(完整)必修一函数剖析大全与题型分类,推荐文档

1、盛阳教育sheng yang education高中部数学学科组函数2.1 函数题型分类原则总述函数考题的已知条件和问题的现象比较复杂，为了建立简洁的思路体系，最好是以函数的概念为载体， 从学习知识的程序上建立线索，按共同的条件现象或问题现象进行题型分类。函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。函数的三大考点：独立的一个函数可根据定义分四大考点一、映射与函数的概念：判断对应关系是不是映射（函数，）求两集合能形成映射的个数二、定义域，值域：只要提到“最大值”，“最小值”，“取值范围”首先联想求定义域值域的方法。高中阶段定义域有2 种题型，值域有4 种题型，详见下文知识讲解。三、对应法则：即

2、y 与x 的对应关系。这个定义很抽象，抽象的概念不会直接考察。它的两种具体表示形式解析式图像，是函数的核心考点。两个函数的关系：主要研究原函数与反函数的关系，反函数作为函数的第四个考点在高考中几乎必1考题。四、反函数：主要考求反函数，或利用原反函数定义域值域、单调性、奇偶性、对称性关系解题。2.2 映射与函数的基本概念一、映射1、概念：a集合中的每个元素按照某种对应法则在b 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做a从集合到b 集合的映射。a 中的元素叫做原象，b 中的相应元素叫做象。在a 到b 的映射中，从a 中元素到b 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。12图2-1 是映射

3、图2-2 是一一映射图2-3 不是映射映射概念题型：（一）求映射（或一一映射）的个数，若集合 a 有 n 个元素，集合 b 有 m 个元素，则 a 到 b 的映射有 mn 个（二）判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。二、函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域a：x 取值范围组成的集合值 域b：y 取值范围组成的集合对应法则f：y 与x 的对应关系。三种表示形式：解析式、图像、列表函数与普通映射的区别在于：（1） 两个集

4、合必须是数集；（2） 不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。图2-4函数概念的题型：（一）判断是否是函数，有三种现象：判断映射是否是函数 判断解析式是否是函数判断图像是否是函数。需从两个方面判断：每个x 是不是只对应一个y，或定义域是否对应。有没有剩余的象，或值域是否对应。（二）函数解析式意义的识别：考查能否读懂题目。分段函数：就是分情况的函数，需分情况使用解析式。复合函数：设 f(x)=2x-3g(x)=x2+2则称 fg(x)（或 gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)-3=2x2+1； gf(x)=(2x-3)2+2=4x2-12x+11创新定义的

5、对应法则(运算法则)：对照使用或递推，需要累积创新题型的出题现象。题型分类第一部分映射与函数基本概念（一）映射的基本概念1、设 f : a b 是集合 a 到 b 的映射，下列说法正确的是（）a、a 中每一个元素在 b 中必有象b、b 中每一个元素在 a 中必有原象c、b 中每一个元素在 a 中的原象是唯一的d、b 是 a 中所在元素的象的集合2、 从集合 a 到 b 的映射中，下列说法正确的是（）a.b 中某一元素b 的原象可能不只一个b.a 中某一元素 a 的象可能不只一个c.a 中两个不同元素的象必不相同d.b 中两个不同元素的原象可能相同3. 在映射 f:ab 中，下列说法中不正确的说

6、法为()集合 b 中的任一元素，在集合 a 中至少有一个元素与它相对应；集合 b 中至少存在一元素在集合 a 中无原象；集合 b 中可能有元素在集合 a 中无原象；集合 b 中可能有元素在集合 a 中的原象不至一个.a.b.c.d. 4.在下列对应中，是 a 到 b 的映射的有 m 个，一一映射的有 n 个.axxn，b-1,1，对应法则 f:x(-1)x；axxr，byyr+，对应法则 f:xyx；xaxxn，byyr，对应法则 f:xy；axx2，byy2，对应法则 f:xy-x2+2x+2；x +1axxr，byyr，对应法则 f:xy.x -1则 m、n 的值分别为()a.2、0b.2

