刚体一章习题解答

1、习题4 1v=gtAi刚体一章习题解答习题4 1如图所示，X轴沿水平方向，丫轴竖直向下，在t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻 t，质点对原点0的力矩M 在任意时刻t，质点对原点的角动量L 。解：作用于质点上的重力为G mgj任一时刻t质点（也是重力的作用点）的位置矢量为据定义，该重力对原点 0点的力矩为任一时刻t质点的动量为据定义，质点对原点0的角动量为习题4-2我国第一颗人造卫星沿椭圆轨道运动， 地球的中心0为椭圆的一个焦点（如图），已知地球 半径R=6378km,卫星与地面的最近距离h=439km.与地面的最远距离l2=238km。若卫星在近地点 A1习题

2、42 的速度V1=8.1km/s，则卫星在远地点的速度V2= V2(R l1)(R 2)637843963782386.3 km/s解：卫星受到地球引力（有心力）的作用，对地心0的角动量守恒。因此 解得习题4 3光滑圆盘面上有一质量为 m的物体A，栓在一根穿过圆盘中心光滑小孔的细绳 上，如图所示。开始时，物体距离圆盘中心 0的距离为ro，并以角速度绕圆盘中心0作 圆周运动，现向下拉绳，当物体 A的径向距离由r减少到r2时，向下拉的速度为v，求 下拉的过程中拉力所作的功。分析：下拉过程并不是缓慢的，在下拉过程中的任一时刻，物体的速度不是刚好沿半 径为r的切线方向，而是既有切向分量，又有法向分量。

3、另一方面，此题可以考虑用动能 定理求拉力的功，这就得先求出物体的末态速度。解：设在末态物体的速度的切向分量为 Vt，法向分量为Vn(亦为下拉速度)。同时考虑到速度的法向分 量Vn与矢径r反平行，其相应的角动量为零，由角 动量守恒可得 所以，末态速度的切向分量习题4 3由质点动能定理，下拉的过程中拉力所作的功 习题4 4质量为mi的粒子A受到第二个粒子B的万有引力作用，B保持在原点不动。 最初，当A离B很远(r = g)时，A具有速度vo，方向沿图中所示直线Aa，B与这条直线 的垂直距离为D。粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线，沿着图中所示的轨道运动， 已知这轨道与B之间的最短距离为d，求B

4、的质量mB。解：粒子A在粒子B的有心力场中运动，系统的角动量和机械能均守恒。因此，我们a习题4 4可以得到D m1v0d m1v1 212 mimBm1v0gv G2 2d联立、两式解得B的质量为习题4 5在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于0点，另一端系一质量 m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置 A，0A间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态。现 在使物体以初速度VA=4m/s垂直于0A向右滑动，如图所示，设以后的运动中物体到达位 置B，此时物体速度的方向与绳垂直。贝U此刻物体对0点角动量的大小Lb=，物体速度的大小Vb=解：由质点角动量守恒定律有因此，物体在B点时对0点

5、的角动量为d mvA L mvB物体在B点时的速度为 习题4 6 一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义为：r acos ti bsin tj，其中a、b、 皆为常数，则此质点所受的对原点的力矩M ;该质点对原点的角动量 L 。解：依定义，质点的加速度 质点受到的力为因此力矩因为所以质点角动量为J习题4 7两个匀质圆盘A和B的密度分别为A和B,若A B，但两圆盘的质量和厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为 和JB,则:(A) J A Jb。(B) Ja Jb。(C) J A Jb。(D) J a、J B 哪个大不能确定。解：圆盘的转动惯量又因为所以

6、有这样一来因为已知 A B，因而JaJb，故应选择答案(B)习题4-8如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮， A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F=Mg，设A、轴的摩擦，则有：(A) i2。(B)12。(C)12。解：由牛顿定律及转动定律对A:Mg T MaTR J 1a R 1对B:FR J 2B两滑轮的角加速度分别为1和2，不计滑轮(D)开始时12，以后12习题42从以上各式可解得MgR2 ，J MRFR MgR显然所以，应当选择答案(C)m习题4 9习题49 一长为I,质量可以忽略的细杆，可绕 通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转 动，在杆的另一端固定着一质量为

