(完整)(整理)圆锥曲线常考题型总结-配有大题及练习,推荐文档VIP

1、专业整理分享圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线 y = kx + m ，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称问题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问

2、题8. 定值，定点，定直线问题第二部分 知识储备一与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 相关的知识（三个“二次”问题）d = b2 - 4ac1. 判别式：2. 韦达定理：若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不等的实数根 x1, x2 ，则x + x = - b12ax x = c12a，3. 求根公式：若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 有两个不等的实数根 x1, x2 ，则x1,2 =-b b2 - 4ac2aword 完美.格式二与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2.

3、 与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率： y = tanp，p0,p) ；d =kx0 - y0 + b12 + k 2点到直线的距离公式： d = ax0 + by0 + c （一般式）或（斜截式）a2 + b23. 弦长公式：直线 y = kx + b 上两点 a(x1, y1), b(x2 , y2 ) 间的距离：ab = 1+ k 2 x - x =(1+ k 2 )(x + x )2 - 4x x ( 或 ab = 1+ 1 y - y )12121 2k 2124. 两直线 l1 : y1 = k1x1 + b1, l2 : y2 = k2 x2 + b2 的位置关系： l1 / /

4、l2 k1 = k2且b1 b2l1 l2 k1 k2 = -15. 中点坐标公式：已知两点 a(x1, y1), b(x2 , y2 ) ，若点 m (x, y )线段 ab 的中点，则x = x1 + x1 , y = y1 + y2 22三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程p3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数 a, b,

5、c 三者的关系，的几何意义等a2b24. 圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆p焦点三角形的面积：在椭圆上时 s，双曲线2 pa2b2= b2 tanp，抛物线saf1pf2= b2 / tanp2p在双曲线上时a f1pf22四常结合其他知识进行综合考查1. 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2. 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3. 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4. 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5. 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题（1）

6、圆锥曲线与圆例 1.（本小题共 14 分）yx 22a2已知双曲线c :-b2= 1(a 0, b 0) 的离心率为，右准线方程为 x = 333（）求双曲线c 的方程；（）设直线l 是圆o : x2 + y2 = 2 上动点 p(x0, y 0)(x y0 0 0) 处的切线， l 与双曲线c 交于不同的两点 a, b ，证明aob 的大小为定值【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力= a2 c（）由题意，得 c = a333 ，解得 a = 1,c =，3 b2 = c2- a 2 = 2 ，所求双

7、曲线c 的方程为 x 2 - y22= 1 .（）点 p (x0 , y0 )(x0 y0 0)在圆 x2 + y2 = 2 上，圆在点 p (x , y )处的切线方程为 y - y = - x0 (x - x )，y00000化简得 x0 x + y0 y = 2 .y2由x2 - 2 = 1及 x2+ y2= 2 得(3x2- 4)x2- 4x x + 8 - 2x2= 0 ，x x + y y = 20 0 00000切线l 与双曲线 c 交于不同的两点 a、b，且0 x02 0 ，设 a、b 两点的坐标分别为(x1, y1 ), (x2 , y2 )，4x0 , x8 - 2x200

8、则 x + x =x=20 ，123x2 - 41 23x - 4 cos aob =uuur uuuru ur u uroa obu ur u ur ，且oa o b1oa ob = x1x2 + y1 y2 = x1x2 +2 (2 - x0 x1 )(2 - x0 x2 )，y0= x x +14 - 2x (x + x )+ x2 x x 01 22 - x2 0120 1 2 8 - 2x218x2x2 (8 - 2x2 )=0 +4 -0+00 00003x2 - 42 - x2 3x2 - 43x2 - 48 - 2x28 -2x2=0 -0 = 0 . 003x2 - 43x2

9、 - 4 aob 的大小为90 .【解法 2】（）同解法 1.（）点 p (x0 , y0 )(x0 y0 0)在圆 x2 + y2 = 2 上，圆在点 p (x0 , y0 )处的切线方程为 y - y = -x0 (x - x2=y)，化简得 x x + y y = 2 .由 x2 - 21及0y000x2 + y2 = 2 得000x x + y y = 2 00000(3x2 - 4)x2 - 4x x + 8 - 2x2 = 0000(3x2 - 4)y2 - 8 y x - 8 + 2x2 = 0切线l 与双曲线 c 交于不同的两点 a、b，且0 x02 2 ， 3x2 - 4 0

