n(n +1)12sn+1 - 4sn =+- 4+ = -(3n+ n - 4) 0 ，所以不等式32322sn+1 4sn 对任意 n n * 皆成立。（二）等比数列的的运算等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量 a1 ， n ， q ， an ， sn ，显然，“知三求二”，通常列方程（组）求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，切不可

15、忽视 q 的取值而盲目用求和公式。例设数列bn的前 n 项和为 sn ，且bn =2-2 sn ；数列an为等差数列，且 a6 = 14, a7 = 20 。（1） 求数列bn的通项公式；（2） 若c = a ab (n n * ) ， t 为数列c 的前 n 项和，求证： t sn 成立的最小正整数n .n-1a - 1 = 5 (a- 1)解析：(1) 当 n=1 时，a =-14；当 n2 时，a =s -s=-5a +5a+1，所以 n6，1nnn-1nn-1又 a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；，得66 5 n-1 5 n-1 5 n-1(2) 由(1)知：an - 1

16、 = -15 6 an = 1 - 15 sn = 75 + n - 90 ，从而 (nn*)； 5 n-1 log 5 2 + 1 14.9 6 525由 sn+1sn，得 ，6【其他考点题】，最小正整数 n=151、设an（nn*）是等差数列，sn 是其前 n 项的和，且 s5 s8 ，则下列结论错误的是（c）a.d0b.a70c.s9s5d.s6 与 s7 均为 sn 的最大值解析：由 s5s6 得 a1+a2+a3+a50，又s6=s7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由s7s8，得 a8s5，即a6+a7+a8+a90 2（a7+a8）0，由题设 a7=0，a80

17、，显然 c 选项是错误的。2、lim 1 + 2 + 3 +l + n （c）nn2(a) 2(b) 4(c) 12(d)0ac3、已知 a、b、c 成等比数列，a、x、b 和b、y、c 都成等差数列，且 xy0，那么 +的值为（b）。xy（a）1（b）2（c）3（d）44、已知等差数列an的前n 项和为 sn = pn2 - 2n + q( p, q r), n n（）求 q 的值；（）若 a1与 a5的等差中项为 18，bn 满足 an = 2 log2 bn ，求数列的bn前 n 项和。()解法一：当 n = 1 时， a1 = s1 = p - 2 + q ,n 2a = s - s

18、- = pn2 - 2n + q - p(n -1)2 + 2(n -1) - q = 2 pn - p - 2当时, nnn 1.qan 是等差数列, p - 2 + q = 2 p - p - 2 , q = 0 4 分解法二：当 n = 1 时, a1 = s1 = p - 2 + q ,n 2a = s - s - = pn2 - 2n + q - p(n -1)2 + 2(n -1) - q = 2 pm - p - 2当时, nnn 1.当 n 3 时, a1 - an-1 = 2 pn - p - 2 -2 p(n -1) - p - 2 = 2 p .a2 = p - 2 +

19、q + 2 p = 3 p - 2 + q .又 a2 = 2 p 2 - p - 2 = 3 p - 2 ,所以3 p - 2 + q = 3 p - 2 ,得q = 04 分q a = a1 + a5 =()解：32, a318 .又 a3 = 6 p - p - 2 , 6 p - p - 2 = 18 , p = 4 an = 8n - 6 8 分a = 2 log bb = 24n-3又 n2n 得 n. n+1 = 16=b24(n-1)-142b = 2b24n-3b 1, n,即 n 是等比数列。所以数列bn的前n2(1-16n )2ntn =(16项和1-1615-1).“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, pe