2003数学三真题解析汇报

1、 实用文档 年全国硕士研究生入学统一考试2003 数学三试题 把答案填在题中横线上）24分. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分一、1?,0若x?,xcos?)f(x? _. x=0处连续，则的取值范围是 （1）其导函数在设?x,0若x? ?,0?2322bx?3a?xy?b?b_. 可以通过轴相切，则a表示为与x（2）已知曲线,a,x?1若0?dxdy?x)x)g(I?yf(?xx)?g()f(=_. 则表示全平面，3）设a0而D（?，,0其他?DT0a,a)?,?(a,0,0?维向量（4）设n? n阶单位矩阵，矩阵；E为1TT?EB?EA? ， aa=_. B，则其中A的逆矩阵为 4.

2、?X?0Z_. 的相关系数为，则若Y与Z（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, X,X,X?n的指数分布，2X服从参数为（6）设总体?则当的简单随机样本，为来自总体Xn21n1?2XY?_. 时，依概率收敛于 inn1?i每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要24分. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分 求，把所选项前的字母填在题后的括号内）)(xf?)g(x)f0( 1为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数）设f(x)（ xx=0. . (B) 有跳跃间断点(A) 在x=0处左极限不存在x=0. . (D) 有可去间断点(C) 在x=0处右极限不存在),y(x 取得极小值，则

3、下列结论正确的是（2）设可微函数f(x,y)在点00y?y)yf)y?y(x,f(xy. 在处的导数大于零在 (A) 处的导数等于零. （B）0000yy?(x,y)f,f(xy)y?y. . (D) 在处的导数不存在(C) 在处的导数小于零0000 a?aa?annnnn?1,2,?p?q，则下列命题正确的是（， ，3）设nn22?qpa. 与条件收敛，则若(A) 都收敛nnn1?n1?n1?n 实用文档 ?. 与绝对收敛，则(B) 若都收敛qapnnn1?nnn?1?1?. 条件收敛，则与(C) 若敛散性都不定qapnnn1nn?n?11?. 绝对收敛，则若与敛散性都不定(D) qpann

4、n1?1n1n?nbba?baA?b ，则必有A的伴随矩阵的秩为1（4）设三阶矩阵，若?abb?0. 或a+2b(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b?0. 且b且a+2b=0. (D) aa+2b(C) ab?,设）5（? 维向量，下列结论不正确的是均为ns21?k,k,k,?k?k?k则(A) 若对于任意一组不全为零的数，?0都有，s12s12s1s212. 线性无关?k,kk,若(B) ?有都的数，则相关，对于任意一组不全为零线性s12s21?.k0?k?k? s221s1?,(C) ?s. 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s12?,(D) ?. 线性无关的必要条件是其中任

5、意两个向量线性无关s12AA，掷第二次出现正面掷第一次出现正面，（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=21AA ，则事件=正面出现两次=正、反面各出现一次43AA,A,A,A,A. 相互独立. (B) (A) 相互独立312432A,A,AA,AA. 两两独立(C) . (D) 两两独立321423 8分）（本题满分三、 设1111).1,?,(fx)?x ?2x)(1sinx?x1,1. f(x)上连续在使得试补充定义f(1)2 8、四 （本题满分分） 实用文档 22f?f?122?1g(x,y)?fxy,(x?y),求，又，连续偏导数且满足设f(u,v)具有二阶 222?u?v22gg

6、?. 22?x?y五、（本题满分8分） 计算二重积分 22?)2y2?(x? .)?yesin(xI?dxdyD 22?.?y(x,y)x D=其中积分区域六、（本题满分9分） 2n?x?n )x?1(?1)(1?. 的和函数f(x)及其极值求幂级数 n21n?七、（本题满分9分） (?,?)内满足以下条件：F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在 设x?.e?2?g(x)f(x)xx)?ffx()?g(x)g( ，且， f(0)=0, (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分） ?(0,3)，试证必存在（0，3）内可导，且