10、 ，设 a、b 两点的坐标分别为(x , y ), (x , y )，01122则 x x28 - 2x=0 , y y2x2 - 8=0，1 23x2 - 41 23x2 - 400u ur u ur oa ob = x1x2 + y1 y2 = 0 ， aob 的大小为90 .（ x2 + y2 = 2 且 x y 0 ， 0 x2 2, 0 y2 0)的左顶点，直线l : x = my +1(m r) 与9t的面积为椭圆c 相交于 e, f 两点，与 x 轴相交于点 b .且当 m = 0 时， aef16 .3（）求椭圆c 的方程；（）设直线 ae ， af 与直线 x = 3 分别交

11、于 m ， n 两点，试判断以 mn 为直径的圆是否经过点 b ？并请说明理由.4x2：已知，是椭圆1 上的三个点，是坐标原点（2） 圆锥曲线与图形形状问题例 2.1abcwy2o(1) 当点 b 是 w 的右顶点，且四边形 oabc 为菱形时，求此菱形的面积；x2(2) 当点 b 不是 w 的顶点时，判断四边形 oabc 是否可能为菱形，并说明理由解：(1)椭圆 w：y21 的右顶点 b 的坐标为(2,0)4因为四边形 oabc 为菱形，所以 ac 与 ob 相互垂直平分41 32所以可设 a(1，m)，代入椭圆方程得 m21，即 m.所以菱形 oabc11ob|acm| 3 .的面积是 |

12、2(2)假设四边形 oabc 为菱形| 22|2因为点 b 不是 w 的顶点，且直线 ac 不过原点，所以可设 ac 的方程为ykxm(k0，m0)x2 + 4 y2 = 4,由 y = kx + m消 y 并整理得(14k2)x28kmx4m240.则 x1+ x 2 = - 4km21+ 4k 2， y1+ y 2 = k x1+ x 2 + m =22m1+ 4k 2所以 ac 的中点为.因为 m 为 ac 和 ob 的交点，所以直线 ob 的斜率为-1因为 k - 1 1，所以 ac 与 ob 不垂4k 2+ 4km,2+ 4k114km -设 a(x1，y1)，c(x2，y2)，.所

13、以 oabc 不是菱形，与假设矛盾所以当点 b 不是 w 的顶点时，四边形 oabc 不可能是菱形x+ y=c1(ab0)练习 1：已知椭圆过点(， 1 )，且以椭圆短轴的两个端点2和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形. ()求椭圆的标准方程；()设m（x, y) 是椭圆c 上的动点， p（p, 0) 是x 轴上的定点，求mp 的最小值及取最小值时点m 的坐标.（3） 圆锥曲线与直线问题例 3.1 已知椭圆 c : x2 + 2 y2 = 4 ，cc（1） 求椭圆的离心率.（2） 设 o 为原点，若点 a 在椭圆上，点 b 在直线 y = 2 上，且 oa ob ，求直线abx2 + y2

14、 = 2与圆的位置关系，并证明你的结论.x2 + y2 = 142解析：椭圆的标准方程为：，a = 2 ， b = 2 , 则c =2 ，离心率 e = c =2 ;a2直线 ab 与圆法一：x2 + y2 = 2 相切.证明如下：设点 a , b 的坐标分别为(x , y ), (t , 2)，其中 x0 0 .00u ur uuur2 y因为 oaob ，所以 oa ob = 0 ，即 tx + 2 y = 0 ，解得 t = -0 .x000y0 = - 2t2ct = 2当 x0 = t 时，代入椭圆 的方程，得,d = 2 .ab故直线 ab 的方程为 x = 2 .圆心 o 到直线

15、的距离与圆 x2 + y2 = 2 相切.此时直线 abab当 x0 t 时，直线的方程为 y - 2 = y0 - 2 (x - t )，x0 - t即(y0 - 2)x - (x0 - t )y + 2x0 - ty0 = 0 .圆心 o 到直线d =2x0 - ty0(y0- 2+)(2x - t)20ab的距离.又x + 2 y = 42200，t = - 2 y0x0，故2x +2 y200d =x0=x + y + 42204 y2x4 + 8x2 + 16= 20000x202x20 0x04 + x2.此时直线 ab 与圆 x2 + y2 = 2 相切.法二：由题意知，直线oa

16、 的斜率存在，设为 k ，则直线 oa 的方程为 y = kx ， oaob ，a(2 , 0b 0 , 2)()的方程为 x + y = 2 或-x + y = 2 ，当 k = 0 时，易知，此时直线 ab2原点到直线 ab 的距离为，此时直线 ab 与圆 x2 + y2 = 2 相切；k 0当时，直线 ob 的方程为 y = - 1 x ，k y = kx22联立x + 2 y = 421 + 2k 22k1 + 2k 21 + 2k 22k1 + 2k 2 - 或2, - ；,得点 a 的坐标 y = - 1 xy = 2k联立得点 b 的坐标(-2k , 2) ， 1 + 2k 21

