(完整)集合知识点总结及习题,推荐文档

1、集合（ 1）元素与集合的关系：属于（） 和不属于（）（ 2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（ 4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法15子集：若x a ，x 则b，即是a 的b子集。a b 注1、若集合a 有个n元素，则集合的a子集有个，2n真子集有(个2n。-1)关系2、任何一个集合是它本身的子集，即 a a 、对于集合a, b果, c，,且那么 bb c,a c.34、空集是任何集合的（真）子集。集合真子集：若a且（b即至a少 b存在但），则是x 的b真子x集。a

2、a b00集合相等：且 b a b a = b集合与集合定义：且 b = x / x a x b交集定义：a b = x / x a x b性质：，a，= a a = a b = b a a b a, a b b，a b a b = a并集运算性质：a ，a，=，a，a = a a b = b a a b a a b b a b a b = b card ( a b) = card ( a) + card (b) - card ( a b)定义：且 a = x / x ux a= au补集性 质：(，cu，a，) ，a = (cu a) a = ucu (cu a) = a cu ( a b)

3、 = (cu a) (cu b) c ( a b) = (c a) (c b)uuu一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的ft(2) 元素的互异性如：由 happy 的字母组成的集合h,a,p,y(3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 元素与集合的关系（不）属于关系（1） 集合用大写的拉丁字母 a、b、c表示元素用小写的拉丁字母 a、b、c表示（2） 若 a 是集合 a 的元素，就说 a 属于集合 a,记作 aa; 若不是集合 a 的元素，就说 a 不属于集合 a,记作 aa;4. 集合的表示方法：列举

4、法与描述法。（1） 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式： a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：x |x 满足的条件例如：xr| x-32 或x| x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示u 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：n=0,1,2,3， 正整数集 n*或 n+ = 1,2,3，整数集 z ，-3，-2，-1，0,1,2,3，有理数集 q实数集 r有时，集合还用语言描述法和 venn 图法表示例如：语言描述法： 不

5、是直角三角形的三角形 venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：xr|x2=5 二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集定义：若对任意的 xa，都有 xb，则称集合 a 是集合 b 的子集， 记为 a b （或 b a）注意： a b 有两种可能（1）a 是 b 的一部分，；（2）a 与 b 是同一集合。符号与 的区别反之:集合 a 不包含于集合 b,或集合 b 不包含集合 a,记作 a / b 或 b / a2“相等”关系：a=b定义：如果 ab 同时 ba 那么 a=b实例：设 a=x|x2-1=0b

6、=-1,1“元素相同则两集合相等” 3.真子集:如果 ab,且存在元素 xb,但 xa,那么就说集合 a 是集合b 的真子集，记作 a b(或 b a)4. 性质 任何一个集合是它本身的子集。aa如果 ab, bc ,那么 ac 如果 ab 同时 ba 那么 a=b5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。运算类型交集并集补集定义由所有属于 a 且属于 b 的由所有属于集合 a 或属设 s 是一个集合，a 是s 的一个子集， 由 s 中所有不属于 a 的元素组成的集合叫做 s 中子集 a 的补集（或余集）记作cs a ，即csa=x |

7、 x s, 且x a元素所组成的集合,叫做于集合 b 的元素所组成a,b 的交集记作的集合，叫做 a,b 的并a i b（读作a 交 b），集记作：a u b（读作即 a i b=x|xa，且a 并 b），即 a u bxb=x|xa，或 xb)韦恩图示a图 1ba图 2 bsau 有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集三、集合的运算性质a i a=aa u a=a(cua) i (cub) = cu (a u b)a i =a u =a(cua) u (cub) = cu(a i b)a i b=b i aa u b=b u aa u (cua)=ua i (cua)=

8、 a i b aa i b ba u b a u b baba u b=baba i b=a第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1 集合的含义与表示1.1.1 集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母 a、b、c 等表示集合，用小写字母 a、b、c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素 a 属于集合 a，记做 aa，反之，元素 a 不属于集合 a，记做 aa。1.1.2 集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的ft；互异性：由 happy 的字母组成的集合h,a,p,y；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一

9、个集合。1.1.3 集合的表示方法：列举法；描述法；venn 图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集nn+或 n*zqr1.1.4 集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么， 这组对象就能够组成一个集合。例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1） 大于等于 1，且小于

