(完整版)第12章整式的乘除知识点总结,推荐文档

1、第 12 章整式的乘除12.1 幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+（m、n、p均为正整数）文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：p2p3p4=p2+3+4=p9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；2(22)3(2 )4=()3+4=()7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2） 一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3） 如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则:(am)n=amn（m、n 均为正整数）。推

2、广：(am)nps=amnp s文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：(p2)3=p23=p6；2( )34=( 2 )34=( 2 )12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8（2） 运用时注意符号的变化。（3） 注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n， 如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=anbn（n 为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1） a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：(2p

3、)3=22p2=4p2；2323( )2=()2( )2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3； (a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2） 运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n； 如：2333= (23)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：aman=am-n（m、n 均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。如：p4p3=p4-3=p；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)22

4、2=42； ()6(2 )4=()6-4=()2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意 a0 这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = aman； 如：a x-y= axay，(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)(-4 b2c)(- 3 ab)2=(-5)(-4)(- 3 )(a2a)(b2b2)c2=-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（

5、乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(-3x2 )(-x2 + 2x - 1) =(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x 一(-3x2)1=3x4 - 6x3 + 3x2三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb12.

6、3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+p)( a+b -p)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2） 注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3） 注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。22、注意事项：（1）a、b

7、可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)222=()2+23+322=2+6+92=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -p)2=( a+b)2-2( a+b)p+p2= a2+2a b+b2-2pa-pb +p2；（2） 注意公式运用时的对位“套用”；（3） 注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序” 是：“一看二套三计算”。12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数

8、相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c3ab=(-213)a2-1b3-1c=-7ab2c（2x2y）3（-7xy2）14x4y3=8x6y3（-7xy2）14x4y3=8（-7）x6+1y3+214x4y3=（-5614）x7-4y5-3=-4x3y2 5（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-

9、7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x 整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式， 叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体

10、步骤：（） “看”。观察各项是否有公因式；（） “隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（） “提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n 为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n 为正整数)； 如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-

11、b)；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(10+9)(10-9)=191=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；(2n + 1)2 - (2n - 1)2 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8n（2） 注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3） 注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1） a、b 可以是实数，也可以是代数式等。如：

12、m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mna+ a2=(mn-a)2； x2+4xy+y2=x2+2x2y+(2y)2=( x+2 y)2（2） 注意公式运用时的对位“套用”；（3） 注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+23=(x+2)( x+3)； x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6(-1)= (x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如： x2 + 9x +14 =(x+2)( x+7)x2 - 2x - 8 =(x+2)( x-4)1212171-42+7=92+(

13、-4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1） 看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2） 看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3） 没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1） 注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2） 因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3） 现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4） 注意“十字相乘法”

14、只适用于“二次三项式型”因式分解， 不要乱用此法。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep