立体几何证明及体积计算

1、实用标准文案立体几何常见证明方法与体积计算2016.3.22 整理张振荣1、线线平行 利用相似三角形或平行四边形 利用公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行a 线面平行线线平行a即 aa/lI l 面面平行线线平行/即a a/ bb 垂直于同一平面的两条直线平行a/b2、线线垂直文档 两条直线所成角为 90 线面垂直线线垂直垂线定理:ABBC lAC lAB垂线逆定理：BC lAC l两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。3、线面平行 定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行； 线线平行线面平行若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。

2、a/ b即baa面面平行线面平行若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。/即aa/4、线面垂直线线垂直 线面垂直若一条直线垂直平面内两条相交.直线，则这条直线垂直这个平面。ab, ac即 b , cab c O面面垂直 线面垂直两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另个平面。两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。/即l两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。a/b即ba5、面面平行 线面平行 面面平行若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。a/ , b/

3、即 a ,b/平行于同一平面的两个平面平行a b O/即/垂直于同一条直线的两个平面平行l即/l6、面面垂直90 ；练习:若b ,b，则；若c是b在内的射影,b.1、设a,b,c是空间三条不同的直线，是空间三个不同的平面，给出下列四个命题:若a ,b，则 P ;其中正确的个数是5.已知直线m、n与平面，下列命题正确的是A. m ，n 且/，则m/nB.,n/m, n m 且，则n,n3.已知m , n为两条不同的直线,为两个不同的平面，则下列命题中正确的是)则m n，则m n)A . m / /n, mB./, m,nm/ nC. m , m n nD. m ,n/(4) 一个正方体的所有顶点

4、都在同一球面上，若球的体积是,m/, n /4、n,则正方体的表面积是3(A) 8(B) 6(C) 4(D) 35 .已知直线m,n和平面满足mn, m a,，则()A. nB.n / ,或 nC.nD.n ，或 n6 . 1.(2009年广东卷文)给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直; 垂直于同一直线的两条直线相互平行; 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是A .和B.和C.和D .和7 .设，是两个不同的平面, l是一条直线，以下

5、命题正确的是(A 若丨 ，则IC 若丨 ,/ / ，则丨B 若 I / ,/ ，则 ID 若I/ ,，则丨5.三视图侧视与正视高相等正视与俯视长相等侧视与俯视宽相等1 .如图，三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱AA* 底面ABC，其正(主)视图是边长（ ）丄Ij正(主J挽囲2.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸, 计算这个几何体的表面积是 .正视图俯视图正视图4 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是(A) 112( B) 804-俯视图(C) 72(D) 64立体几何证明1、(将线面平行转变为线线

6、平行)：如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD中，AB AC , PA 平面ABCD，且PA AB，点E是PD的中点.(n)求证：PB/平面AEC ；5、(将面面垂直转变为线面垂直)如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PD 底面ABCD，点E在棱PB(I)求证：平面AEC 平面 PDB ；(C9、如图，在长方体 ABCD AiB1C1 Di 中，AAi AD a， AB 2a， E、F 分别为 CQi、Ai Di 的中点.(I)求证：DE 平面BCE ;(n)求证：AF平面BDE .10、如图所示，四棱锥 P-ABCD底面是直角梯形， BA AD,CD AD,CD 2AB,PA

7、 底面ABCD , E为PC的中点。PA = AD = AB = 1。P（1）证明：EB P平面 PAD ;（2）证明：BE 平面PDC;A（3）求三棱锥B-PDC的体积V。B实用标准文案11如图所示，在棱长为 2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.(I)求证：EF / 平面 ABC1D1 ；(H)求证：EF B1C ;(川)求三棱锥 Vb EFC的体积.CD=2AB ,CB12如图，四棱锥 P ABCD中，PA 平面ABCD，底面 ABCD是直角梯形， AB丄AD , CD丄AD ,E为PC中点.文档实用标准文案（I）求证：平面 PDC 平面PAD;（II）

8、求证：BE/ 平面 PAD .立体几何大题中有关体积的求法角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法1 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为2. （2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（练习文档3个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为与这个球的体积之比为4. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积、转换法当所给几何体的体

9、积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积.5例 在边长为 a的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M, N,1AB, A1D1, AA上的点，且满足 AM AB , A1N 2ND1 , AP2P分别是棱3八-A|A （如4图1），试求三棱锥 A1 MNP的体积.6练习（2013年高考江西卷（文）如图 直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中,AB/CD,AD 丄 AB,AB=2,AD= 、轍,AA1=3,E 为 CD 上一点，DE=1,EC=3. 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离

10、三、割补法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经 常要用到分割法.7例已知三棱锥P ABC，其中PA 4,PB PC 2,APB APCBPC 60求：三棱锥P ABC的体积。C实用标准文案i文档8练习如图2，在三棱柱ABC分，求这两部分的体积之比A BiCi 中，E， F分别为AB, AC的中点，平面EBiCiF将三棱柱分成两部图29练习。如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分,已知 AB 4,BC 3,AE 5, BF 8, CG 12， 求几何体ABCD EFGH的体积。10四面体S ABC的三组对棱分别相等，且依次为 求四面体S

11、 ABC的体积。2 5,13,5，巩固练习11.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面为直角梯形，AD/BC, BAD 90 , PA垂直于底面 ABCD ,PA AD AB 2BC 2 ,M ,N 分别为 PC , PB 的中点。求四棱锥P ABCD的体积V ； (2)求截面ADMN的面积。12.AB如图，在直三棱柱5 , AA1 = 4，点 求多面体ADCAi B1C1的体积BCDABC A1B1C1 中，AC = 3 , BCD是AB的中点13.如图3，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ABC 600，其侧面展开图是边长为 8的正方形。E、F分别是侧棱AA、CC1上

