(完整版)华师大版第十八章函数及其图像知识点,推荐文档

1、函数及其图像知识点一、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。变量：在某一函数变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。自变量：在某一函数变化过程中，主动变化的量的叫做自变量。因变量：在某一函数变化过程中，因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时，我们也称因变量是自变量的函数常量：在某一函数变化中，始终保持不变的量，叫做常量。练习：在函数 c = 2pr中，自变量是，因变量是，常量是，叫做的函数。二、函数的三种表示方法：解析法：就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。例如，表示圆的面积和半径的函数关系式是 s = pr2列表法：就是用一个数据表来表示函数变化规律。函数的定义域是指

2、自变量的取值范围。函数的值域是指因变量的取值范围函数自变量取值范围的确定如下表：函数解析式类型自变量取值满足的条件应用举例整式全体实数y = -4x + 5 （x 为任意实数）分式分母不为零y = 2x - 3 (x 2) x - 2二次（偶次）根式被开方数非负y =3x - 6(x 2)+练习：求下列函数中自变量 x 的取值范围：5x7t（分钟）123456s（米）100200300400500600图像法：就是用线性图像示函数变化规律。例如：小强每分钟走 100 米，下表是小强走的路程同时间关系的列表： y = 23 y = x2 - x - 2 x + 3 y = 4x + 8 y =

3、s600500400300200100123456t例如：三、函数的定义域和值域：四、平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；铅直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两条数轴的交点 o 叫做坐标原点。x 轴和 y 轴将坐标平面分成四个象限（如图）:y一 一 一 一一 一 一 一o一 一 一 一一 一 一 一x112五、平面内点的坐标：（横坐标，纵坐标）如图：过点 p 作 x 轴的垂线段，垂足在 x 轴上表示的数是 2，因此点 p 的横坐标为 2过点 p 作 y 轴的垂线段，垂足在 y

4、 轴上表示的数是 3，因此点 p 的纵坐标为 3所以点 p 的坐标为（2 , 3）练习：请你在图中写出点 b、c、d、e、f 的坐标。e( , )p(2 , 3)b( , )f( , )oc( , )d( , )六、平面内特殊位置的点的坐标情况：（连线）第一象限第二象限第三象限第四象限x 轴上y 轴上（+ ，+） （- ，+）（- ，-） （+ ，-） （0 ，a）(b , 0)七、点的表示（横坐标，纵坐标）注意：不要丢了括号和中间的逗号；表示的意思：当 x =时， y =如点 a（2，1）表示：当x = 2 时， y = 1同时要注意 x 轴上点的特征： (, 0) 即纵坐标等于 0; y

5、轴上点的特征： (0,) 即：横坐标等于 0。概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为 0。八、对称点的坐标关系：关于 x 轴对称的点：横坐标，纵坐标。关于 y 轴对称的点：横坐标，纵坐标。关于原点对称的点：横坐标，纵坐标。p(a, b) 关于 x 轴对称；关于 y 轴对称；关于原点对称 思考：如何解决点关于 y=x，y=-x 对称，以及点旋转 90之后的坐标。九、数轴上的点和是一一对应的；在平面直角坐标系中的点和 也是一一对应的。十、点 p(a, b) 到 x 轴的距离为；到 y 轴的距离为 1、点（-3，2）到 x 轴的距离是，到 y 轴的距离是 2、点 p 在第 3 象限，p 到

6、x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，那么点p 的坐标是 3、点 p（3，5）到 y 轴的距离为，到 x 轴的距离为；十一、点的平移：p(a, b) 向上平移 2 格；向下平移 3 格；向右平移 1 格 ；向右平移 5 格（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）十二、两点之间的距离：a(-2,3)b(4,3)oa(-2,3)o b(-2,2)在同一条水平上线上的时候：求 a、b 两点之间的距离确定 x 的取值范围，特别要小心有些情况下 x 并不能取到所有的值， 图像也会受到一定的限制。初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。判断函数图像是直线、

7、还是双曲线（可以通过 x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）最后从函数与 x 轴（未必一定会有）、 y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如原点对称）；分段性；从而画出比较准确的草图。十五、点是否在函数图像上：（其本质就是判断这个点所代表的 x, y 的值是不是解析方程的解）概括：a、b 两点之间的距离为：x1 - x2或 y1 - y2如：判断点(4, 6) 是否在函数 y = x2 - 2x - 3 图像上，即相当于当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到中两点在同一水平线上