7、、1c.3、1d.3、25. 已知集合 a= x0 x 4， b= y0 y 2,下列从 a 到 b 的对应 f 不是映射的是 （）(a) f : x y = 1 x2(c) f : x y = 2 x3(b) f : x y = 1 x3(d) f : x y = 1 x 286. 已知四个从集合 a 到集合 b 的对应(如下图)，那么集合 a 到集合 b 的映射是()c. d.a. b.7. 下图表示的是从集合 x 到集合 y 的对应，其中能构成映射的是()8. 设集合 a 和 b 都是自然数集合 n，映射 f:ab 把集合 a 中的元素 n 映射到集合 b 中的元素 2n+n，则在映射

8、f 下，象 20 的原象是()a.2b.3c.4d.59. 设集合 a 和 b 都是坐标平面上的点集(x,y)xr，yr，映射 f:ab 使集合 a 中的元素(x,y)映射成集合 b 中的元素(x+y,x-y)，则在映射 f 下象(2，1)的原象是()3131a.(3，1)b.(， )c.(，-)d.(1，3)222210. 填空题(1) 从集合 a1，2到 ba，b的映射 f 个数为，一一映射个数为 (2) 从集合 a1,2,3到 ba，b，c的一一映射 f 的个数为.(3) 设 a 到 b 的映射为 f1：xu3x-2，b 到 c 的映射为 f2：uyu2-4，则 a 到 c 的映射 f3

9、 是.（二）函数1.判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？(x + 3)(x - 5) y1 =x + 3x + 1 x - 1 y1 =y2 = x - 5(x + 1)(x - 1)y2 =x2 f (x) = xg(x) = f (x) = x f1 (x) = (2x - 5)2f (x) =3 x3f 2 (x) = 2x - 512.已知：f(x)=x2-x+3求：f()f(x+1)x3对于一切实数 x，令x为不大于 x 的最大整数，则函数 f(x)=x称为高斯函数或取整函数 计算 f(-0.3)+f(1)+f(1.3)=。2.3 定义域与值域凡在考题中出现最大值、最小值

10、、取值范围三种现象时，十之有八九是求函数定义域与或值域。首选用求定义域或值域的方法解题，其次再选择用均值不等式、几何意义或实际意求义范围和最值。2.3.1 定义域题型一具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式f (x)偶（一）直接考查：主要考解不等式。利用：整式的定义域为 r，在f (x) 0 ；在 f 0 (x) 中， f (x) 0 ；列不等式求解。中 f (x) 0 ；在 g(x) 中，f (x)（二）间接考查：主要是让考生在化简变形的过程中，忽略定义域的存在而把题做错。解决问题的方法是养成习惯，碰到根号、分母、对数符号等，首先就要考虑有取值范围的限制。解题后检验结果是否符

11、合定义域。二抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。第二部分、定义域（一）有解析式的函数经典例题：x2 - 2x -15x + 3 - 31、求下列函数的定义域：1- ( x -1)2x +1（2） y =（1） y =x + x4 (x2 - 3x - 4)3x +1 - 2（3） y =（4） y =(x -1)0x2 - 3x + 2x - x（5） y =（6）y =+x -1x +16 - x - x21+ x2. 已知函数 f (x) =的定义域为 a ，函数 y =1- xf f (x) 的定义域为 b ，则()(a) ) a u b =b(b) a b(c)

12、 a = b(d) a i b = b（二）无解析式的函数（抽象函数）1. 已知 f (x) 的定义域为0，1，求 f (x2 ) 的定义域。2. 已知 f (x +1) 的定义域为-2，3，求 f ( 1x+ 2) 的定义域。x3、设函数 f ( x) 的定义域为0，1 ，则函数 f ( x 2 ) 的定义域为；函数 f (- 2) 的定义域为 ；4、若函数 f (x +1) 的定义域为-2，3，则函数 f (2x -1) 的定义域是；函数 f ( 1x域为。+ 2) 的定义5、已知函数 f ( x) 的定义域为-1,1，且函数 f (x) = f (x + m) - f (x - m) 的

13、定义域存在，求实数 m 的取值范围。2.4 函数解析式的题型2.4.1 函数解析式和对应法则的识别主要考查抽象函数、分段函数和复合函数。一、抽象函数：即没有具体解析式的函数。主要考查：抽象函数的递推方程中递推规律的识别，例如：f (x) = f (-x - 2)二、分段函数：即分情况的函数，不同情况解析式不同。三、复合函数：即把函数整体作为自变量再放到解析式里的函数，例f如 f (log2 x)。四、创新定义的对应法则(运算法则)：对照使用或递推，需要累积创新题型的出题现象。2.4.3求函数解析式一、换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)， （设2x + 3=3

