数列求和7种方法(方法全,例子多

1、标准实用数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式

2、求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法文案大全1、等差数列求和公式:Snn(a! a.)2na!n(n21)2、等比数列求和公式：Snnai(1 qn)i qaia.q1 q(q 1)(q 1)3、Sn1n(n21)4、Sn1n(n 1)(2 n 1)65、Snk3 2 n(n 1)2k 12xn 的前n项和.1 2 3例1已知log 3 x，求xx xlog 2 3解：由logs x_1 log 2 3log 3 xlog 3 2由等比数列求和公式得Snx x2x3（利用常用公式）例 2设 Sn = 1+2+3+ +n ,x(1 Xn)1 x2(1歹)1=1 1 2n2n

3、 N *,求 f (n)Sn解：由等差数列求和公式得Sn -(n32） Sn 1的最大值.Snf(n)(n 32)Sn 1n(n21)，Sn1(n 1)( n 2)2（利用常用公式）n2n 34n 64164 厂 n 34(、nn18 2)50.n150二当 jn，即 n = 8 时，f (n )max150题1.等比数列-的前n项和Sn = 2 n 1,贝U r- 1 题 2 .若 12+2 2+ +( n-1) 2= an3+ bn2+ cn，则 a=（於-1）甩*堆-1）2? - 3用$亠网解：原式=-J二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用

4、于求数列项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.an bn的前 n例3求和：Sn231 3x 5x 7xn 1(2n1)x解：由题可知,（2 n 1）xn 1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn 1的通项之积设xSn1x 3x2 5x3 7x4(2n1)xn（设制错位）一得(1X)Sn1 2X2x22x32x42xn 1(2n1)xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得:(1X)Sn2x1 xn11 x(2n1)xnSn(2n1)xn 1(2n(1 x)21)xn(1 x)2 46例4求数列，一2 2解:由题可知,设Sn2Sn一得（1练习题答案:练习题答案:2n23，

5、2n歹4224戸1)Sn2前n项的和.的通项是等差数列2n的通项与等比数列=n 的通项之积2nSn_6_236尹22n2n（设制错位）2歹1尹n 222n2 2nnn 12 2（错位相减） an22-1项和Sn.，求数列=re-2 - 1*2C - 21 - = w.2b - 2 +1的前的前n项和为三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（31 an）.例 5求证：C： 3Cn 5C：(2n1)C； (n 1)2n证明：设 Sn C n 3C n 5C n(2n 1)C n2S sin 89sin2 8

6、82 2sin 3 sin 2sin21：（反序）又因为 si nxcos(90x), sinx cos2 x+得（反序相加）22S (sin 12 2cos 1 ) (sin 22小、cos 2 )2(sin 89cos2 89 )= 89把式右边倒转过来得Sn(2n1）c：(2n1)C：13C0Cn（反序）又由mCnc：m可得Sn(2n1)c0(2n1)cn3C；1CnC n.+得2S,n (2n2)( Cn C：n 1C nc；)2(n1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n例 6求 sin21 sin2 2sin2 32sin2 882sin2 89的值解：设S sin21sin2 2

7、sin23sin2 88sin 89 :将式右边反序得S= 44.5(1 )证明： 11(2)10H/| +/ 丿的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2 ）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知,则归2、 3 + +丁joj110丿广s、+7+ +/joj丿JO丿两式相加得:23 = 9所以 -.l F 吩 爭q xx练习、求值：1只+ ltf+l3四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列,若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1丄a例7求数列的前n项和：11解：设 Sn (11)(a4)a1r 7)a1

8、n 1a1(n 1a3n 2，3n 2)将其每一项拆开再重新组合得Sn12aa = 1 时,SnJr) (1a(3n1)n(3n1)na 1时,1na1(3n 1)n2例 8求数列n(n+1)(2n+1)的前3n 2)(3n 1)n2（分组）（分组求和）解：设 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2nn3k2 k)Sn k(k 1)(2k1) =(2k3k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnn32Sn = 2k 3kkk 1k 1k 1（分组）33322=2(12n )3(122n ) (1 2n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1)

