2003年考研数学二试题及答案

1、 年考研数学二试题及答案2003 超级狩猎者 年考研数学（二）真题评注2003满分小题，每小题4分，填一、 空题（本题共6 24分. 把答案填在题中横线上）1是等价无穷 时，与（1） 若 21)?(1?axxx?0sinx4. a= 小，则 所确定，由方程y=f(x)） 设函数（24yx?xy?2ln程切线方y=f(x)在点(1,1)处的则曲线. 是 . 项的系数是 （3） 的麦克劳林公式中xn2?yx，则 设曲线的极坐标方程为（4）?a?)(ea?0?的一段弧与极轴所0变到该曲线上相应于从?2. 围成的图形的面积为 若的转置. 3维列向量，是5（） 设为T?111? ，则?T?11?1?11

2、?1?= . T?（6） 设三阶方阵A,B满足，其2E?A?BAB?101?，则. 中E为三阶单位矩阵，若 ?02?A0 ?B?1?20? 2 超级狩猎者 分，满分4二、选择题（本题共6小题，每小题只有一项符合每小题给出的四个选项中，24分. 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号 内）且，负数列1）设均为非（c,ab,nnn 则必有,?limlima?0climb?1?nnn?nn?n?(B) (A) 对任意n成立. b?ann. 成立对任意nc?bnn(D) 极限不存在. (C) climann?n? 极限不存在. cblimnn?n?n3, 则极限）设等于 （2n1n? dxx1?a?

3、xnalim1n? nn20?n3 (A) . (B) 1()?1?e23. 1?11(?e)?23 (D) (C) . 1?1?(1e)23. 1)?(1?e2xxy是微分方程）已知（3的解，?y()?y xyxlnx则 的表达式为?() y2y ）（ A (B) .? 2x2y . 2x3 超级狩猎者 2x (D) (C) .? 2y2x . 2y内连续，其导函数在4）设函数f(x)（)?,?( 有的图形如图所示，则f(x) 一个极小值点和两个极大值点. (A) (B) 两个极小值点和一个极大值点. . 两个极小值点和两个极大值点(C) . 和个极小值点一个极大值点(D) 三 y O x

4、?xxtan, 则）设 ,（5? dx?I?dxI44 21xtanx00 (A) (B) .I1I?21 .I?1I?214 超级狩猎者 (C) (D) .I?I1?12 .1?II?12（6）设向量组I：可由向量组II：?,?2r1线性表示，则 ?,?,s12 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) s?r当时，向量组II必线性相关. sr? (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) sr?当时，向量组I必线性相关. s?r （本题满分、10分）三 ?3)1ln(?ax,?,0x? x?xarcsin? 设函数 ,6?f(x),0x?2ax1?ax?xe?,?0x,? x?sinx

5、 4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分） 2?,2tx?1?所确y=y(x)设函数由参数方程 )?1(tue?tln21?duy? u?15 超级狩猎者 2yd 定，求.2dx9x? 、（本题满分9分）五 xarctanxe 计算不定积分?.dx32)x1?(2 分）、（本题满分12六 内具有二阶导数，在 设函数y=y(x) )?,?(. 是y=y(x)的反函数且?)(yx?yx?0,程微分方x=x(y)所满足的(1) 试将2dxxd y=y(x)满足的微分方程；变换为30)()?(y?sinx 2dydy件条满足初始方求变

6、换后的微分程(2) 3. 的解?y)?0,)(0y(0 2 分）、（本题满分12七 . 讨论曲线与的交点个数 4x?4x?lnyklnx?y4 12分）八 、（本题满分点过的曲线y=f(x)位 设于第一象限 12轴的交点y其上任一点P(x,y)处的法线与，)(, 22. x轴平分被为Q，且线段PQ 的方程；y=f(x) 求曲线 (1)试用，在上的弧长为 (2)已知曲线y=sinx?0,ls. 的弧长表示曲线y=f(x)l 6 超级狩猎者 九 、（本题满分10分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线?(y)(y?0)x绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当

7、以的速率向容器内注入3min/3m 液体时，的速率均匀扩大（假设注液面的面积将以2?min/m入液体前， . 容器内无液体）之间与写出根据t时刻液面的面积，t (1)?)y( 的关系式；. 求曲线的方程(2)?)y?x(表示时间单(注：mmin表示长度单位米，.) 位分 分）（本题满分 十、10上连续，在开区间设函数f(x)在闭区间a,bf(2x?a)存在，证(a,b)内可导，且 若极限?lim.?x(f)0 a?x?a?x 明：f(x)0; (1)在(a,b)内 在 (2)，使内存在点(a,b)?7 超级狩猎者 22?2ba?； ? b?)f(?dx)f(xa(3) 在(a,b) 内存在与(