17、 + 2k 2 2,a2k由点 a 的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，y - 2 =2k1 + 2k 221 + 2k 2- 2(x + 2k )= k - 1 + 2k 21 + k 1 + 2k 2(x + 2k )+ 2k(k - 1 + 2k 2 )x - (1 + k 1 + 2k 2 )y + 2k 2 + 2 = 0于是直线 ab 的方程为：，即，原点到直线 ab 的距离此时直线 ab 与圆,d = 22k 2 + 2(k - 1 + 2k 2 )2 + (1 + k 1 + 2k 2 )2x2 + y2 = 2 相切。综上知，直线 ab 一定与圆 x2 + y2 = 2 相切

18、.法三：oa= 2 ,ob= 2当 k = 0 时， a(2 , 0)，易知 b (0 , 2)，此时，ab = 22 + 22 = 2 2d =oaob= 22=2ab22，原点到直线 ab 的距离 ，、与圆 x2 + y2 = 2 相切；此时直线 abk 0当时，直线 ob 的方程为 y = - 1 x ，k2,2k标 或2k1 + 2k 2-2, - ；oa = 1 + k 2 x 1ob =1 + (-k )2 y2= 21 + k 2设 a(x1 , y1 ), b (x2 , y2 )，则，1 + 2k 21 + 2k 21 + 2k 2 y = kx2联立x+ 2 y2 = 4

19、得点a 的坐 ob = 2 1 + k 2oa=1+k2x=2 1 + k 21 + 2k 24(1 + k 2 )ab =+ 4(1+ k 2 )=1 + 2k 22 2 (1+ k 2 )1 + 2k 2于是，,，oaobab所以综上知，直线 ab 一定与圆 x2 + y2 = 2 相切2 1 + k 2 d =1 + 2k 2 2 1 + k 22 2 (1+ k 2 )1 + 2k 2= 2c :+= 1(a b 0)x2y2a2b2练习 1：,直线 ab 与圆 x2 + y2 = 2 相切；已知椭圆过点(0,1) ，且长轴长是焦距的倍.过2椭圆左焦点 f 的直线交椭圆 c 于 a，b

20、 两点，o 为坐标原点.c（）求椭圆（）若直线的标准方程；ab 垂直于 x 轴，判断点 o 与以线段 ab 为直径的圆的位置关系，并说明理由；（）若点 o 在以线段 ab 为直径的圆内，求直线 ab 的斜率 k 的取值范围.3（4）圆锥曲线定值与证明问题2例 4.1 已知椭圆 c 的中心在原点 o ，焦点在 x 轴上，离心率为，且椭圆 c 上的点4到两个焦点的距离之和为ca（）求椭圆的方程；（）设为椭圆 c 的左顶点，过点 a 的直线 l 与椭圆交于点m ，与y轴交于点 n ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点 p 证明： | am | | an |= 2 | op |2 x2+y2=1(a

21、b 0)a2b2解：（）设椭圆 c 的标准方程为a2 = b2 + c2 ,由题意知 c =3 ,a = 2，b = 1a2解得，2a = 4,42y = 1x2 +所以椭圆 c 的标准方程为5 分y = k (x + 2)（）设直线 am 的方程为： y = k (x + 2)，则 n (0, 2k ) 由 x2 + 4 y2 = 4, 得 (1+4k 2 )x2 +16k 2 x +16k 2 - 4 = 0 （*） 设 a(-2, 0) ， m (x1 , y1) ，则-2 ， x1 是方程（*）的两个根，x1 =2 - 8k 21+ 4k 2所以m (, 2 - 8k 24k1+ 4k

22、 2 1+ 4k 2所以) | am |=( 2 - 8k 2 + 2 + 8k 2 )2+ (4k)21+ 4k 21+ 4k 2=16 +16k 2 = 4 1+ k 2(1+ 4k 2 )21+ 4k 2| an |=4 + 4k 2 = 2 1+ k 24 1+ k 2 2 1+ k 28(1+ k 2 )| am | an |=1+ 4k 21+ 4k 2设直线op的方程为：y = kx y = kx，x2+ 4 y 2= 4,得 (1+ 4k 2 )x2 - 4 = 0 由y02 =4k 21+ 4k 2设 p(x , y ) ，则 x 2 =4，0001+ 4k 2， 2 | o

