抛物线的焦点与准线

1、抛物线的焦点与准线(高中知识有关)九上P54、活动2 (新书)一、高中知识：文科选修(1-1) P53-55;理科选修(1-1) 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F和一条定直线物线.点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线.P56-59L的距离相等的点的轨迹叫做抛2公式：抛物线y = ax bx c的隹八、b2a4ac - b21)4a24acb -1 y 二4a二、试题:1、 (2010黄冈市，25, 15分)已知抛物线过原点o.过抛物线上一点P( x, y)向直线2二 ax bx c(a = 0)顶点为5y作垂线，4C( 1,1)连FM (如图).垂足为M ,(1)求字母a, b,

2、 c的值;3 F(1,)，求以4腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时 形；(2)在直线x= 1上有一点PM为底边的等PFM为正三角(3)对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点N (1, t),使PM = PN恒成立，若存在请求岀t值，若不存在请说明理由.2、2012年山东潍坊市24.(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(-2,三点，过坐标原点 0的直线y=kx与抛物线交于 M、N两点分 别过点C,D(0 , - 2)作平行于x轴的直线lJ .(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以ON为直径的圆与直线 h相切；求线段MN的长佣k表示)，并证明M、N两点到直线l 的

3、距离之和等于线段MN的长.3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点 F ( 0 , 1 )的直线 y=kx+b与抛物线0)、C(0, - 1)10y工iJ11CD0)、B(2,交于 M (x1, y1)和 N (x2, y2)两点(其中 x1 0).(1) 求b的值.(2) 求 X1?x2 的值.（3）分别过M , N作直线丨： 并证明你的结论.（4）对于过点F的任意直线 切如果有，请求出这条直线y= - 1的垂线，垂足分别是 M1和判断 M1FN1的形状,MN，是否存在一条定直线 m，使m的解析式；如果没有，请说明理由.m与以MN为直径的圆相4、2010年南通市中考试题（五

4、中月考）28.（本小题满分14分）已知抛物线 y = ax2 + bx+ c经过 A （- 4， 3）、B （2，0） 两点，当x=3和x=- 3时，这条抛物线上对应点的纵坐 标相等.经过点 C （ 0，- 2）的直线I与x轴平行，0为 坐标原点.（1）（2）（2010年南通市）(3)求直线AB和这条抛物线的解析式；以A为圆心，A0为半径的圆记为O A,判断直线丨 与O A的位置关系，并说明理由；设直线AB上的点D的横坐标为一1，P （m，n）是 抛物线y = ax2 + bx+ c上的动点，当 PDO的周长 最小时，求四边形 CODP的面积.-4 - 3 - 2 - 1 O -15、（ 20

5、11-2012福州市九上期末考试题）222.（ 14分）已知抛物线 y = ax bx c（a = 0）经过点A （-2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是 y轴，经过点C （0，2）的直线丨与x轴平行，O为坐标原点， 为抛物线y =ax2 bx c （ a = 0）上的两动点 求抛物线的解析式； 以点P为圆心，PO为半径的圆记为O P， 判断直线丨与O P的位置关系，并证明你的结论；设线段PQ =9，G是PQ的中点，求点 G到直 线丨距离的最小值。(1)(2)(3)P、(第1C28题）A厂、B、QAQ1 2（2012四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直4线y=x+3上，过点F （

6、 2，2）的直线交该抛物线于点M在点N的左边），MA丄x轴于点A，NB丄x轴于点B.（3分）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m的代数式表示），再求 m6、M、 N第22题图两点（点（1）的值；（2）NB ；（3分）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF(3)（3分）若射线NM交x轴于点P，且PA XPB = 100，求点M的坐标.9抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（ 2010黄冈市，25，15分）【分析】.（1）抛物线的顶点为 C （1，1），可设解 析式为y = a （x- 1） 2+1，又因抛物线过原点，可得 a=- 1，所以y=（ x-

