裂项相消与放缩法解数列专题

1、v1.0可编辑可修改数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1,an是d 0的等差an ? an 1数列。常用裂项形式有:1n(n 1)丄；11(1n 1 n(n k) kn2代）；詁咕1讣12n1n(n 1)( n 2)(n 1)；n2)；1( n kn)特别地:.n1112、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种:nf (n):ai k ( k为

2、常数)i 1nnn ai k ( k为常数)， ai f(n); aii 1i 1i 1放缩目标模型T可求和（积）T等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：a2 1a ;、n(n1) n1n(n 1)1n(n 1)1(程度大)n 11n211(n 1)( n1)(n2）（程度小）1n 1或n 1丄2n12n112n1n 1丄2nn12n1 1 nn2nn1121、23v1.0可编辑可修改1平方型：冷n12(2n 1)44n214n2 4n44n2-2( 11 2n 1-A4n(n 1)4121n 1)；1丄)n立方型:1n(n21)2(1 (n 2)n

3、(n 1)指数型:bn1an 1(aby(a1) ； - an b1(a b 1)12,k ；利用基本不等式,.n(n 1)n (n 1)2，女如： log 3 Ig 5(叮)2 15 16 4(一)放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列例如：(1)求证:1(nN ).(2)求证:1 122 1 23 112n 11( n N*).(3)求证:n*厂 2(n N).总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若ai可直接求和，i 1就先求和再放缩；若不能直接求和的，般要先将通项an放缩后再求和问题是将通项 an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的bn才行呢其实，能求和的常见数列模型23v1.0可

4、编辑可修改并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等.实际问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型.(1)先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列an的前n项和为S,满足4S= an+12 4n- 1, n N*，且a2, a5, ai4构成等比 数列.(1) 证明：a2. 4a1 5 ;(2) 求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有1aa2Hl1a*an 1(2)先放缩再求和1例如：求证：122厶2(nn例如：函数f(x)4x1 4x求证:f(1)f(2)f(n)33v1.0可编辑可修改例2.设数列an的前n项和为S,满足2S二且勺一 2田+1, nE，且ai

5、, a2+5, a3成等差数列. n jut!(1) 求 ai 的值;(2)求数列an的通项公式;总结:(3)证明：对一切正整数般地，形如an an bn或an1 1an b (这里a b 1)的数列，在证明a?an(k为常数)时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型练习:1.设数列an满足 an 0 , a1 1, an(1 2n)a.an 1 an 1(n 2)，数列a.的前 n项和为 Sn.(1)求数列an的通项公式;(2)求证：当n2时,Sn(3)试探究：当n 2时，是否有6nSn 5说明理由(n 1)(2 n 1)344v1.0可编辑可修改(3)形如aif(n)例如：

6、设Sn ,1 2.2 3.n(n 1)，求证：n(n 1)Snn(n 2)(n).根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系:I aba2 b2注：应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式abK-，若放缩成2.n(n 1) n 1，则得 Snki1(n 1)( n 3) (n 1)2，就放过“度”了。255总结：形如aif（n）的数列不等式证明:设Sn和Tn分别为数列a*和5的前n项和，若anbn(nN ），利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有 Sn Tn.要证明不等式aii 1f （n），如果记Tnf（n）看作是数列bn的前n项和，则bn Tn Tn1

7、（n 2），b1 T1，那么只要证其通项满足 anbn即可.（二）放缩目标模型一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的bn是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是 bnCn 1Cn 1 （分式型），累乘后约简为bC1Cn姐妹不等式：b L（ba a ma 0, m 0)和-一 (a b 0, m 0)a a m记忆口诀：“小者小，大者大”，（解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之）。v1.0可编辑可修改例如：求证：-22n 12n1 1 1.2n 1。例如：求证：(11)(1)(1)(1)352n 1n总结：形如aif(n)的数列不等式证明：设An和B

8、n分别为数列%和0的前n项积，若i 1n0 an bn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有An Bn.要证明不等式ai f(n)，i 1B如果记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bn -(n 2)，bB1，那么只要证其通项满足B n 10 anbn即可.2 a2*例3.已知数列an满足a1-， an 1 n (n N )3 2a n 31(1)求证： 是等差数列，并求出an的通项an ； an 1* 1(2)证明：对于 n N，a1 ? a? ? 83 ? an .In 166v1.0可编辑可修改（二）添加或舍去一些正项（或负项）电(na n 1*N ).若多项式中加上一些