8、2)中相异的点，使 ?2 b22?.)dx()(bf?a()?fx ?a?a十 一、（本题满分10分） 220?相似于对角阵，试确定常若矩阵?aA?28?600?数a的值；并求可逆矩阵P使 1?.?APP? 十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， :l03c?ax?2by?1， :l0?3?a2bx?cy2. :l03?cx2ay?b?3试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 .0?c?ba? 8 超级狩猎者 1. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当12 1(?ax)4，反过来求a. 于已知注意在计算过程1?lim xsinx0?x中应尽可能地应用无穷小量的等价代换

9、进行化简. 11，当时，. 【详解】 222 ax?)?(1?ax1xxsinx0?x4 4112?ax2 )ax1(1? 4，故于是，根据题设有 41a?lim?lim? 24xsinxx0xx0?a=-4. 完全类似例题【评注】本题属常规题型， . 见数学复习指南P.38 1.62【例】处的导数，然后2. (1,1)先求出在点 【分析】. 利用点斜式写出切线方程即可9 超级狩猎者 【详解】 等式两边直接对x求导，4y?lnxxy?2得 2， 3?y?yxy4?y? x将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)?.?1(1)y 处的切线方程为 ，即 x?1?1?(x?)y?0.?y1【评

10、注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见数学复习指南P.55 【例2.13】和【例2.14】. 3. 【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的)n(n)(0fx)(n(0f) 系数是. !n，【详解】 因为 ，n)x2xxx(?)2(ln)?,yy2?2ln2y2?2(ln 于是有，故麦克劳林公式中 项的系数是 n)(nn)?0()(lny2x(n)n)2y0)(ln( .? !nn!【评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. 4. 【分析】 利用极坐标下的面积计算公式1即可. ?2?d()?S 2? 10

11、 超级狩猎者 【详解】 所求面积为 11 ?22?a22?d(?)deS 220011= . ?2?a42a(ee?1) 44aa0【评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见数学复习指南P.200 【例7.38】. 5. 【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1，T?必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成. 1?111?=【详解】 ，知 由?T?1?1?1?1111?1111?1?，于是 ?1?1?1? ?T?11?3.?11?1?【评注】 一般地，若n阶矩阵A的秩为1

12、，a?1?a 则必有?2.bA?bbn12?a?n完全类似例题见数学复习指南P.389 【例11 超级狩猎者 . 13】和考研数学大串讲P.162 【例2.11，再取先化简分解出矩阵B【分析】 6. . 行列式即可 由知，【详解】 2EB?A?B?A ， ，即 2E?A(A?E)BEA?E)B?(A?E)(A A+E可逆，于是有 易知矩阵(A?E)B?E.， 再两边取行列式，得 1?EBA 1001 因为 . , 所以 20EA?0?1?B 2020?【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算. 完全类似例题见考研数学大串讲P.160 【例11】.

13、 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 7. 【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在calim?0?nn?n?也可能不存在，举反例说明即可；极限属climb1?nn?n型，必为无穷大量，即不存在. 12 超级狩猎者 2，例法，取【详解】 用举反1b?a nnn1，因此正，则可立即排除(A),(B),(C),2,?c?n(n?1 n2(D). 确选项为对于不便直接证明的问题，经常【评注】 完全可考虑用反例，通过排除法找到正确

14、选项. P.179. 类似方法见数学最后冲刺先用换元法计算积分，再求极【分析】 8. . 限 因为 【详解】 nn33 =n1nnn? )dxx1?1?a?xxd(1?x1n?n1 nn220033n1n1，= nn ?1)(1?x1)?(?221?n 1n?nn033n 可见 = 1?n.1)?1?(1?e(lim1?)nalim22 n1?n?n?n【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法. x代入微分方程，再令 将的【分析】9. ?y xln中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出?)(

15、u13 超级狩猎者 x. ?)( yxxy代入微分方程 【详解】将，得?)?y(?y yxxln111lnx?. ，即 ?(lnx)?(ln?x 22xlnxxlnln2y1x(A). =应选 令 lnx=u，有 ，故?.?)(?)?(u 22yxu本题巧妙地将微分方程的解与求【评注】 但问题函数关系结合起来，具有一定的综合性，只要仔细计算应该可以找到正确本身并不复杂，. 选项答案与极值点个数有关，而 10. 【分析】可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，是极大值点还是极小值可进一步由取极个，共4. 值的第一或第二充分条件判定根据导函数的图形可知，一阶 【详解】则是导数不存在 x=0 导数