8、的时候，两点之间的距离求法。(x - x) + ( y - y )221212a、b 两点之间的距离： ab =x + xy + yx = 4, y = 6 是不是方程 y = x2 - 2x - 3 的解。或者说：当 x = 4 ，y = x2 - 2x - 3 = 42 - 2 4 - 3 是否会等于6。1、点（-3，2），（ a , a + 1）在函数y = kx - 1的图像上，则 k =, a = a、b 两点的中点坐标为： ( 12 , 12 )221、点 a（0，2）与点 b（0，-3）,则 ab= 2、点 a（2，0）与点 b（-5，0）,则 ab= 3、点 a（2，3）与点

9、b（3，2）,则 ab= 十三、画函数图像通常用描点法，步骤是：列表、描点、连线三步。十四、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面2、直线 y2.5x3 过点（ ，0）、（0， ）3、直线 y=-3x+5 经过点（3, ），（ ，-5）。4、已知一次函数 y=kx+5 的图象经过点（1，2），则 k= .5、.经过点（3，2）的一次函数是（ ）ay=3x-5b y=2x+1cy=x-1dy=x+1十六、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标：如： y = 2x - 2 的图像上已知点 a 的横坐标为 2，点 b 的纵坐标为-4； 求点 a、b 的坐标。解析：a 点相当于问

10、你，当x = 2 时， y =；b 点相当于问你：a、bcd3、在矩形 mnpq 中，动点 r 从点 n 出发，沿 n p q m 方向运动至点 m 处停止设点 r 运动的路程为 x ， mnr 的面积为 y ，如果y = -4 时， x =。十七、寻找与题意相符的函数图像：qy 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则当 x = 9 时，点 r应运动p到（y）o49xrna n 处 b p 处 c q 处d m 处1、某人早上进行登山活动，从山脚到山顶休息一会儿又沿原路回，若横m轴表示时间 t，纵轴表示与山脚的距离 h，则下面四个图中反映全程 h 与t 的关系图是（）h0ath0bth0cth

11、04、乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的（瓶图子，但水位较低，且（瓶图口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后， 乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时 间为 x ，瓶中水位的高度为 y ，下列图象中最符合故事情景的是：（）dt2、一支蜡烛长 20 厘米,点燃后每小时燃烧 5 厘米,燃烧时剩下的高度 n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是()十八、看函数图像获取信息：下图描述了小明在散步过程中离家的距离 s（米）与散步所有时间204 t（小时）204h（厘米）h（厘米）h（厘米t）（分）之间的函数关系。

12、请你根据图像提供的信息完成下列填空：h（厘米）204t（小时）20小明从家到公园阅报栏用了分钟，这段路程的速度是；小明在阅报栏看了分钟的报；小明散步走得最远时，离家米。4t小（明小回时家）用了分钟，回家时的速度是；k0y 随 x 的增大而增大函数的图像从左到右是上升的kx ，那么 yy 已知点（x ，y ）和点（x ，y ）在函数2121122数。y = x -1的图像上，且 y y ,那 xx二十、一次函数的图像是一条，因此画一次函数的图像只需要1212取个点。二十一、函数图像上的点：（注：点的横坐标就是 x 的值，点的纵坐标就是 y 的值）y = -x + 1 二十三、一次函数 y = k

13、x+b(k,b是常数，k一、三、四b0k0图像经过象限b 的取值k 的取值征：由 k、b 的取值决定 0) 的图像特已知点 a（2，a）在一次函数上，则 a=。直线 y = 4x - 3 过点（ ，0）、（0， ）请你写出直线 y = x + 1 上任意两个点的坐标 。二十二、一次函数 y = kx+b(k,b是常数，k由 k 值的正负来决定。 0) 的性质：k 的取值代数性质几何性质第象限。二、三、四-x + 1的图像经过b0练习：一次k0,b0b、k0,b0y当 x = 0 时， y = -2 即(0, -2) 为一次函数与 y 轴的交点坐标。c、k0d、k0,b 0图像向上平移b 0图像

14、向下平移越大，直线越陡；x 值不变）向左平移 1 个单位；向右平移 2 个单位备注：左右平移（y 值不变）1、直线 y=2x-3 向下平移 4 个单位可得直线 y=,再向左平移 2 个单位可得直线 y= 2、若把一次函数 y=2x3,向上平移 3 个单位长度，得到图象解析式是 三十、一次函数与三角形：当b0 时，一次函数 y = kx + b(k, b是常数，k 0) 的图像与 y 轴的交点（0，b），与 x 轴的交点（ - b ，0）和原点（0,0）组b - bk2成一s个=直角三角k形。这个直角三角形的面积练习：已知一次函数的图像经过点（-1,1）和点（1，-5），求这个一次函数的关系式。

