抛物线及其性质知识点大全与经典例题及解析

1、抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1. 抛物线定义：平面内到一泄点F和一条左直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2. 抛物线四种标准方程的几何性质：图形4井市参数P几何意狡参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程/ =2/zv(p0)y2 =-2px(p0)x2 =2 py(p0)x2 =-2“y(p0)焦点位置X正X负Y正Y负焦点坐标（知2峙准线方程x = -L22），=2囤xO,yeRxO.xeRy 0)的几何性质：(1) 范围 因

2、为PO,由方程可知xo,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，ly也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.(3) 顶点(0, 0),离心率：e = .焦点F(Z,O),准线x =-匕,焦准距p2 2 焦点弦：抛物线y2 = 2px(p 0)的焦点弦AB, A(xr yj , B(x2,y2),贝9丨AB 1=册+兀2 + P 弦长AB =xi+x：+p,当xi=x：时，通径最短为2p4. 焦点弦的相关性质：焦点弦AB，ACWJ, 8(厂,儿)，焦点F(#，)2(1) 若AB是抛物线y2 =2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)，且贝J：

3、.0; = , yy. =-/r 4 若AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为u,则阳_ 2P ( a H0)。11 sin2 ct已知直线AB是过抛物线八2吨0)焦点F,扫扑黑話二為手(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为宜径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5. 弦长公式：3(兀，儿)是抛物线上两点，则= J(召)+(”_儿)2 = Jl + k I召 一 1= J1 +右I儿一y21【经典例题】(1) 抛物线一二次曲线的和谐线椭圆与双

4、曲线都有两种左义方法，可抛物线只有一种：到一个左点和一条泄直线的距藹相等的所有点的集合其 离心率e二1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美, 又生岀多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线y2 =2/zv任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与轴()A 相交相切C 相离【解析】如图，抛物线的焦点为F匕,准线是 U丿/:% = -.作 PH丄/于 H,交 y 轴于 Q,那 PF=PH, 2且|QH| = OF =上.作MN丄y轴于N则MN是梯形PQOF的2中位线，|MN| =丄(|OF| + |P0|) = PH = -PF.故以2 2 2PF为直

5、径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.D位置由P确定(2) 焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.(1) |AB| = Xj 4-2 + p(2)1 1 _ 2 AF + BF=【证明】(1)如图设抛物线的准线为作AA 丄/丄I于耳,则|AF| = |AA| = X+f,2BF = BB = x2+.两式相加即得:AB =+x2 + p(2) 当AB丄x轴时，有1 1 2 皆|=阿=0网+两方成立;当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为:y = k x-上代

6、入抛物线方程: 0)的焦点F作直线交抛物线于A(xpy,),Z?(x2,y2)两点，求证：方程之二根沁y11111 111+|的阿|側| |码|22%, +x2 + p召召+彳(召+兀)+?%, +x2 + p _x+x2 + p _ 2故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有=成立.P+*)+ 訴+w)(3) 切线一一抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线y2 = 2px上一点M (xo, yo)的切线方程是：yoy=p (x+xo)【证明】对方程y2=2px两边取导数：2y# = 2“y = 切线的斜率y

7、k = y|.7 =厶由点斜式方程：y-儿=(-v-x0)=儿y = px-px() +)彳(1)0儿.* q = 2px0,代入(1)即得:yoy=p (x+x)(4) 定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的左点和左值掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线b=8x上，且动圆恒与直线x + 2 = 0相切，则此动圆必过泄点( )A(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D(0,-2)显然本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2. 抛物线y2 = 2px的通径长为2p：3. 设抛物线y2=2pxd焦点的弦两端分别为人(西

8、),83，旳)，那么：”2=一/以下再举一例【例4】设抛物线y2 = 2px的焦点弦AB在其准线上的射影是Ab，证明：以Ab为直径的圆必过一泄点【分析】假泄这条焦点弦就是抛物线的通径，那么Ab二AB二2p,而Ab与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为人(州,廿),3(吃,乃)，那么：治2=-=|5|6| =卜卜2| = /丸设抛物线的准线交X轴于C,那CF = p. ./尸3中|（7尸=|6卜|（73|.故 ZAfd =90。. 这就说明：以AB为宜径的圆必过该抛物线的焦点.通法特法

9、妙法（1）解析一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5 （10.四川文科卷10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A. B,则IABI等于（）A3B.4C.3 迈 D.4 %/2【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.y = x + m卜=一对+3+x + z-3 = 0【解析】：点A、B关于直线x+y=0对称设直线AB的方程为：y = x+/H.设方程（1）之两根为x“ X则召+冬=一1设AB的中点为Mg, Q则x亨=弓代入仔0： y

10、冷.故有心从而,n = y-x = l.直线AB的方程为：y = x+.方程（1）成为：x2+x-2 = O.WW： x = -2；l,从而 y = l,2,故得：A （-2, 一 1）, B （b 2）. /. AB = 32 ,选 C（2）几何 一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习 题望而生畏针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11全国1卷11题）抛物线r=4.v的焦点为F,准线为人经过F且斜率为循 的直线与抛物线在X轴上方的部分相交于点A, AK丄儿

11、垂足为K，则8KF的而积（ A. 4BC 4j亍【解析】如图直线AF的斜率为时ZAFX=60 .AAFK为正三角形.设准线/交x轴于M,则|FM| = p = 2,且ZKFM=60 , A KF = 4, S= a!x42 = 4x/3 选 C4【评注】（l）平面几何知识：边长为a的正三角形的 而积用公式Ss=-a2计算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标,，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有 如上的几何法简单.（3）定义 一追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难但如果返朴归真，用最原始的泄义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线2 2C

12、弓-汁2o, b0）的左准线为/,左焦点和右焦点分别为片和耳：抛物线C2的线为/,焦点为 气；G与C,的一个交点为M,则也纠聲纠等于（）-|M可 |MFJA. 1B. 1C.2【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂, 方面去寻找岀路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作MH丄1于H ,令M用=斤,|哪|=q 点M在抛物线上，购=阀7,故覷=闊=严,I 14F I这就是说：丄亠的实质是离心率cI MF. I其次，芈黒与离心率C有什么关系？注意到：I MF I阿| rx rre）I F F I I MF I这样，最后的答案就自然浮出水而了：由于品一品十7 + 选乩线段AB被直线厶：x+5y-5=0垂直平分，且k, =,.-.=5,即 =5*5（“ + 风）设线段AB的中点为M（和 凡），则儿=芒卫=代入計5-5二0得x二1.于是:AB中点为M故存在符合题设条件的直线，英方程为:（6）探索一一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树髙荫深，叫樵夫难以下手” 这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜 想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现无限风光在险峰”.【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线）=-工+1与x轴的正半轴交于点A,将线段04的“等分点从左至右 依次记为P2,屮过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为