14、-7t）。二、构造法：如f (x + 1 ) = x 2 + 1xx2，求f(x)。三、待定系数法：通过图像求出y=asin(x +j) + c 中系数四、递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。五、求原函数的反函数：先反表示，再x、y 互换。第四部分、解析式的求法(一).换元法1若函数 f (x) = x2 -1，求则 f (x + x2 )2若函数 f (x -1) = x2 - 3x + 2 ，求 f (x +1) .3若 f (x) = 2x + 3 ， g(x + 2) = f (x) ，则 g(x) 的表达式为（）（a）2x+1（b）2x1（c）2x3（d）2x+7

15、4已知 f ( x + 1) = x + 1，则函数 f (x) 的解析式为 （）（a） f (x) = x 2（b） f (x) = x 2 + 1 (x 1)（c） f (x) = x 2 - 2x + 2(x 1)（d） f (x) = x 2 - 2x(x 1)5已知 f ( 1 x - 1) = 2x + 3 ，且2f (m) = 6 ，则 m 等于 （）（a） - 11（b）3（c）（d） -344226（湖北卷理 3）已知 f 1 - x = 1 - x 2 ，则 f (x) 的解析式可取为（） 1 + x 1 + x 2x2x2xx（a）1 + x 2（b） -（c） 1 +

16、x 21 + x 2（d）1 + x 2（二）构造法1.若 f (x - 1 ) = x2 + 1 ，则函数 f (x -1) =xx22、已知 f (x + 1 ) = x3 + 1 ，求 f (x) ；xx33、已知 f (x + 1 ) = x 2 + 1xx2，求 f(x)。（三）待定系数法求解析式1. 已知 f (x) 是二次函数，且 f (x +1) + f (x -1) = 2x2 - 4x ，求 f (x) 的解析式。.2、已知 f (x) 是一次函数，且 f f (x) =4x+3，求 f (x) 。3. 已知 f (x) 是一次函数，且满足3 f (x +1) - 2 f

17、(x -1) = 2x +17 ，求 f (x) ；（四）利用性质递推求解析式1. 已知 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且 f (x) + g(x) =1x -1，则 f (x) =2. 已知函数 y = x2 + x 与 y = g(x) 的图象关于点（2，3）对称，求 g(x) 的解析式。13. 设函数 f (x) = x +1 的图象为c1 ，若函数 g(x) 的图象c2 与c1 关于 x 轴对称，则 g(x) 的解析式为.14. 若函数 f (x) 满足关系式 f (x) + 2 f () = 3x ，则 f (x) 的表达式为.x5.已知函数 f (x) 满足2 f (

18、x) + f (-x) = 3x + 4 ，则 f (x) =。（五）解析式的识别分段函数：1. 已知函数 f (n) = n - 3, n 10，其中 nn，f（8）=（） f f (n + 5), n 02. 定义符号函数sgn x = 0, x = 0-1, x (2x -1)sgn x 的解集是 2.3.2 值域题型一常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，幂函数，三角函数，对号函数。二非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤：（1）换元变形；（2）求变形完的常规函数的自变量取值范围；（）3画图像，定区间，截段。三

19、分式函数求值域：四种题型（一）y = cx + dax +b(a 0) ：则y c 且 y r 。a（二） y = cx + d (x 2) ：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围。ax + b2x2 + 3x - 2(2x -1)(x + 2)x + 211（三） y =6x2 - x -1： y =(x ) (2x -1)(3x +1)3x +1 2，则y 且y 1且 y r 。3（四）求y =2x -1x2 + x +12x -1的值域，当x r 时，用判别式法求值域。y =x2 + x +1 yx2 + ( y - 2)x + y +1 = 0 ， d =

20、 ( y - 2)2 - 4 y( y +1) 0 值域四不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。五原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。六已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围第三部分 值域的求法.（一）常规函数1. 求下列函数的值域x （1） y =+1（2） y =1 , y =1 , y =1+ 3xx +1x +12. 已知函数

21、 y = x 2 - 2x + 3 在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是() a、 1，+）b、0，2c、（-，2d、1，23. 已知二次函数 f (x) = ax 2 + bx(a 0) 满足条件： f (5 - x) = f (x - 3) 且方程 f (x) = x 有等根，（1）求 f (x) 的解析式；（2）是否存在实数 m, n(m 3 ） y =3x -1高中部数学学科组(x 5)13x - 2x - 3x +1 y =x2 - 5x + 6 y =2x2 - x + 2 y =5x2 在 9x +x 2 + x - 6x2 + x +1x2 -142、已