9、(n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 12n 1)(5)ann(n 1)(n 2)12n(n 1)(n(7)(8)ananann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)12n1n 2n 11(n 1)2n,则 Sn11(n 1)2n(An B)(A n C)C

10、 B (An BAn C1、n的前n项和.（裂项）解：设an（裂项求和）例 10例 11解:=(2 .1)在数列an中,解:anann 12n n 12 2-.2)18(-n数列bn的前n项和Sn8(1=8(11 1-)(-2 21J =1 1 -)(338nn 14)求证:cosO cos1cos1 cos 2又bn2一，求数列bn的前n项的和an an 1七cos88 cos89cos1sin21（裂项）（裂项求和）cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1)tan n（裂项）ScosO cos11=-(tan 1sin

11、1cos1 cos 2cos88 cos89（裂项求和）tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89tan 88 (tan 89sin 1tan 0 )=sin 1cot1 =哼sin 1 原等式成立I 111-1+ 练习题 1. :-练习题2。1 1 1 1 + + + 24 3*5 4 石3+1)(卫+3)1字- -L答案:2 2 3 w + 2+3六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn .例 12 求 cosl cos2 + cos3 + c

12、os178 cos179。的值解：设 Sn= cosl cos2 cos3 + cos178 cos179 t cosn cos(180 n )(找特殊性质项)/Sn=(cos1 cos179 )+ ( cos2 cos178 )+( cos3 + cos177 )+ + (cos89 cos91 )+ cos90 (合并求和)= a1999 a 2000a2001a2002例13数列an:a11,a23, a32, an 2 an 1an ,求 S2002 .解：设S2002=a1a2a3a2002由a11, a23,a32, an 2an 1an可得a41,a53, a6 2,a71,a8

13、3,a92,a10 1, a113, a12 2a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41 , a6k 53, a6k 62a6k 1a6k 2a6k 3a6k4a6k 5a6k 60(找特殊性质项)S2002 = a1a2a3a2002(合并求和)=(a1a 2a3a6 )( a7a8a12 )(a 6k 1a6k2a6k 6 )(a1993 a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4例14 在各项均为正数的等比数列中，若aa69 求 log 3 ailog 3 a2log3 ai0 的值.解：设 Snlog

14、3 ai log3a2log 3 aio由等比数列的性质 m n p qamanapaq(找特殊性质项)和对数的运算性质lOg a M log a Nlog a M N 得Sn(log 3 ailog 3 aio) (log 3 a2log 3 ag)(log 3 a5 log 3 a6)(合并求和)=(log 3 ai ai0 ) (log 3 a2 a9 )(log 385 a6)=log 3 9 log 3 9log 3 9设+ 则凡=练习、求和:=i0练习题i答案：2练习题 2 若 Sn = i-2+3-4+(-i) n-i n，则 Si7+ S33 + S 50 等于 ()A.iB.

15、-iC.0D .2凹为奇)2i-号(翎为偶)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=L ?答案：A练习题 3i00 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-i2 的值是A.5000B.5050C.i0i00D.20200+(2+i)=5050.答案：B解：并项求和，每两项合并，原式=(i00+99)+(98+97)+七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 11 111111n个 11之和.解：由于1111199999(10k 1)k个 19k个19 1 11 11

16、1111 1n个11 1(101 1)91 2(102 1)91(103 1)91n-(10 1)91 1 2(101 102910310n)1-(1119n 个11)（找通项及特征）（分组求和）1 10(10n 1) n910 19=丄(10n18110 9n)例16已知数列an： an(n81)(n3），求 n(n11)(anan 1 )的值.an 1 )8(n 1临3)1(n 2)(n4)（找通项及特征）=8 (n 2)(n4)(n13)(n 4)（设制分组）=4 (n8(n（裂项）(n 1)(ann 1a n 1)）（分组、裂项求和）提高练习:an中，Sn是其前n项和，并且Sn 14an 2(n1,2丄)，印 1，设数列bn an i 2an(n 1,2,)，求证：数列 g 是等