牛吃草公式及倍数知识

1、典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需 的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天 在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 解决牛吃草问题常用到四个基本公式， 分别是：设定一头牛一天吃草量为“ 1”公式1.草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数）十（吃的较多天数一吃的较少天数）；公式2.原有草量=牛头数X吃的天数-草的生长速度X吃的天数；公式3.吃的天数=原有草量十（牛头数-草的生长速度）；公式4.牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在

2、吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变 化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长， 所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本 公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天 新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草 地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1. （牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数）*（吃的较多的天

3、数 -吃的较少的天数） =草地每天新长草的量2. 牛的头数X吃草天数-每天新长量X吃草天数=草地原有的草。解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。任意两个奇数的平方差是 8的倍数证明：设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n N)(2m+1)A2-(2 n+12=(2m+1+2n+1)*(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n)当m,n都是奇数或都是偶数时，m-n是偶数，被2整除当m,n 奇一偶时，m+n+1是偶数，被2整除所以(m+n+1)(m-n)是2的倍数则4(m+n+1)(m

4、-n) 定是8的倍数2 的倍数尾数是偶数3 的倍数数字和为 3 倍数4 的倍数末两位是 4 的倍数5 的倍数尾数是 0 或者 5 6 的倍数满足 2， 37 的倍数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除8 的倍数末三位是 8 的倍数9 的倍数数字和等于 911 的倍数奇数位数字和与偶数位数字和的差为 11 倍数（1）1 与 0 的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数 a,总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a 0,a为整数，则a|0.（ 2）若一个整数的末位是 0、2、4、6或 8,则这个数能被 2整除。（3）若一个整数的

5、数字和能被 3整除，则这个整数能被 3 整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4整除。（ 5）若一个整数的末位是 0或 5，则这个数能被 5整除。（6）若一个整数能被 2和 3 整除，则这个数能被 6 整除。（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是 7的倍 数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继续上述截 尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133是否 7的倍数的 过程如下：13-3X2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9X2

6、= 595，59 5X2 = 49,所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被 8 整除,则这个数能被 8 整除。（ 9）若一个整数的数字和能被 9整除，则这个整数能被 9整除。（ 1 0）若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除，则这个数能被 11 整除。 11 的倍数检验法也可用上述检查 7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2 而是 1 ！（ 1 2）若一个整数能被 3和 4整除，则这个数能被 12整除。（13） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是 13的

7、倍数，则原数能被 13整除。如果差太大或心算不易看出是否 1 3的倍数，就需要继续上述 截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。（14） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是 17的 倍数，则原数能被 17整除。如果差太大或心算不易看出是否 17的倍数，就需要继续上述 截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。（15） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是 19的 倍数，则原数能被 19整除。如果差太大或心算不易看出是否 1 9的倍数，就需要继续上述 截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。16）若一个整数的末三位与 3倍的前面的隔出数的差能被 17整除，则