16、为零的点有3个，而三个一阶导数为零的点左右两侧导数符. 的点号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个右侧一阶左侧一阶导数为正，在x=0极大值点；共有两为极大值点，故f(x)导数为负，可见x=0(C). 个极小值点和两个极大值点，应选年数学2001本题属新题型，【评注】 类似考题14 超级狩猎者 一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题. 完全类?)(xf似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 .11. 【分析】 直接计算是困难的，可应I,I12用不等式tanxx, x0. 【详解】 因为当 x0 时，有tanxx，于tanxx，从而 有， 是11? xxta

17、n?xtanx ， ? dx?dxI?I44 21tanx4x400?，可排除(A),(C),(D)，故应选可见有 且I?I?I 2124(B). 【评注】 本题没有必要去证明，因为用1I?1排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定 . 为正确选项12. 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可?,?r21由向量组II：线性表示，则当时，向?,?s?rs12量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向?,?,?,2s1r12量组I线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). s?r本题也可通过举反例用排除法找到答案.

18、 15 超级狩猎者 001?，用排除法：如【详解】 ?,?211100?；除(A)排线则性无关，但?,?0?021112101?线线性表示，但，则可由?,?,?2111112000?011?，线排除(B)；可由性无关，?,?,?211211100?故正确选项为(C). 性表示，但线性无关，排除?1(D). 本题将一已知定理改造成选择题， 【评注】若记如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选11. 项。此定理见数学复习指南P.409 定理 （本题满分10分）三 、 连续， 分段函数在分段点x=013. 【分析】 要求既是左连续又是右连续，即 ).0?f(0?

19、f(00)?f(0)33ax1?ax)ln( 【详解】lim)?lim?00)?limf(xf( xx?arcsinx?arcsinx?0x?x?0x?022ax3ax3 = lim?lim 1?20?0x?x1?1?x?12x1?2ax3 =.6a?lim? 1?0x?2x? 216 超级狩猎者 ax2?ax?xe1 lim)?f(x0?0)?lim(f x?0x?x0sinx 4 axax2ax?1aee?x2?ax =2.?2a4?4lim?4lim 2x2x?0x?x?0. 或令，有 ，得24?6a?2a)f(0?0)?0f(02a?a?1?处连在x=0，即当a=-1时，f(x)f(0

20、(limfx)?6?0x?. 续的f(x)，因而a=-2时，x=0是当)x)?12?f(0flim(0x?. 可去间断点本题为基本题型，考查了极限、【评注】 其中左右极限的计算连续与间断等多个知识点，在计算过程中应尽量利用无穷小量有一定难度，. 的等价代换进行简化完全类似例题见数学题型集粹与练习题考研数学大串讲, P.22 集【例1.38-39】文登数学全真模拟试卷数学23【例】，P.15 . P.3第四题二 本题为参数方程求二阶导数， 14【分析】注意当按参数方程求导的公式进行计算即可. . tx=9 时，可相应地确定参数的取值17 超级狩猎者 t1?2lnet2dye2dx ，【详解】由，

21、?t?4 tln1?2lndt1?2ttdtetdy2edy 得 tln1?2dt,? dx)4t2(1?2lndxt dt21dyydd1?12e= 所以 )(? dx22tt24)2lnt(1?dxdxdt dte = .? 22)4tt1?2ln( t=2, 故及t1得时，由当x=92t?2x?12eyed .? 2222)216)(1?2ln4dxt?(12lnt2?x?9t【评注】完全类似例题见数学复习指南【例考研数学大串讲P.15 P.53 【例2.9】, . 23】，典 被积函数含有根号15. 【分析】2x1?或被积函数含有反三角型地应作代换：x=tant, ，同样可考虑作变换：

22、arctanx=t函数arctanxx=tant. 即 ，则【详解】 设ttanx?tarctanxttanexe =2t?tdtdxsec.tdtesin3322)(1?x)1?tant22 又tt?tcosetdtesin?d = tt?)ecostdte?(cost? ，= ttt?tdte?cos?te?tsinesin18 超级狩猎者 1 故 tt?.?Cesintdt?cose(sint?t) 2xarctan1x1xe 因此 =xarctan?Ce?)(dx 3222x?11?x2)x1(?2xarctane)?1(x = .C?2x?21 【评注】本题也可用分布积分法：xarc

23、tanxxe = xarctan?dedx32x1?2)?x(12arctanxarctanxexe = ?dx?32x1?2)(1?x2arctanx1xe = xarctan?de?22x?11?xarctanxarctanxarctanxxexee， = ?dx?322x1x1?2)x?(12 移项整理得arctanxarctanxxee)(x?1 = ?dx.?C32x?212)(1?x2本题的关键是含有反三角函数，作代换arctanx?t或tant=x, 完全类似例题见数学复习指南P.86【例3.23】以及P.90习题12. dydx比较简单，转化为将16. 【分析】 dydx11d

24、x，关键是应注意： =? dy?dyy dx19 超级狩猎者 2xdddxd1dx =?()?( ?2dyydxdydydy?y1y?. = ? 32?y)yy(. 然后再代入原方程化简即可 知的求导公式【详解】 (1) 由反函数1dx ，于是有? ?ydy2?dxddx1yy?dxd1. =?()?( 32?2?ydydxy)(yydydydy 代入原微分方程得 ?.sinyx?y?) ( *的通解)所对应的齐次方程(2) 方程( * ?0?y?y 为 xx?.CY?Cee?21 ( * )的特解为设方程 ， *x?Bsinycos?Ax11，从而，故代入方程( * )，求得*xy?sin?