15、二十九、一次函数图像的平移： 例如： y = 3x -1向上平移 5 个单位；向下平移 2 个单位备注：上下平移（练习：一次函数 y = 2x + 1 的图像与 y 轴的交点 a 的坐标为（，），与 x 轴的交点 b 的坐标为（ ， ），rtabo 的面积等于 21a(2,1)-112-121a(2,1)-112-121a(2,1)-1-112在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积：三十一、反比例函数：反比例函数（共三种表示方式）： y = kxy = kx-1xy = k (k 0) 其三十二、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。中 xy = k 更方便于

16、求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。单调递一、三减单调递增k 越大，双曲线离 x 轴越远k 越大，直线越陡二、四单调递减二、四k 0草图单调性经过象限草图单调性经过象限反比例函数： y = k (k 0)x正比例函数 y = kx (k 0)k提醒：关于 y =中k 等于多少该如何判断得引起大家的重视；如xy = 12x中的k 是多少呢？1、已知函数 y=kx（k0）的图像经过（0， ），（1， ）的一条 ；当 k0 时，y 随 x 的增大而；当 k 0并且两个交点关于原点对称。正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点成中心对称：例如：已知一个正比例函数与一

17、个反比例函数图像其中一个交点的坐标为（2,3），则另一个交点的坐标为 ，这个正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为。三十三、判断函数图像的正误：1、当 k0 时，反比例函数 y = k 和一次函数 y=kx-k 的图象大致为（yoyoyo） yoxxxxxabcdyox2、函数 y=-x-2 的图像大致是（）yoxyyoxb3、函数 y1=kx 和 y2=的图象如图，自变量 x 的取值范围相同的是（）4、函数 y=-x-2 的图像大致是（）ooo5、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。三十四、直线之间的位置关系l1 : y1 = k1x + b1已知直线： l2 : y2 = k

18、2 x + b2 l1, l2 平行的充要条件： k1 = k2 且b1 b2 l1, l2 重合的充要条件： k1 = k2 且b1 = b2 l1 , l2 垂直的充要条件： k1 k2 = -1三十五、直线位置关系与方程组的解之间的关系k, by = kx(k 0)、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说方程组，求的值。而正比例函数：反比例函数：明方程组有无穷多个解。 y = 2x - 5x = 2y = k交x(k 0) 都只需要一个条件（或者一个点坐标）去求解k 的值。点坐标为方程组的解为。而、写出满足下列条件的一个函数关系式： y = -x +(21, -1) 。

19、 y = 2x - 2 y = -1像(1)图像过点(1，1)、(3，2)的一次函数； =+没 有交点。 方程组无解，如图所示：图y2x2、通过方程无解来说明直线平行的方法：(2) 图像过点(2, 3) 的正比例函数；l1 : y1 = k1x + b1k1x + b1 = k2 x + b2 (k1 - k32 )x = b2 - b1方程组无解，则(3) 图像过点(-, 3) 的反比例函数；，l2 : y2 = k2 x + b22当 k1 - k2 = 0 且b2 - b1 0 时方程无解，所以我们可以得到当k1 = k2 且b1 b2 时直线平行。三十七、反比例有关的面积问题（图 7

20、三角形 aob 的面积有多种方法） 三十六、解析式的求解、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数（直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下：、一次函数： y = kx + b (k 0) 需要两个条件（或者两个点坐标）来列(3) 求方程 kx + b - m = 0 的解（请直接写出答案）；x(4) 求不等式 kx + b - m 0 的解集（请直接写出答x案）；例 3、如图，直线 y = x + 6 与反比例函数 y =k （x0）的图像交x点 a、点 b，与 x 轴相交于点 c，其中点 a 的坐标为（2

21、，4），点 b 的纵坐标为 2。三十八、函数与方程、不等式之间的关系：指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思， 之后再过交点作 x 轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。（1） 试确定反比例函数的关系式；（2） 当 x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出来）（3） 求aoc 的面积。例 1：画出函数 y = 3 x + 3 的图像，根据图像，指出：2例 4、如图所示：直线 y = kx + b 与 x 、y 轴轴分别交于点 e 、 f ，其中（1） x 取什么值时，函数值 y 等于 0（2） x 取什么值时，函数值 y 大于 0例 2、如图 14，已知 a(-4，n) ， b(2，- 4) 是一次函数 y = kx + b 的图象 m点 e 的坐标为(-8, 0) 点 a 的坐标(-6, 0) 。点 p 为直线 y = kx + b 上的一动点。（1） 、求k 的值和反比例函数 y =的图象的两个交点x（2） 、若点 p(x, y) 是第二象限内，(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 求直线 ab 与 x 轴的交点c 的坐标及 aob 的面积；在点 p 的运动过程中，试写出opa 的面积 s 与 x 轴的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。27（3） 探究：当点 p 运动