(完整)最新人教版八年级下学期数学《勾股定理》知识点归纳,推荐文档

1、勾股定理知识点归纳和题型归类一知识归纳a2 + b2 = c2方法三： s梯形= 1 (a + b) (a + b) ，2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别s梯形证= 2sdade+ sdabe= 2 1 ab + 1 c2，化简得22为 a ， b ，斜边为c ，那么 a2 + b2 = c2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：.勾股定理的适用范围勾股

2、定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边a2 + b2在dabc 中， c = 90 ，则c =，c2 - a2ccc2 - b2b =， a =ccccdbahegfbacaba a d知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数baa cbabbeab bc量关系可运用勾股定理解决一些实际问题方法一：.勾股定理的逆定理4sd + s正方形正f方gh形a=bcds， 4 1 ab + (b - a)2 = c2

3、，化2222如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a + b = c ，简可证那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边方法二：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1s = 4 ab + c2 = 2ab + c2形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a2 + b2 与较长边的平方c2 作比较，若它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若 a2 + b2 c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的

4、三角形大正方形面积为s = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ，所以是锐角三角形；定理中 a ， b ， c 及 a2 + b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c 满足 a2 + c2 = b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时， 这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 + b2 = c2 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记

5、住常见的勾股数可以提高解题速度，如3, 4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7, 24, 25 等勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形， 在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决题型一：直接考查勾股定理例.在dabc 中， c = 90 用含字母的

6、代数式表示 n 组勾股数：已知 ac = 6 ， bc = 8 求 ab 的长丢番图发现的：式子m2 - n2 ,2mn, m2 + n2 (m n 的正整数）已知 ab = 17 ， ac = 15 ，求 bc 的长毕达哥拉斯发现的：2n + 1,2n2 + 2n,2n2 + 2n + 1（ n 1的整数）柏拉图发现的： 2n, n2 - 1, n2 + 1（ n 1的整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法

7、添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用题型二：应用勾股定理建立方程例.在dabc 中， acb = 90 ， ab = 5 cm ， bc = 3 cm ， cd ab 于 d ， cd 已知直角三角形的两直角边长之比为3 : 4 ，斜边长为15 ，则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为13 cm ，则这个三角形的面积为 例.如图dabc 中， c = 90 ， 1 = 2 ，cd = 1.5 ， bd = 2.5 ，求 ac 的长dabc 是否为直角三角形 a = 1.5 ， b = 2 ， c = 2.5c

8、a = 5 ， b = 1，4c = 23d12eab例 4.如图 rtdabc ， c = 90 ac = 3, bc = 4 ,分例 7.三边长为 a ， b ， c 满足 a + b = 10 ，ab = 18 ， c = 8 的三角形是什么形状？别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积cab题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 8.已知dabc 中，ab = 13 cm ， bc = 10 cm ， bc 边上的中线题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高8 cm ，另一棵高2 cm ，两树相距8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m 。a

9、d = 12 cm ， ab = ac 。求证：a题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为 a ， b ， c ，判定bdc1、在 b 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时 8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到 m 岛，乙船到 p 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？2、为美化环境，计划在某小区内用 30 平方米的草皮铺设一边长为 10 米的等腰三角形绿地， 请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。3、如图，铁路上 a、b 两站（视为直线上两点） 相距 25 千

10、米，c、d 为两个村庄（视为两个点）， daab 于a，cbab 于b，da=15千米， cb=10 千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站 e，使得 c、d 两村到 e 的的距离相等，则e 应建在距 a 多少千米处？4、在河 l 的同侧有两个仓库 a、b 相距 1640 米， 其中 a 距河 210 米，b 距河 570 米，现要在河岸上建一个货运码头，使得两仓库到码头的路程和最短，问：这个最短路程是多少？码头应建在何处？5、有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端 恰好到达池边的水面。这个水池的深

11、度与这根芦 苇的长度分别为多少？求c 的度数。1勾股定理1. 在 rtabc 中， ac=12，ab=20，求bc 的长。典型题训练2. abc 中，若 ac=15，bc=13，ab 边上的高cd=12，求abc 的周长。2勾股定理的逆定理1. 已知，在abc 中，a,b,c 的对边分别是 a,b,c, a = n 2 - 1,b = 2n, c = n 2 + 1(n 1)，2. 如图，a,b 是公路 l(l 为东西走向)两旁的两个小村庄，a 村到公路 l 的距离 ac=1km，b 村到公路l 的距离 bd=2km，b 村在 a 村的南偏东 45方向上（1） 求出 a，b 两村之间的距离；（

12、2） 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 p，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 p 的位置（保留清晰的作图痕迹）。3. 一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240 海里时方向仪坏了，凭经验，船长指挥船左转90，继续航行 70 海里，则距出发地 250 海里， 你判断船转弯后是否沿正西方向航行？三最短路径问题1. 如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和 1cm，a 和b 是这个台阶的两个相对的端点，a 点上有一只蚂蚁，想到 b 点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从 a 点出发，沿着台阶面爬到 b 点，最短线路是多少？2. 有一圆柱

13、形油罐，如图所示，要从 a 点环绕油罐建梯子，正好到 a 点的正上方 b 点，若油罐底面半径是 4m，高是 7m，3，问梯子最短是多少米？3. 折叠问题1. 如图，矩形纸片 abcd 中，ab=8cm，把矩形纸片沿直线 ac 折叠点 b 落在点 e 处，ae 交 dc 于点f，若 af=6.25cm，求 ad 的长。2. 如图，折叠长方形的一边 ad，使点 d 落在 bc边的点 f 处，bc=10cm，ab=8cm，求 ec 的长。3. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边ac=6cm，bc=8cm，现将直角边 ac 沿着直线 ad 折叠，使它落在斜边 ab上，且与 ae 重合，求cd 的长。

14、4. 如图，四边形 abcd 是边长为 9 的正方形纸片， 将其沿 mn 折叠，使点 b 落在 cd 边上的 b处， 点 a 对应点 a，且 bc=3，求 cn 和 am 的长。4网格问题1. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，abc 的三个顶点在格点上，求abc 中 ab 边上的高。六勾股定理的证明1. 一个直立的火柴盒在桌面倒下，启迪人们发现了勾股定理一种新的验证方法如图，火柴盒的一个侧面 abcd 倒下到 abcd的位置，连接cc，设 ab=a，bc=b，ac=c，请利用四边形bccd的面积验证勾股定理： a 2 + b 2 = c 2 。五面积问题1. 如图，直线 l 上有三

15、个正方形 a,b,c,若 a,c 的边长分别为 6 和 8，求 b 的面积。2. 如 图 所 示 ， 在 abc 中 ，ac=10，bc=17，cd=8，ad=6，（1）求 bd 的长；（2）求abc 的面积。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all