25、,A?0B? 22 的通解是?xsin?y?y1 xx?*.e?YyCx?Cesin?y 2123. 由故所求初值问题，得?1?,?C1C?y)0y,0)0(?( 212 的解为20 超级狩猎者 1 x?x.?sinex?ey? 2【评注】 本题的核心是第一步方程变换，完全类似例题见数学复习指南P.53的【例2.8】和P.59的【例2.22】. 17. 【分析】 问题等价于讨论方程有几个不同的实根. 本题相当于40?k?4lnx?4lnxx一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）. 【详解】 设， y 4?k4x?lnx?4lnx?(x) 3x?1?4(lnx

26、) 则有 4-k ?.(x)? x是不难看出，x=1的驻点. ?)x(x 1 O 当时，即单调减少；当x1?)?0(x(x10?x?时，即单调增加，故为函数?(kx)?(1)4?(x)0?(x)的最小值. 当k0时，无实根，即两条?0)?(x曲线无交点； 当 k=4，即4-k=0时，有唯一实根，?0)?(x即两条曲线只有一个交点； 当 k4，即4-k0. (2) 要证的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可. f(2x?a)存 (1) 因为在，故详【解】lim ax?ax? 又，于是f(x)在(a,b)

27、内单调?.f2x?a)?(a)?0flim(0)f?(x?ax?增加，故 f(x)?f(a)?0,x?(a,b).F(x)=,则, (2) 设x2?)b?x?a(dt)t(f?)x(gxa25 超级狩猎者 满足柯西中值定理的条件，故?)x),g)?0(F(gx(x)?f(x 内存在点，使于是在(a,b)?222?F(bb?a)(x?)F(a)， ? abx)a(b)?g(g?x?dttdt?)f(f(f(t)dt)t)aaa22?2?ba. 即 ? b?)f(?dx(x)fa(3) 因，在上应用拉格?aa),0)?f()?f(f)?(f)?f(朗日中值定理，知在内存在一点，使?),(a，从而由

28、(2) 的结论得 ?)?fa(?)(f(22?a2?b， ? b?)?(a)(f?f(x)dxa?2 即有b22?.dx)?(fx()(b?af ?aa【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论： 22?2?ba2 b22?dx)(x()(b?a)?ff? b?a?)?f)(aa?dx)(xfa （ 根据(2) 结?)f?()(?fa) ）论， ?a)(a)?f)(?f()?f可见对f(x)在区间上应用拉格朗日中值定理?,a. 即可 完全类似的例题见数学复习指南P.120【例4.41】 和考研数学大串讲P.54【例18-19】. 21. 【分析】 已知A相似于对角矩阵，应先26 超级狩猎者 求

29、出A的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a. 至于求P，则是常识问题. 【详解】 矩阵A的特征多项式为 ?2?20 2?2)?(?6)(AE?816?2?a ?060 =， 2?)(2(?6 故A的特征值为?.?,2?6321由于A相似于对角矩阵，故对应应有?6?12 两个线性无关的特征向量，即，于是有 .1A)?r(6r3?(6E?A)?2E?4?202?10? 由 ， ?84?A?a00a6E?000000?a=0. 知于是对应于的两个线性无关的特征向?6?21 量可取为10? ， ?2?.0?21?01?当时， ?2?3?4?2021

30、0? ， ?8?40A?001?2E?000080?27 超级狩猎者 ,?02x?x?量征向应于的解方程组特得对21?2?3,?0x?31? ?2?.?3?0?101? 可逆，并有令，则P ?1?2?02P?.APP?010?完全类似的例题见考研数学大 【评注】和文登数学全真模拟18-19P.222【例串讲. 第十二题（几乎完全一致）试卷数学二P.36 三条直线相交于一点，相当 22. 【分析】进而转化为系数矩于对应线性方程组有唯一解，2. 阵与增广矩阵的秩均为 方法一：必要性【详解】 交于一点，则线性方程组设三条直线lll,312,3c2by?ax? ,3a?bx?2cy?,b2cx?ay?3?*) (b2a?阵广矩故一解，系数矩阵与增唯有?cA?b2?ac2?cba2?3?，于是 的秩均为2? a2bA?c?3.0A?b2