7、1） 2+1，化简 得y= x2 + 2x，即可求字母 a，b，c的值；（2）由FM = FP，PM与直线y=5垂直，可45得 5 3 3 得一二一y44413)或(1425=PN可得5 _y4- y ，代入y41-），所以分两种情况，通过计算可得厶4x -1 亠y -1,x2 + 2x，解得 x =13 点 P 坐标为(1 3 ,2 2PFM为正三角形；（3）由PM整理得，t2 _2yt y _ 2 16=0 ,解得（舍去），故存在点 N （ 1,【答案】.3)，使 PM4(1) a = - 1, b= 2,(2) FM = FP , PM与直线i丄代入41，y =_ ,4y = x2 +

8、2x,解得x = 1-二点P坐标为(12ti,-)或(,-),424当点P坐标为（1 一-,1 )时，4MP =MF2L当点P坐标为（1I,1 )时,MP =MF24当点P坐标为（1 1 U,1 )或;(1 -3242（3）存在， PM =PN, 5y=.4两边同时平方得，25 5yy2 =x -12)+16 2存0， y=- x2+ 2x,PF = 1 ,PF = 1 ,1 )时，42 2x -1 亠y -t ,2(yt)为正三角形,为正三角形, PFM为正三角形;23-t 2yt y 23.解得右, t24【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第

9、（1）=2y（舍去），故存在点 N （1 ,-），使PM = PN恒成立.4问较简单，考查大多数学生的能力水 平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列岀方程，从而求岀 点的坐标，在第（3）问中要注意解关于 t的字母系数方程，本题有一定的区分度.【推荐指数】2、2012年山东潍坊市 24.（本题满分II分）解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,解得爲.c 1由 0Fa -2b c田 0省a 2b c .T =c所以y x2 -1.3分4(2) 设M(Xi, yi), N(X2,曲，因为点M、N在抛物线上，1 2 12 2所以 yiXi -1, y2

10、X2 -1,，所以 X2=4(y2+i)；44又 ON2=x22+y22=4(y2+i)+y22=(y2+2)2,所以 ON=2 + y2，又因为 y2亠 1,所以 0N=2+y2. 5 分设ON的中点E,分别过点 N、E向直线li作垂线，垂足为 P、F，OC NP2 y2所以 ON=2EF，即ON的中点到直线li，的距离等于ON长度的一半，所以以ON为直径的圆与li相切.7分过点 M 作 MH 丄 NP 交 NP 于点 H，贝U MN2=MH2+NH2=(X2右)2+山2 yj，、222又 yi=kXi,y2=kX2，所以(讨2 yi) =k (X2 x“ 所以 MN2=(i+k2)(X2

11、X|)2；12c又因为点 M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上，所以kXX2-1,即X2 4kX 44=0 ,所以 x = 一16k_16 = 2k _2 1 k2，所以(X2 Xi)2=i6(i+ k2),2所以 MN2=i6(1+k2)2，二 MN=4(1 + k2) -9 分延长NP交12于点Q，过点M作MS丄12交12于点S,1 2 12 12 2则 MS+NQ=yi+2+y2+2= Xi1X?1 4(XiX? ) 2444又 Xi2+X22=24k2+4(1 + k2)=16k2+8，所以 MS+NQ=4k2+2+2=4(1+ k2)=MN即M、N两点到|2距离之和等于线段 MN的

12、长. ll分说明：本参考答案给岀了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给岀相应分数.3、湖北省黄冈市 2011年中考数学试卷考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1)把点F的坐标代入直线可以确定b的值.(2) 联立直线与抛物线，代入(1)中求岀的b值，利用根与系数的关系可以求岀xi ?x2的 值.2 2 2(3) 确定Mi, Ni的坐标，利用两点间的距离公式，分别求岀MiF, NiF , M iNi ,然后 用勾股定理判断三角形的形状.(4) 根据题意可知 y= - 1总与该圆相切.解答：解：(1 )直线 y=kx+b 过点 F (0, 1), b=1y 二 kx 1 xxX

13、= X显然和是方程组12的两组解，解方程组消元得.y=yiy = y2y xL 4i 2-x -kx-i=0，依据 根与系数关系”得XiX2=-44厶MiFNi是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1, 2的横坐标为x2，设MtNt交y轴于Ft，则F1m 1?F1N1 =xi?X2=4，而 FFi=2，所以 FiMi?FiNi=FiF2，另有/ MiFiF= / FFiNi=90 易证Rt M iFFi s Rt NiFFi，得/ MiFFi = / FNiFi,故/ MiFNi= / MiFFi + / FiFNi= / FNiFi +/ FiFNi=90 所以 MiFN