7、f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.设函数f(x)在0，3上连续，在?)?0f(. 使九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 (a?b)x?ax?ax?ax?0,?n1n31232?x0,?ax?abax?(a?)x?nn322311?0ax,?ax(a?b)x?xa ?n2131n32?0b)x,aaxa?ax?x?(?n231132nn?a,a,a.?0a试讨论 其中?和b满足何种关系时， n21i1?i(1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型 222T， )0(bxxb?222?,f(

8、xxx)X?AXax?x?x?33122311中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值； (2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 实用文档 X的概率密度为设随机变量1?若x?1,8,?f(x)? ?23x3其他;?0,?F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分13分） 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 12?X ，?730.0.?g(u). 的概率密度的概率密度为而Yf(y)，求随机变量U=X+Y 实用文档 2003年考研数学（三）真题解析 一、

9、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 1?若x?0,?,xcosf(x)? ?2. 的取值范围是x=0处连续，则 （1）其导函数在设?x若x?0,?0, ?【分析】 当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. ?x?1时，有 当 【详解】11?若x?0,?2?1?,sincos?xx?(x)f? ?xx若x?0,?0,?(0?f)(x)?0limf?2?，即其导函数在显然当x=0处连续时，有. x?032226bx?3a?y?xba4?b . 可以通过（2）已知曲线与x轴相切，则a表示为 ?0y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处】 曲线在

10、切点的斜率为0，即【分析2b与a的关系纵坐标为零，即可找到. 【详解】 由题设，在切点处有 22?220ax?y3?3 ，有.?ax0又在此点y坐标为0，于是有 32, 0ba?x?x0?30022222246 故 .a?ax)?4?b4?x(3aa?00【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. a,若0?x?1,?2?adxdy?x)x)g(I?yf(?)g(xf(x)? . 而）（3设a0，D表示全平面，则= ?，,0其他? D0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当际上只需在满足此不等式的区域内积分即可

11、. 2?dxdyadxdy)?xf(x)g(yI? =详解【】 D1?1,0?y?x0?x?1x?11222?.?a?xdy?adx?(ax1dx) =0x0【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. T,a?0,0,a)0?(a,?维向量设（4）n?；E为n阶单位矩阵，矩阵 1TT?E?B?A?E， ， a 实用文档 a= -1 . ，则其中A的逆矩阵为B T2T?a?2进行计算并注意利用乘法的阶矩阵，而为数，直接通过为n【分析】 这里EAB?. 结合律即可 详解】 由题设，有【1TT?(E)?)(EAB? a11TTT

12、T?E? = aa11TTTT?)(E? = aa1TTT?a?E?2? = a1T?E?)?(?1?2aE, = a112.?a?1a?,0?1?2a01a2?a?a=-1. 由于A8 时， 易见，当x1时，F(x)=0; 当【详解】,8x?1 对于，有1x?3.1xdt?F(x)? 123t31y?0y?G(y)=1. 时，是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当G(y)=0；当时，G(y)设),1y?0 对于，有 yX)?yPF()G(y?PY? 33 =1)?(y?X?1?y?PXP3?y?1).F(y =0,若y?0,?G(y)?y,若0?y?1, 于是，的分布函数为Y=F(X)

13、?1,若y?1.?【评注】 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 实用文档 当y0时，G(y)=0; y?1时， G(y)=1; 当G(y)?PY?y?PF(X)?y1?y? 时，当 0?1(y)PX?F =?1(y)F?y.F( =十二、（本题满分13分） 12?X X与Y独立，其中，的概率分布为 X设随机变量?7.300.?g(u). 的概率密度，求随机变量U=X+Y而Y的概率密度为f(y)只有两个可能X. 注意【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 的取值，求概率时可用全概率公式进行计算 U=X+Y的分布函数为】 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知【详解?u?PX?YG(u) 2Y?uX?X?10.7PX?0.3PXY?u = 2X?20.7PY?u?Y0.3P?