22、知函数2x 2 + bx + cf (x) =(bx 2 + 1 -1)x 2 + 53. y = x 2 + 4(四)不可变形的杂函数利用单调性求值域1. 求函数 y = x - 1 在1,2 上的值域x1 - x 22x - 12. f (x) =+1的值域是作业精炼：3. 已 知 f (x) = loga (x +x2 -1) ，且0 a 0, a 1) ,在1,2上的最大值与最小值之和为 a，则 a 的值为 2.5.2 函数的单调性一、定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大y 越小，那么原函数为减函数。二、单调性题型：（一）求单调性区间：先找到最

23、基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。23（二）判断单调性- 11- 1复合函数法：当0 x 1 时，x，x2，- x2，1 - x 2利用定义：设x1x x2 减函数x1 x2 f (x1 ) f (x1 ) f (x2 ) 或 f (x1) f (x2 ) x1 x2f (x2 ) x1 0) 在(0, a 上是减函数，在 a , +)上是增函数。x6. 已知 g(x) 是m, n上的减函数，且 a g(x) b ， f (x) 是a, b上的增函数，求证 f g(x)在m, n上也是减函数。17. 已知函数 f (x) 的定义域为 r，满足 f

24、 (-x) =f (x) 0 ，且 g(x) = f (x) + c （c 为常数）在区间a, b上是减函数，判断并证明 g(x) 在区间-b, -a上的单调性。8. 判断函数 y =(x + 2)2 - 4x2 + 4x + 4在(-2, +) 上的单调性。9. 下列函数中，在区间(0,2) 上递增的是 （）（a） y = 1x（b） y =-x（c） y =x -1（d） y = x 2 + 2x + 110. 判断 f (x) = x 2 - 2 x + 1单调性11 f (x) = 8 + 2x - x2 ，如果 g(x) = f (2 - x 2 ) ，那么 g (x)()a. 在区

25、间(-2,0) 上是增函数b在区间 (0,2) 上是增函数c在区间(0,1) 上是减函数d在区间(0,1) 上是增函数12对于给定的函数 f (x) = x + 1 (x 0) ，有以下四个结论：x f (x) 的图象关于原点对称；f (x) 在定义域上是增函数； f (x) 在区间(0,1 上为减函数，且在1,+) 上为增函数； f ( x ) 有最小值 2。其中结论正确的是.13已知 f（x）在（0，+）上是增函数，而且 f（x）0，f（3）=1判断 g(x) = f (x) +1f (x)在（0，3上是增函数还是减函数，并加以证明（二）求单调区间x 2 + 2x - 31 、 y =的单

26、调递减区间是 ()a（ - ,-3 b - 3,+)c（ - ，-1 d - 1，+ )2、求函数 f (x) = 121- 9x 2 的单调减区间3.求函数 f (x) =1x2 - x - 20的单调区间。（三）利用单调性：利用判断单调性过程求系数经典例题：1. 若函数 f (x) = x2 + 2(a -1)x + 2 在区间(-,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是.2. 若函数 f(x)=ax - b + 2 在0,+上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是.3. 已知 f (x) = x2 + 2(a -1)x + 2 在区间 x 1,5的最小值为 f (5) ，则 a 的取值

27、范围为 4. 已知函数 f (x) = ax + 1 在区间(-2,+) 上是增函数，试求 a 的取值范围。x + 25. 已知函数 f (x) = x2 + 2x + a , x 1, +)。x1（1） 当a =时，求函数 f (x) 的最小值；2（2） 若对任意 x 1, +)， f (x) 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围。利用单调性证明、解不等式及求最值1已知 f(x)是定义在 r 上的偶函数，它在 0,+) 上递减，那么一定有（）a f (- 3 ) f (a 2 - a +1)4c f (- 3 ) f (a 2 - a +1)4b f (- 3 ) f (a 2 - a +1