9、正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。n*n 1 ai a2例如：已知an 2n 1(n N )，求证：-223 a 2 a 3a 1例4.已知数列an的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn（）12(1 )求 an与an1(n2）之间的关系式，并求an的通项公式;1(II )求证11 2.S1S2Sn例5.已知数列 M 满足：斷厂3|，%衬二3出片j ,川匕旷，记必=巳一（I ）求证：数列仿J是等比数列；（II）若 -对任意仃冲;恒成立，求t的取值范围；（II

10、I）证明：亦+匚.77v1.0可编辑可修改(三)固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列an的前n项和为S.已知a = 1, 2S1n1 2 an 1n3n - , n N*3(1 )求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n,有丄丄1 7aia2an 4练习:2.设 s 11，则s的整数部分是(1003.已知an是各项都为正数的数列，Sn为其前n项和，且a11 , Sn -(an 丄)2an(I )求数列an的通项an ；1 1(II )求证：112(1 ).2S 3S2(n 1)SnSn188v1.0可编辑可修改数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（

11、通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1,an是d 0的等差 an ?an 1数列。常用裂项形式有:1n(n 1)1丄；1n n 1 n(n k)k(12代）；詁盟”才12n1n(n 1)( n 2)2右(n 1Xn 2)；99(：a 、b)； a b(1尸 1 (k 扌n)特别地:.n k ，n k、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种:nf (n):ai k ( k为常数)i 1nnn ai

12、k ( k为常数)， ai f(n); aii 1i 1i 1放缩目标模型T可求和（积）T等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法v1.0可编辑可修改1011a ; Jn(n1) n1111 112 nn(n1)n1； 2 nnn(n 1)1111 112 n2 n1(n1)( n1)2(n1 n 11111 11n1 n2n32n n1 n 1或-11111 1（2）将分子或分母放大（或缩小）1n)(n22n2n2nnn 1n 3（1）添加或舍去一些项，如：.a21(程度大)n 12）（程度小）1.31、n平方型:12(2n 1)4n214n2 4n_4 4n22(2n 1-,

13、4n(n 1)412n1n 1立方型:1n(n21)指数型:bnan 1(a12、.k ；利用基本不等式，.n（n 1）例如:分析:解析:n12n-）；1丄）n1n2n12n 2)n (n 1)2，如：log 3 lg 5放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列1 * 班 1(n N ). 11-2am(a b)(a b 1)(lg3 lg5)2 lg .15 lg .16 Ig 4 2不等式左边可用等比数列前1 12（1 歹）1左边=2汁1 212n项和公式求和。表面是证数列不等式，实质是数列求和。111（2）求证：一厂厂2 1 22 1 23 11 *厂 1(n N).分析：左边不能直接求和

14、，须先将其通项放缩后求和，将通项放缩为等比数列。v1.0可编辑可修改解析：V11，左边-21112(12n) 12 1 1 11 2n2n12n22232n12(3)求证：123n2(n*N )2 12222332n n分析：注意到n2nnn，将通项放缩为错位相减模型。2解析：vnn1，左边1223n2n 2 22nn2n2223n2n2n 2总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若ai可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，i 1一般要先将通项an放缩后再求和问题是将通项an放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的bn才行呢其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错

15、位相减模型、裂项相消模型等实际问题中，bn大多是等比模型或裂项相消模型(1) 先求和再放缩2 *例1.设各项均为正数的数列 an的前n项和为S,满足4S= an+1 4n 1, n N,且a2, a5, ai4构成等比数列.(1)证明：a2. 4a1 5 ；求数列an的通项公式;(3)证明：对一切正整数aa21a2a3Hl1anan 11112解析：(1)当 n= 1 时，4a1= a22 5,. a22 = 4a1 + 5. v an0,. a2：_5.当 n2 时，4Sn 1 = an 4( n 1) 1,；4S= an+1 4n 1,由一，得 4an= 4S 4S-1= 31+ 12 a