7、 m的小球，如图 所示。现将杆由水平位置无初速度地释放，则杆刚 被释放时的角加速度 ，杆与水平方向夹角为60时的角加速度 。解：细杆对轴的转动惯量为 J=ml2，由转动定 律，当杆刚被释放时的角加速度为 当杆与水平方向夹角为60时的角加速度为习题410长为I、质量为M的匀质细杆可绕通过杆的一端 O的水平光滑固定轴转动， 转动惯量为Ml2. 3，开始时杆竖直下垂，如图所示，有一质量为m的子弹以水平速度v射入杆上A点，并嵌在杆中，OA=2I.3，则子弹射入后瞬间杆的角速度解：子弹射入杆内并嵌在其中，射击过程系统角动 量守恒容易解得习题4 10习题411两个质量都是100kg的人，站在一质量为200

8、kg半径为3m的水平转台的直径两端，转台的固定转轴通过其中心且垂直于台面，初始时，转台每5s转动一圈，当这两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度。（转台对转轴的转动惯量J MR2/2，计算时忽略转台在转轴处的摩擦）解：系统角动量守恒 式中为系统的初始角速度，其值为 所以，当两个人以相同的快慢走到转台中心时，转台的角速度为题解412习题412 一飞轮由一直径为30cm 厚 度为2.0cm的圆盘和两个直径都为10cm 长为8.0cm的共轴圆柱体组成，设飞轮的 密度为7.8kg?m3,求飞轮对轴的转动惯量。解：转动惯量具有可加性，而且圆盘 和两个圆柱体共轴，因此飞轮对轴的转动惯量为习题413

9、 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03X 103N m,涡轮的转动惯量为25kg- m2。当轮的转速由2.80X 103 min一增大到1.12X 104r min_二所经历的时间t为多少？解：根据转动定律，涡轮的角加速度为 再由刚体转动运动学公式所经历的时间t为习题414质量为0.50kg长为0.40m的均匀细棒，可以绕垂直于棒的一端的水平轴转动。 如将此棒放在水平位置，然后任其落下。求：（1）当棒转过60时的角加速度和角速度； 下落到竖直位置时的动能；（3）下落到竖直位置时的角速度。解：（1）当棒转过 时所受的力矩为根据转动定律，棒的角加速度为当 60时根据定义分离变量再积

10、分棒的角速度为当 60时(2)下落到竖直位置时的角速度为所以棒的动能为此步还可用机械能守恒定律求得棒的动能：设重力势能零点在棒原来的水平位置处，则有所以Ek0.5 0.50 9.8 0.40 0.98J 由(2)可知，下落到竖直位置时习题4 15如图所示，A和B两个飞轮的轴 杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为JA=10kg?mf 和 JB=20kg?nf,开始时，A 轮转速 为600rev/min, B轮静止，C为摩擦啮合器， 其转动惯量可忽略不计，A、B分别与C的两 个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得 到加速而A轮减速，直到两轮的速度相等为 止，设轴光滑，求：=/ 三 A=y /

11、 I =Bi=EH习题415(1)两轮啮合后的转速;两轮各自所受的冲量矩解：(1) ta 2 门人 2600 6020 rad/s；由角动量守恒有解得Ja a 1020JA Jb 10 2020.9 rad/s=200rev/min(2)由角动量定理GaLA2JaJa a 10 20.9 10 20 3.14419N?m?sGB GA 419 N?m?s或者GBLB2 LB120 20.9 0419 N?m?s习题4 16 匀质细棒长为2L,质量为m,以 与棒长方向相垂直的速度 V。在光滑水平面内平 动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于棒中心的一方L/2处，A习题416