12、的动点，AE CF 8 .问多面体AE BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不 是，求V的取值范围.D114.如图，已知 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1 , AB 丄平面 BCD , ADB 60 , E、F 分别 是AC、AD上的动点，且生红 (01).AC AD(1) 求证：不论 为何值，总有EF丄平面ABC ；1(2) 若 -，求三棱锥A BEF的体积.实用标准文案文档15.如图，已知ABCD A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,试求四棱锥P A1B1C1D1体积的最大值；AD1A 60，AD1 4，点P是AD1上的动点.VF ABCD , VF CBE

13、 , 求Vf ABCD ： VF CBE -16.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB/EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且 AB 2 , AD EF 1.设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为专题一：立体几何大题中有关体积的求法1-4略 5 解:Vai MNP1 2 31 3 a a aa 2 3 42411 11 1VpN 3SEh 3 hAMTNP 3 2（2）V AAi丄平面A -I f 1C 1 得AAq是三複幣尺-細“匚*!的高线人三鰻核切動的鮎则电代AAj KS盘iG二ftR-tAA1D1C1 中，1C1=站。1=十渥同1 里可得

14、eg二Jeu：亠匚0二鈿f二、7解：作BC的中点D，连接PD、AD，过P作PH AD ,垂足H易证PH即为三棱锥P ABC的高,由棱锥体积公式 V1ABC 3 S ABC PH丄等iAACi的庫边上的中娃等于打3返）。-1厉芝卩亍 可得仏如氏4R役点巧到平面E 1的距离為d则三穩链E 1-瓦恒活的体积为丁吕汉EC x d= JTd -即点州到平面EAiS的拒韶芮即得三棱锥P ABC的体积Vp ABC8设棱柱的底面积为 S,高为h，其体积V Sh4丄十1SS由于 VAEF A1B1C1hS -342则剩余不规则几何体的体积为V则三角形AEF的面积为1S .所以两部分的体积之比为Vaef a1b1

15、Ci : V 7 : 5 .图29首先通过梯形 ACGE,BFHD的中位线重合，我们可以求得DH9,分别延长 AE,BF,CG,DH 到 A,BC,D,使得 AA BBCCDD17,则我们可得故长方体ABCD ABCD的体积是几何EA 12,FB9,GC5,HD 8体 ABCD EFGH1故 Vabcd efgh 2vABCD ABCD134217 10210 把四面体S ABC补形成一个长方体ADBE FSGC,三度分别是 2,3,4 则Vs abc Vadbe fsgc啦a fsc 2 3 4 411（1）：由AD = AB = 23C=2 -淳底面貞甬梯彫筋匚D的面池的二倍。Sh,127

16、5V VAEF A1B1C1Sh 12 Sh 12Sh，1由氏丄底3ABCD 1 四轅锥的高h=P2 j所以四gP-ABCD的律砂討吕心垃）证明；因为N是匹的中点，FA=FE ：所以側丄応分田FA丄底 ABCD j jPA 丄 ADW分）5ZBAD=S0s，圍BA丄AD -我D丄平面PAB*所以AD丄PE，（呂分）-PBX 平画 RD MN，丄DM（10分）（3 ）由恥N分别芮FG FE的中点，fflMN/Z BC 且IN=BC=2 2X/D ff BG I 故B （2）得血D丄平面FAE5UM匸平面MA 故ADXAJf*四边AD O是盲角梯形！SR-tPAD中，PB二尸,二坊基2也，AN=P

17、B=j2*15J5人截面JW师的面S=- （MN4AD ）天加匸牛.（ 14 ）斂 （1 ）证明：自三複柱人肚-帕內亡们边长AC-3 BC=4 - AB=5 -VC2+BC=AE2二 AG 丄 FC，5ac丄（：, cnsc-cAC丄平面FCS 5MC_L 眄 rc-i5lC1 = 5C-Ji51C1-51-3CZ*=Jx3x4x4-|x4xlxlx3x4=2Q设 ACCIBLQ133) SftAE-ECFE!是四複雜AEFC和三樓锥眄-肛C的组台段田题意AB = 2町1三複链BtABC的鬲，肌是四橈锥州-血EFC的高, -r sAABCxSB I +|xSJ45Cx=y是章数-(12分)14

18、门)证明；因为施丄平面肚D，所以AEXCD：又在ABCD中，Z0CD=9O -所以B匚丄CD，又直BQBOB，所以，CD丄平面灯GKSAACDr E、F另别是虹AD上的动点I且务二务(C1 )所以，不论粒対何值，总有EF丄平面ABC：（2）鰭！ SABCD 中，ZBCD=90* ，BC=CD=1 .所及，BD=?熹AE丄平面吕匚D，所以，肛丄BS 应丄RD，KSR1 AABC中，ADB=eO *p-23=BDt an6 0 =Jfi由由畏辑的任世毬=，由底荷站珀门珀的面粗固進，I川出桂诲卩-姑州口甘卩書里旨土值町：凹桂诲P-AeiCWi性粗创至立值茁言P是D 匕罚兰臣可骨当P与A更宮寸炭足孕件代人硕庙的朱狠it貳，团可下出矜栗解：(1. ) VADCD-AlBlGlDi是长方fr-M面AA1D1丄底面对射门巧二四核淮P-出叭斜山的寫为宜p到甲面直*心“