10、等于 100 的所有整数；（2） 方程 x2=4 的实数根；（3） 平面内所有的直角三角形；（4） 正方形的全体；（5） 的近似值的全体；（6） 平面集合中所有的难证明的题；（7） 著名的数学家；（8） 平面直角坐标系中 x 轴上方的所有点。练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1） 平面直角坐标系内 x 轴上方的一些点；（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以 1 为半径的园内的所有的点；（3） 一元二次方程 x2+bx-1=0 的根；（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形（5） x2,x2+1,x2+2；（6） y=x,y=x+1

11、,y=ax2+bx+c(a0)；（7） 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8） 新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：集合 a=y|y=x2+1,集合 b=(x,y)| y=x2+1,(a、b 中xr,yr)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）a、2a，且 2bb、（1,2）a，且（1,2）b c、2a，且（3,10）bd、（3,10）a，且 2b练习：3.1415q；q；0r+；1（x,y）|y=2x-3；-8z；三有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有

12、三个性质:分别是确定性互异性无序性例：集合 a 是由元素 n2-n，n-1 和 1 组成的，其中 nz，求 n 的取值范围。解：n 是不等于 1 且不等于 2 的整数。练习:1. 已知集合 m=a,a+d,a+2d,n=a,aq,aq2,a0,且 m 与 n 中的元素完全相同，求 d 和 q 的值。y2. 已知集合 a=x，,1,b=x2,x+y,0，若 a=b，则 x2009+y2010 的值为，a=b=.x1 - m3. (1)若-3a-3,2a-1,a2-4求实数 a 的值； (2)若m,求实数 m 的值。1 + m4. 已知集合 m=2，a,b,n=2a,2,b2，且 m=n,求 a,

13、b 的值。5. 已知集合 a=x|ax2+2x+1=0,ar，(1)若 a 中只有一个元素，求 a 的值；(2)若 a 中至多有一个元素， 求 a 的取值范围。四集合的表示法：三种表示方法练习；1. 用列举法表示下列集合。（1） 方程 x2+y2=2d 的解集为；x-y=0（2）集合 a=y|y=x2-1,|x|2,xz用列举法表示为；8（3） 集合 b=z|xn用列举法表示为；1 + x| a | b |（4） 集合 c=x|=+ ，a，b 是非零实数用列举法表示为；ab2. 用描述法表示下列集合。（1） 大于 2 的整数 a 的集合；1（2） 使函数 y=x(x - 1)(x + 1)有意

14、义的实数 x 的集合；（3）1、22、32、42、3. 用 venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）a=四边形，b=梯形，c=平行四边形，d=菱形，e=矩形,f=正方形；（2）某班共 30 人，其中 15 人喜欢篮球，10 人喜欢兵乓球，8 人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为，用 venn 图表示为：。五有关集合的分类：六集合概念的综合问题： 练习3 - t1. 若 t ，则 t 的值为；1 + t2. 设集合 a=y|y=x2+ax+1，xr,b=(x,y)|y= x2+ax+1, xr ,试求当参数 a=2 时的集合 a 和 b；3. 已知集合 a=x|ax

15、2-3x+2=0,ar,求（1）若集合 a 为空集，则 a 的取值范围；（2）若集合 a 中只有一个元素，求 a 的值，并写出集合 a；（3）若集合 a 中至少有一个元素，则 a 的取值范围。1.1 课后作业：1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1） 不等式3x + 2 0 的整数解的全体；（2） 我班中身高较高的同学；（3） 直线 y = 2x -1上所有的点；（4） 不大于 10 且不小于 1 的奇数。2. 用符号或填空：2（1）2n（2）q0 （3）0 3（4） b a,b, c（5）0 n* （6） 2 x x a ， b = x | 2x - 5 0，且满足 a b ，求实数 a