14、i是直角三角形.存在，该直线为 y= 1.理由如下:直线y= i即为直线MiNi.m2如图，设N点横坐标为 m,则N点纵坐标为?第22题解答用图切.NNi=1-m2，计算知点评：本题考查的是二次函数的综合题，(i)由点F的坐标求岀(2) 结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求岀代数式的值.(3) 用两点间的距离公式，判断三角形的形状(4) 根据点与圆的位置判断直线与圆的位置.4、2010年南通市中考试题(五中月考)22 .(本小题满分 i4分)(i)因为当x=3和x= 3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b的值.b=0.设直线AB的解析式为y=kx+b，把 A （ 4，3）、B （

15、2，0）代入到 y = ax2+ bx + c，得16a +c = 3,4a + c = 0._丄a ,解得 4c - -i.这条抛物线的解析式为y = - x2-i4设直线AB的解析式为y=kx+b，把A （- 4, 3）、B （ 2, 0）代入到y=kx+b，得4k +b=3,、2k +b=0.解得kb M这条直线的解析式为1y= x+1.2（2）依题意，OA=4 =5.即O A的半径为5.而圆心到直线l的距离为3+2=5.即圆心到直线l的距离=O A的半径，直线l 与O A相切.1 33（3）由题意，把 x=-1 代入 y=-x+1，得 y=-，即 D（ -1，-）.2 22由（2）中点

16、A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点 A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH丄直线丨于H，交抛物线于点 P,此时易得3 17DH是D点到丨最短距离，点P坐标（-1，-一）此时四边形 PDOC为梯形，面积为.4 8略解过程如下：（以下过程是：证明当点D P、H三点共线时， PDO的周长最小）如图1,过点P作PH丄丨，垂足为H,延长HP交x轴于点G， 设 P ( m,n)贝U y-m2 _1，4OP2=OG2 GP22 +/ 1 2 =m (_ m-1)2 =:(-m21)2，44OP =1 2 m14PH =yP -1yH :2m 1 -( -2):1 2 m1

17、 OP=PH44要使 PDO的周长最小，因为 OD是定值，所以只要 OP+PD最小，/ OP=PH只要PH+PD最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小，因此，当点D、P、H三点共线时， PDO的周长最小。5、（ 2011-2012福州市九上期末考试题）22.解：（1）v抛物线 y =ax2 bx c的对称轴是y轴,B(0,1)两点,.抛物线 y =ax2 - bx - c 经过点 A(_2,0)、1c =1,a,3分4所求抛物线的解析式12丄彳八y x 14分41 2(2)设点P坐标为(p , p - 1),4如图，过点P

18、作PH _1，垂足为H , PH =2 - (-1 p21)=1 p2 1 , -6OP442 1 2 2 1 2p (- p 1)= p 1 ,一844- OP 二 PH .直线I与以点p为圆心，PO长为半径的圆相切9分(3)如图，分别过点P、Q、G作l的垂线，垂足分别是 D、E、F.连接EG并延长交DP的延长线于点K , G是PQ的中点,易证得 EQG = KPG , EQ =PK , 11分1 2由(2)知抛物线yx1上任意一点到原点 O的距4离等于该点到直线l : y = 2的距离，即 EQ =0Q, DP =0P , 12分111二 FG DK (DP PK) (DP EQ)2221 (OP OQ) , -13 分2只有当点P、Q、O三点共线时，线段 PQ的中点G到直线I的距离GF最小./ PQ =9, GF 4.5，即点G到直线I距离的最小值是4.5.14分(若用梯形中位线定理求解扣1分)6、( 2012 四川资阳 9 分)【答案】 解：(1 ) y=1x2+x+m=*(x+2 $ + (m1 ),顶点坐标为(2 , m -1 )。丁顶点在直线 y=x+3 上, 2+3= m 1，解得 m=2 (2