12、如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕 O点转动的 角速度。(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴 的转动惯量为ml2 3，式中的m和I分别为棒的 质量和长度)解：棒与O点碰撞前后其角动量守恒。但 棒碰撞前的角动量须作积分才能求得， 为此，我 们在棒上距支点O为x处取线元dx，其元角动量 为 式中 为棒的质量线密度。由此，我们可以得到碰撞前棒的角动量为 碰撞后棒的角动量为式中J为棒对O点的转动惯量LoL即解得1 mv0L J( mL2)2 126vo 7L习题4 17习题417如图所示，一个质量为 m的物体与 绕在定滑轮上的绳子相连，绳子质量可以忽略不 计，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M，半径为R

13、,其转动惯量为MR2 2，滑轮轴光 滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落 速度与时间的关系。解法I :对物体m：mg T ma对定滑轮（圆盘刚体）:TR (1mR2)由角量与线量的关系联立以上三式可得可见，物体下落的加速度是常量。又因为其下落的初速度为零，所以，物体下落速度与时 间的关系为解法n :把圆盘和物体作为定轴系统，由角动量定理有又因为1 2 J MR2 ,v R2由上述关系可以解得习题418 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J=3.0kg?mf,角速度0 6.0rad/s , 现对物体加一恒定的制动力矩 M= 12N?m,当物体的角速度减慢到2.0rad/s时，物体已转过

14、了角度 。解：物体的角加速度为由于角加速度为恒量，所以满足公式因此习题419 一定滑轮半径为 0.1m,相对于中心轴的转动惯量为 1X 10-3kg?mf, 变力 F=0.5t(SI)沿切线方向作用在滑轮的边缘上，如果滑轮最初处于静止状态，忽略轴承的摩擦， 试求它在1s末的角速度。解：作用于定滑轮上的外力矩为定滑轮的角加速度为因此应用初始条件t=0时，0 ,对上式积分所以，定滑轮在1s末的角速度为习题4 20电风扇在开启电源后，经过t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为 , 当关闭电源后，经过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J,并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据已

15、知推算电机的电磁力矩。解法I :设电机的电磁力矩为M，摩擦阻力矩为Mf。由转动定律，从开启电源到达到 额定转速的过程中有MM f J 1从关闭电源到风扇停转的过程中有M f J 2由刚体运动学公式有0 1t10 0 2t2联立以上四式可得电机的电磁力矩为解法n :由刚体角动量定理可得(MM f )t1J 00M f 0 J 0联立以上两式可得电机的电磁力矩为角速度为00变为0；2所,，设它所受阻力矩与角速 需要的时间。习题 4 21 转动惯量为 J的圆盘绕一固定轴转动， 度成正比，即Mk (k0)，求圆盘的角速度从解：由转动定律分离变量并积分解得习题422 一轻绳跨过两个质量均为m、半径 均为

16、r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着 质量为m和2m的重物，如图所示，绳与滑轮之 间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动 惯量均为m2，将由两个定滑轮以及质量为 m 和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮 之间绳内的张力。习题4 222mgTi2ma(T1T3)r1 2 mr2(T3T2)r1 2 mr2T2mgmaa rT2I联立以上五式可求得两滑轮之间绳内的张力T11i解：对滑轮和重物分别列式可得习题4-23质量分别为m和2m、半径分别为r习题4 232mg和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可绕通 过盘心且垂直于盘面的水平光滑轴转动， 对轴的转 动惯量为9mr2.2，大小圆盘边缘均绕有绳子，绳 子下端都挂有一个质量为 m的重物，如图所示，求盘的角加速度的大小。解：由示力图可得如下方程mg T1 maT2 mg ma2Ti(2r) T?r J 2r ara2Fmi，I 逸U A(俯视习题424联立以上五式可解得习题4 24有一质量为mi、长为I的均匀细 棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面 上，它可绕通过其水平端点 0且与桌面垂直 的光滑固定轴转动。另有一水平运动的质量为 m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极