16、的取值范围.练习：1.已知 a = x | x2 + px + q = 0 ， b = x | x2 - 3x + 2 = 0 且 a b ，求实数 p、q 所满足的条件.2. 若1,2 = x | x2 + bx + c = 0，则（）.a. b = -3,c. b = -2,c = 2c = 3b. b = 3,d. b = 2,c = -2c = -33.已知集合 px|x2x60与集合 qx|ax10，满足 q a。二 有关子集以及子集个数的问题：例 1：判定以下关系是否正确(1)a a(2)1，2，33，2，1(3) 0(4)00（5） f =0（6） f 0例 2：列举集合1，2，

17、3的所有子集 p，求 a 的取值组成的集合例 3：已知a、b a a、b、c、d,则满足条件集合 a 的个数为例 4：设集合 ax|x54aa2，ar，by|y4b24b2，br，则下列关系式中正确的是。aabba bca bda b例 5：已知集合 a2，4，6，8，9，b1，2，3，5，8，又知非空集合 c 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 a 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 b 的一个子集，求集合 c练习：1在以下五个写法中：00，1，2 00，1，2 1，2，0 01x|x 1，2写法正确的个数有a1 个b.2 个cy.3 个d.4 个2集合a = (x，与b =

18、 (x，y)|y = x的关系是y)| x = 1aa = bb a bca bda b3满足条件0，1 m 0，1，2，3，4的不同集合m的个数是a8 个b.7 个c.6 个d.5 个4设 i=0，1，2，3，4，5，a=0，1，3，5，b=0,则:0a0bciacib1ci b ci a ab5已知 a=x|x=(2n1)，nz，b=y|y=(4k1)，kz，那么 a 与 b 的关系为6.已知集合 a=1,3，a,b=1,a2-a+1,且 a b，求 a 的值。7已知集合 a=xr|x23x3=0，b=yb|y25y6=0，a p b，求满足条件的集合p8已知集合 a=x|x=a21，an

19、，b=x|x=b24b5，bn，求证：a=b。课后作业：a 组1. 写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2. 下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 a ，则 a 。其中正确的有（）a、0 个b、1 个c、2 个d、3 个3.设 x, y r, a = (x, y)y - 3 = x - 2, b = (x, y) y - 3 =x - 21，则 a，b 的关系是4. 已知 a = x - 2 x 5， b = x a + 1 x 2a - 1 ， b a ，求实数a 的取值范围。5. 已知集合 a = - 1,3,2m - 1,集合 b

20、= 3, m2 ，若 b a ，则实数m 的值。6. 设集合 a = x 1 x 3 ， b = x x - a 0，若 a 是 b 的真子集，求实数a 的取值范围。7. 用适当的符号填空： a a, b,c 0 x x 2 = 0 x r x 2 + 1 = 0 0,1 n 0 x x 2 = x 2,1 x x 2 - 3x + 2 = 08. 判断下列两个集合之间的关系： a = 1，2,4, b = x x 是 8 的约数 a = x x = 3k, k n ， b = x x = 6z, z n a = x x = 20m, m n + , b = x x 是 4 与 10 的公倍数

21、 9. 设集合 a = x值。x 2 + 4x = 0 ， b = xx 2 + 2(a + 1)x + a 2 - 1 = 0, x r ，若 b a ，求实数a 的10. 下列选项中的 m 与 p 表示同一集合的是（）a、 m = x r x 2 + 0.01 = 0 ， p = x x 2 = 0b、 m = (x, y) y = x 2 + 2, x r ， p = (x, y) x = y 2 + 2, y rc、 m = y y = x 2 + 1, x r ， p = x x = ( y - 1)2 + 1, y rd 、 m = y y = 2k, k z，p =xx = 4k

22、 + 2, k z11. 试写出满足条件m0，1，2的所有集合 m12. 写出满足条件0 m0，1，2的所有集合 m 13.已知1, x2x + 1,1, x 2 - 6 ，求 x14. 已知集合 a = a, a + b, a + 2b, b = a, ac, ac 2 ，若 a=b，求c 的值。15. 已知集合 a = x 1 ax 2 , b = x - 1 x 1，求满足 ab 的实数 a 的取值范围。16.设集合 a = 2,8, a, b = 2, a 2 - 3a + 4 ,且 ba，求 a 的值。b 组1. 下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集