28、)4)d f (- 3 f (a 2 - a +1)42 f (x) 为(-,+) 上的减函数， a r ，则 （）（a） f (a) f (2a) （b） f (a 2 ) f (a)（c） f (a 2 + 1) f (a) （d） f (a 2 + a) 2 时为增函数，则 f（ ），f（ ），55f（4）按从大到小的顺序排列出来的是。4. 已知函数 f (x) 对任意实数 x, y 满足 f (x) + f ( y) = f (x + y) + 2 ，当 x 0 时， f (x) 2（1）求证： f (x) 在 r 上是增函数；（2）若 f (1) = 3 ，解不等式 f (2a -

29、3) 0 ，求实数 m 的取值范围。6. 已知函数 f (x) 对任意实数 x, y r ，总有 f (x) + f ( y) =2f (1) = -。3f (x + y) ，且当当 x 0 时， f (x) 0 ，（1）求证： f (x) 在 r 上是减函数；（2）求 f (x) 在-3, 3上的最大值与最小值。一、定义：如果 f (-x) =2.5.3 函数的奇偶性f (x) ,则 f (x) 为偶函数；如果f (-x) = - f (x) ,则 f (x)为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。二、奇偶性题型：（一）判断奇偶性：1. 先看定义域是否关于原点对称，再比较

30、f(x)与f(-x)正负2. 看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇3. 原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。（二）利用奇偶性：1. 利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式2. 利用复合函数奇偶性结论：f(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇f(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：f(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。（三）奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y 轴对称 若 f (a + x) = f (b - x) ，

31、则f(x)关于x =a + b对称2a + b奇函数：关于原点对称 若 f (a + x) + f (b - x) = 2m ，则f(x)关于点(，m) 对称2第六部分、函数的奇偶性（一）判断函数的奇偶性1 - x 21 + x1 - x1、判断下列函数的奇偶性：（1） f (x) =| x + 2 | -2；（2） f ( x) = (1- x)2. 判断函数 f (x) =x2 + x(x 0)的奇偶性。3. 已知函数 f (x) =x2 + 2x + 3(x 0)，判断 f (x) 的奇偶性。4. 已知 f (x + y) = f (x) + f ( y) 对任意实数 x, y 都成立，

32、则函数 f (x) 是（）（a）奇函数（b）偶函数 （c）可以是奇函数也可以是偶函数 （d）不能判定奇偶性5. 设 f（x）是 r 上的任意函数，则下列叙述正确的是（） af（x）f（-x）是奇函数bf（x）f（-x）上奇函数cf（x）-f（-x）是偶函数df（x）+f（-x）是偶函数6. 函数 y = ax 2 + bx + c 是偶函数的等价条件是 7. 由方程 x x + y函数，减函数）y = 0 确定的函数 y = f (x)在(-, +) 上是（奇函数，偶函数，增8.（1）函数 f (x), x r ，若对于任意实数 a, b 都有 f (a + b) = f (a) + f (b

33、) ，求证： f (x) 为奇函数。（2）函数 f (x), x r ，若对于任意实数 x1, x2 都有 f (x1 + x2 ) + f (x1 - x2 ) = 2 f (x1 ) f (x2 ) ， 求证： f (x) 为偶函数9.已知 f (x) 定义在 r 上，对任意 x, y r ，有 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f ( y) ，且 f (0) 0 。（1） 求证： f (0) = 1；（2）求证： y = f (x) 为偶函数。（一）奇偶性的利用求系数1. 如果定义在区间3 - a,5 上的函数 f (x) 为奇函数，则 a = x + m2

34、. 定义在 (-1,1) 上的奇函数 f (x) =x 2 + nx + 1，则常数 m =, n =3. 定义在-1在1 上的函数 y=f (x) 是减函数，且是奇函数，若 f (a 2 - a - 1) + f (4a - 5) 0 ，求实数 a 的范围。求函数值1.已知函数 y = f (x) 是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，则方程 f (x) = 0 的所有实数根之和是（）a.4b.2c.1d.02已知 f (x) = ax7 + bx5 + cx3 + dx + 5 ，其中 a, b, c, d 为常数，若 f (-7) = -7 ，则 f (7) = 3.已知 f (x) 定义在 r 上的奇函数，当 x, y r ，恒有 f (x + y) =1f (x) f ( y) ，如果 x r+ , f (x) 0 ，并且 f (1) = -，试求 f (x) 在区间-2, 6上的最值。2求解析式1若奇函数 y=f（x）（x0），当 x（0，+）时 f（x）=x-1，则不等式 f（x-1）0 的解集为（）ax|x0 或 1x2bxlx-l 或 0x1cx