16、n2 4,. an +12= an2 + 4an+ 4 = ( an+ 2) 2. V an 0,. an+ 1= an+ 2,当n2时，an是公差d= 2的等差数列.V a2, a5, a14构成等比数列，.a52 = a2 a14, ( a2+ 6)2= a2 ( a2+ 24)，解得 aa= 3.由(1)可知，4a= a/ 5= 4,. a1= 1. v a2 a1 = 3 1 = 2 , an是首项 a1= 1,公差 d = 2 的等差数列.数列an的通项公式为an= 2n 1.1a?III1anan 11 1133 5III12n 1 2n 11 1丄5 72n 1 2n 1v1.0

17、可编辑可修改1,1 11 -2 2n 12总结：(3)问左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩，表面是证数列不等式，实质是数列求和。(2)先放缩再求和求证：1夕31例如:1 * 2( nN), n分析:左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，保留第一项,从第二项开始放缩。解析:n(n1) n 1 n2)左边1(1 2)1(荷(n 2)例如:1时,不等式显然也成立函数f(x)4xrv，求证：f(1)f(2)f(n)(n N*).21213分析：此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从 而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设

18、法使其中之一变为常量，分式的放缩对 于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩 小或分母放大即可。严41证明：由J(讯戶=1 1 14 盯 1 + 42 2) V (2) (n) i_1+ 1-11-1ft*r r *r, r “1 1 1 1 1例2.设数列an的前n项和为S,满足2 S二曰n 一 2讨十1nF N”，且a1, a2+5, a3成等差数列. n utl(1) 求 a1 的值;(2) 求数列a n的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n,有-! 1 . .al a32解：(1)在 2S=an+1-2n+1+1 中，令 n=1

19、得：2S=a2 - 22+1，令 n=2 得：2S2=a3 - 23+1,1a2=5 也满足 a2=3a1 +2 ,解得：a2=2a+3, a3=6a什13，又 2 (a2+5) =a+a3,解得 a1=1(2)由 2S=an+1- 2n+1+1, 2S卄i 二 2+1 得 an+2=3an+1+2n+1,又 內=1,所以 an+1=3an+2n对 n N*成立，.a n+1+2n+1=3 ( an+2n),又 a1=1, a计21=3,a n+2n=3n,.a n=3n - 2n;(3)分析：(3)左边不能直接求和，考虑将通项放缩后求和。利用指数函数的单调性放缩为等比模型。v1.0可编辑可修

20、改V 3” 一 2= 3“ 1 一 (訐二 3逗-白=3fl_l ： 5-T (HEN*)3H - 2/J3i左边 2X3 2 =2an,当n2?总结:般地，形如an an bn或an + - + - + + 1 w 1+_+L x-+ al引幻%525n-2J ,?an b (这里a b 1)的数列，在证明1 1a a?an(k为常数)时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型练习:.a n=3n 2n= ( 3- 2) ( 3n1+3n_ 2X 2+3n3X22+2“ 1)3 n1314设数列an满足 an 0， a1 1， an(1 2n)a.an 1 an 1(n 2)，

21、数列a.的前 n项和为 Sn.(1) 求数列an的通项公式；(2) 求证：当n 2时，丄 Sn 2 ；n 1(3) 试探究：当n 2时，是否有6nSn 5说明理由(n 1)(2 n 1)3解= * an 7 01 0 (n2).卩口 _fl2叫(?刃巧Li. (!- 5口曲刀-1a泌旷1口曲kl即一 = | 1一2町囲育=2?)-1、 )+(- )+.+( 1+3+5+?+-+J】卫_ 门=7, (n2)尙 1町 碍亚2又丄二1也适倉上式，_ 1ir二 口片v1.0可编辑可修改占加=卫1卫2-应舟=1-.当 4 时,召勺十【(I-扫卜+十(匕-占N-令S1 1?)- -1 )1 -1 r7-和