23、p |2 =8 + 8k 21+ 4k 2| op |2 =4 + 4k 21+ 4k 2所以所以| am | | an |= 2 | op |2 23x 2+y2=1c：2ab2例 4.2:已 知 椭 圆o（0，0），oab 的面积为 1.（i） 求椭圆 c 的方程；（ab0）的离心率为，a（a,0）,b(0,b)，an bm(i i)设 p 的椭圆 c 上一点，直线 pa 与 y 轴交于点 m，直线 pb 与 x 轴交于点 n。求证：为定值。c : x2y2练习 1：已知椭圆a2 + b2 = 1(a b 0) 的离心率为 3,椭圆短轴的一个端点与两个6焦点构成的三角形的面积为 5 2 .

24、3()求椭圆c 的方程;()已知动直线 y = k (x +1) 与椭圆c 相交于 a 、 b 两点. 若线段 ab 中点的横坐标为- 1 ,求斜率k2的值;若点 m (-7 , 0)3uuur uuur,求证: ma mb 为定值.练习2：已知抛物线c : y2 2 px（p 0），其焦点为f，o为坐标原点，直线 ab（不垂直于x轴）过点f 且抛物线c交于 a，b两点，直线oa与ob的斜率之积为p （1） 求抛物线c 的方程；| od | om |（2） 若m 为线段ab 的中点，射线om 交抛物线c 于点 d ，求证：2练习 3：动点 p(x, y) 到定点 f (1,0) 的距离与它到定

25、直线l : x = 41的距离之比为 .2() 求动点的轨迹 c 的方程；p（）已知定点 a(-2, 0) ， b(2, 0) ，动点 q(4, t) 在直线 l 上，作直线 aq 与轨迹c的另一个交点为 m ,作直线 bq 与轨迹 c 的另一个交点为 n ，证明： m , n, f 三点共线.（5）圆锥曲线最值问题23a2b2c :例 5： 已知椭圆的离心率为，椭圆 c 与 y 轴交于 a，b 两点，| ab |= 2 .c（）求椭圆的方程；（）设点 p 是椭圆 c 上的一个动点，且点 p 在 y 轴的右侧.直线 pa ， pb 与直线m，nx = 4 分别相交于两点. 若以 mn 为直径的

26、圆与x 轴交于两点e，f ，求点p 横坐标的取值范围及| ef | 的最大值.e = c =a32解：（）由题意可得， b = 1 ，1 分2 分4a2a2 -1 = 3得，3 分解 a2 = 4 ，4 分x2椭圆 c 的标准方程为+.y.2.=.1 5.4分（）设 p(x0 , y0 )(0 0 ，解得x0.12分8 b 0)a2b2练习1：已知椭圆c：的一个焦点为f(2，0)，离心率为。过焦点f 的直线l 与椭圆c交于 a，b两点，线段 ab中点为d，o为坐标原点，过o，d的直线交椭圆于m，n 两点。（1） 求椭圆c 的方程；（2） 求四边形ambn 面积的最大值。练习 2：已知椭圆 c

27、： mx2 + 3my2 = 1(m 0) 的长轴长为 2 6 ， o 为坐标原点.c（）求椭圆的方程和离心率；（）设点a(3, 0) ，动点 b 在y 轴上，动点p 在椭圆c 上，且 p 在 y 轴的右侧，若| ba |=| bp | ，求四边形 opab 面积的最小值.x2+ y2 = 1(a b 0)a2b2线 pa交 x 轴于点（6）圆锥曲线存在性问题例 6.已知椭圆 c ：a(m, n)(m 0)都在椭圆 c 上，直()22的离心率为，点 p 0,1 和点m （）求椭圆 c 的方程，并求点 m 的坐标（用 m n 表示）；oq（）设为原点，点 b 与点 a 关于x 轴对称，直线 pb 交 x 轴于点 n 问： y 轴上是否存在点a 2 = 2解析:，使得oqm = onq ？若存在，求点q 的坐标；若不存在，说明理由 cb = 1,2 a=,2a 2 = b 2 + c 2 ,（i）由题意得cx2+ y2 = 1.2故椭圆的方程为解得，设 m (xm ,0).因为 m 0 ，所以-1 n b 0)a2b2练习1：设f 1 ，f 2分别为椭圆的左、右焦点，点p（1，） 在43椭圆e 上，且点p 和f1 关于点c（0，（1） 求椭圆e 的方程；（2） 过右焦点f2 的直线l与椭圆相交于） 对称。a，b两点，过点p且平行于 ab 的直线与椭圆交于另一点q ，问是