23、；若a， 则 a 其中正确的是（）a、0 个b、1 个c、2 个d、3 个2. 已知集合 a 1,2,3,4，且 a 中至少含有一个奇数，则这样的集合 a 有（）a、13 个b、12 个c、11 个d、10 个3. 设集合 m = x x = kp+p- p z ， n = x x = kp+ p z ，则（）, k24, k42a、m=nb、mnc 、 m nd、nm4. 已知集合 a = x - 3 x 0au = rac a11. 不等式组3x - 6 0的解集为 ， 试 求 及 u12. 已知集合 a = x - 2 x 5, b = x m + 1 x 2m - 1（1） 、若 b

24、a ，求实数 m 的取值范围。（2） 、若 x z ，求 a 的非空真子集的个数。1.3 集合的基本运算1.3.1 并集：一般地,由所有属于集合 a 或属于集合 b 的元素所组成的集合,称为集合 a 与 b 的并集,记作ab,(读作“a 并 b”).即 ab=x|xa,或 xb。如图 1-3-1 所示。例如，设 a=4,5,6,8, b=3,5,7,8,求 ab.设集合 a=x|-1x2,集合 b=x|1x2，则 ab 等于() ax|2x3bx|x1cx|2x25设集合 ax|1x2，bx|xa，若 ab，则 a 的取值范围是() aa2ba2ca1d1a26(08ft东文)满足 ma1，a

25、2，a3，a4，且 ma1，a2，a3a1，a2的集合 m 的个数是()a1b2c3d4 7(09全国理)设集合 ax|x3，berror!，则 ab()ab(3,4)c(2,1)d(4，)8设 p、q 为两个非空实数集合，定义集合 pqx|xab，ap，bq，若 p0,1,2， q1,1,6，则 pq 中所有元素的和是()a9b8c27d269已知集合 ax|x2k1，kn*，bx|xk3，kn，则 ab 等于()abbacndr10当 xa 时，若 x1a，且 x1a，则称 x 为 a 的一个“孤立元素”，由 a 的所有孤立元素组成的集合称为 a 的“孤星集”，若集合 m0,1,3的孤星集

26、为 m，集合 n0,3,4的孤星集为 n，则 mn()a0,1,3,4b1,4c1,3d0,3二、填空题11若集合 a2,4，x，b2，x2，且 ab2,4，x，则 x.12已知 ax|x2pxqx，bx|(x1)2p(x1)qx1，当 a2时，集合b.13(胶州三中 20092010 高一期末)设 ax|x2px150，bx|x2qxr0且 ab2,3,5，ab3，则 p；q；r.三、解答题14已知 ax|axa3，bx|x1 或 x5 (1)若 ab，求 a 的取值范围(2)若 abb，a 的取值范围又如何？15设集合 m1,2，m23m1，n1,3，若 mn3，求 m.16已知 a1，x

27、，1，b1,1x(1)若 ab1，1，求 x.1(2)若 ab1，1，2，求 ab. (3)若 ba，求 ab.11当 x2时，ab1，2，117. 某班参加数学课外活动小组的有 22 人，参加物理课外活动小组的有 18 人，参加化学课外活动小组的有 16 人，至少参加一科课外活动小组的有 36 人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18. 已知集合 ax|3x70，bx|x 是不大于 8 的自然数，cx|xa，a 为常数，dx|xa，a 为常数(1) 求 ab；(2) 若 ac，求 a 的取值集合；7(3) 若 acx|3x3，求 a 的取值集合； (4)若 adx|x2，求 a

28、的取值集合； (5)若 bc，求 a 的取值集合；(6)若 bd 中含有元素 2，求 a 的取值集合二有关全集、补集、空集的问题例 1判定以下关系是否正确(1)a a；(2)1，2，33，2，1； (3) 0 ；(4)00例 2列举集合1，2，3的所有子集例3 已知a，b a a，b，c，d，则满足条件集合a的个数为 例4 设u为全集，集合m、n u，且n m，则例 5设集合 ax|x54aa2，ar，by|y4b24b2，br，则下列关系式中正确的是aabba bca bda bam upbmp例 7下列命题中正确的是a u( ua)ab若abb，则a bm 与 p 的关系是cm pdm pc若a1，j，2，则2 a d若a1，2，3，bx|x a，则ab例 8已知集合 a2，4，6，8，9，b1，2，3，5，8，又知非空集合 c 是这样一个