22、Sv+f*(?!+1) J? ?J1. s“( i一 .T冷p)= 1-,-j” 1J当时，S, 2叶1 nX-J_6-显然这在时咸立15 丄*十 仙=二显碱二二(m-1)(2j+1)(2+1)m 545即当也2时為$； 人也威立(卄一16j;而厂二1編上所应当宀时有冷可$n(3)形如aif (n)i 1例如：设Sn 、1 2.2 3n(n 1)，求证：罟叮(n*N ).分析 不等成形和gevfqv/sn左、右两边箱式子都是某 r=l等差数列的和，因此考虑将通项阿莉放缩为等差模型后求和. 乱路兀二葺唤辰+皿+阿匹异二心 盜二也+E+妬 + + & C+ G显然不尊或的中间超数列=Vh(h +

23、D的前项和*设为打， 要证丁严S/Rj则只耍证即可.利用公式bn = TnTn_n2)易得：hn - n .同理二十 闵此，问题转化为只娈证n yjn(n 4-1) n+-v1.0可编辑可修改证明川；二鸟 72 + 23 + 羽(农 + 1)2k=t+ 2)a b a2 b2根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系:1516注：应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab专，若放缩成.n(n 1)n 1，则得Snki 1i 1(n 1)(n 3) (n 1)2，就放过“度”了。2总结：形如aif(n)的数列不等式证明:设Sn和Tn分别为数列an和5的前n项和，

24、若anbn(nN )，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有Sn Tn.要证明不等式aif(n)，如果记Tnf(n)看作是数列bn的前n项和，则bnTn Tn 1(n 2)，b1 T1，那么只要证其通项满足 anbn即可.(二)放缩目标模型一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和相类似，只不过放缩后的bn是可求积的模型，能求积的常见的数列模型是 bnCncn 1 (分式型)，累乘后约简为b n 1CnC1姐妹不等式：b (ba a m记忆口诀：“小者小，大者大”a 0, m 0)和-一 (a b 0, m 0)a a m，(解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之)。1

25、 35例如：求证：2 462n 12n2n 1(n N).v1.0可编辑可修改甩路二垃=肉勺冉他2卄12n-l1 3 5XX x-*x2 4 6利用公式乞=才-5工2)b=B易得：仇=Bn-1617n-因此，豳转化为只要证二2厂2n-l2丹+ 1n - I 2/?-l (6 d 0, wi 0) irl ?J a a + ni6 Iff1 3 52-12jj总结:形如352-1IE(2m + 1) n Ian和bn的前n项积，若nai f(n)的数列不等式证明：设i 1An和Bn分别为数列2例3.已知数列an满足a1， an 13an2an*N ).n.要证明不等式aif(n)，i 1B1，那

26、么只要证其通项满足0 an bn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有AnB如果记Bnf(n)看作是数列bn的前n项积，则bn -(n 2)，Bn 10 an bn即可.an1(1)求证： 是等差数列，并求出an的通项an ； an 1(2)证明：对于 n N , a1 ? a2 ? a3v1.0可编辑可修改证明：（门由11=1)即肓可 San +1-11_S+iT尙厂L1718an*(n N ).121 1 1-(H 刑 H1气纠一一十一 +42 3 心本题在放缩时舍去了 2k 2，从而使和式得到了化简。a n 1対心叫、H 111、二一+一 + 亠 - +则菊右幕首项为冬处差村

27、的敎孙即肓=-3-2 ( 旳厂I化简可得an=T-2ai+lt 4 6(2$S=a-| 32*33盘门=亍 = 石J j /由于丄vdL,”十15十2E“ ”3 5 72jj-1斗吕 mmn 备345 九 2?r + l即有 sz0-*怡丿是必差羽2的等差埶列、:4口 1 二(口 fl, / ! - 1 ! an=2n-l.帆 比卩 2-*护(卜护-(占冷)例5.已知数列 阳:满足：|例尸引，卄二3%冲jrr已护，记必= 一;(I )求证：数列怡爲是等比数列；(iii)(ii)若 -对任意:y；恒成立，求t的取值范围;解:(I)证明:由an1n2得an 123an 22an2an2an2an2an 113an214(an 1)an2an 2.an 12 1an2即bm1bn，且& 2 b11an 11 4an14a1 14证明:v1.0可编辑可修改1919二数列bn是首项为1，公比为1的等比数列44(n)由(I )可知bnan 2an an1 2 4n4n 1由an t 4得tn2 4n1)44n,