九年级数学上册二次函数讲义

1、文档 初三数学 二次函数讲义 一、二次函数概念： 2（是常数，）的函数，叫做二次函数。1二次函数的概念：一般地，形如 cbxy?ax?0a?ca，b， 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体0a?c，b实数 2的结构特征： 2. 二次函数c?bxy?ax? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 bc，a，bca二、二次函数的基本形式 2的性质： 1. 二次函数基本形式：axy?a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a? 向上?00， 轴y随

2、时，时，随的增大而增大；yy0x?x?0x 的增大而减小；时，有最小值y0?x0x 0a? 向下? 0，0 轴y随的增大而减小；时，时，随yy0x0?x?x 的增大而增大；时，有最大值y0?x0x 2 的性质：2. cax?y? 上加下减。 的符号 a开口方向 顶点坐标对称轴 性质 0?a 向上?c，0 轴y随的增大而增大；时，时，随yy0x?0?xx 的增大而减小；时，有最小值y0x?cx 0a? 向下?c，0 y 轴yy随时，时，随的增大而减小；0?0xxxy 有最大值时，的增大而增大；0?xcx 2? 3. 的性质：hy?a?x 左加右减。的符号 a开口方向 顶点坐标对称轴 性质 0a?

3、向上 ?0h， X=h 随的增大而增大；时，时，随yyhx?hx?x 的增大而减小；时，有最小值yhx?0x 0a? 向下?0，h X=h yy随时，时，随的增大而减小；h?xh?xxy 的增大而增大；时，有最大值hx?0x 文档 2? 4. 的性质：k?y?ahx的符号 a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0?a向上 ? kh，X=h 随的增大而增大；时，时，随yyhxx?h?x 有最小值的增大而减小；时，yhx?kx 0a? 向下? k，hX=h 随的增大而减小；时，时，随yyhx?h?xx 时，有最大值的增大而增大；yh?xkx 三、二次函数图象的平移 平移步骤： 1. 2?，确定其顶点

4、坐标； 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式kx?h?y?a，kh?2的形状不变，将其顶点平移到保持抛物线处，具体平移方法如下： ，hkaxy?个单位|k|【或向下(k0) 22ky=axy=ax+】0)【或左向右】h0)【或左(向右(】0)【或左个单位 |k|平移个单位|k|平移个单位平移|k|】k0)【或下(个单位|k|平移2)x-hy=a(2+k)y=a(x-h个单位|k|(k0) 2. 平移规律 值正上移，负下移” 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；kh 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：22cbx?ybx?c?ax?y?ax?my 沿变成轴平移:向上（下）平移个单位，2

5、2m?bx?y?axc?y?ax?bx?c?m ）（或22c?y?ax?bxy?ax?bx?cm变成沿轴平移：向左（右）平移个单位，22c)?x?xm)m?b(?(x?m)?b(x?m)cy?a(y?a （或） 2? 与四、二次函数的比较2k?x?y?ahc?ax?bx?y2?2k?yahx是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前与从解析式上看，c?y?axbx222bb4ac?bb4ac?a?xy ，其中者，即?h?，k? a2a4a42a? 文档 五、二次函数图象的画法 2cax?bxy?，22确定其开口方向、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式kh)?y?a(x?yax?bx?

6、c对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴y?的交点，、与轴的交点、以及（若与轴关于对称轴对称的点02h，c，x，0cx，0，c0xx21没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. yx 六、二次函数的性质 2c?bxy?ax?2?b4ac?bb 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 ，?0?a?x? 2a4a2a?bbb时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小当yyyxx?x?x?x 2a2a2a2b?4ac值 4a2?bac?b4bb 2. 当时

7、，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为时，随当y，?0a?x?x? 2a4a2a2a?2bbb4ac?的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值 yyxx?xx? 4a2a2a 七、二次函数解析式的表示方法 2（，为常数，）1. 一般式：； c?bxy?ax0a?bca2（，为常数，）2. 顶点式：； k?)y?a(x?h0?akha3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 0a?xxx)(x?x?y?a(xx2112注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式有抛物线与轴有交点

8、，即0ac?4bx的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2中，作为二次项系数，显然二次函数 cy?ax?bx0a?a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 0a?aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大 0?aaa a的大小决定开口的大小 的正负决定开口方向，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，aa2. 一次项系数 b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 ba 在的前提下， 0a?by轴左侧；，即抛物线的对称轴在时，当 0b?0? 2a 文档 b，即抛物线的对称轴就是轴；当

9、时， y0?b0? 2ab，即抛物线对称轴在轴的右侧当时， y0?b0? 2a 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 0a?b，即抛物线的对称轴在轴右侧；时， 当y0b?0? 2ab，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，y0b?0? 2ab，即抛物线对称轴在轴的左侧时，当 y0b?0? 2a总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置 bab?x?yyab?ab0ab?0，概括的说就是，在轴的右侧则的符号的判定：对称轴在轴左边则 2a“左同右异” 总结： 3. 常数项 c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； yy0c?x 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与

10、轴交点的纵坐标为； yy0?c0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 yy0c?x 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 yc 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 cb，a， 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； x 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常

11、选用顶点式4. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22；轴对称后，得到的解析式是 关于c?bx?y?ax?y?axbx?cx22?k?x?h?a?x?h?ky?ay 轴对称后，得到的解析式是关于；xy轴对称关于 2. 22y?bx?cbx?caxy?yax?；轴对称后，得到的解析式是 关于22?kx?h?yahay?x?ky 轴对称后，得到的解析式是；关于 3. 关于原点对称 文档 22；关于原点对称后，得到的解析式是 c?cbxy?y?axax?bx?22? ；关于原点对称后，得到的解析式是kx?a?ahx?h?k?y?y

12、 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 4. 2b22 ； 关于顶点对称后，得到的解析式是c?ax?bxy?c?bx?y?ax a222? 关于顶点对称后，得到的解析式是k?x?h?kay?y?ahx?关于点 5. 对称 mn，22? 关于点对称后，得到的解析式是n，mk?2?y?aax?hn?kx?h?2my? 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求a 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再

13、写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： x22当函数值时的特殊情况一元二次方程. 是二次函数c?bx?y?ax0c?ax?bx?0?y图象与轴的交点个数： x?2x00，BAx，轴交于两点是一元二次，其中的 当时，图象与0ac?4?bxxx)，x(x?122112 2acb4?2 ?xx?AB?. 方程的两根这两点间的距离0?c0?aax?bx12a 当时，图象与轴只有一个交点； 0?x 当时，图象与轴没有交点. 0?x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 0a?0?y1xx 当时，图象落在轴的下方，无论

14、为任何实数，都有 0?a0y?2xx2的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 2. 抛物线yc?bx?y?ax)c(03. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 2?bx?axcy中，的符号，或由二次函数中，根据图象的位置判断二次函数 ，的符号bbcaca判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一x个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 2?bx?c(a?ax0)本身就是所含字母的二次函数；与二次函数

15、有关的还有二次三项式，二次三项式 x 文档 下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 0?a0? 抛物线与轴有x 两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根0? 轴只抛物线与x有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根0? 轴无抛物线与x 交点二次三项式的值恒为正 . 一元二次方程无实数根 二次函数图像参考： 2 y=3(x+4)2y=2x2y=3x 2y=3(x-2) 2y=x22y=2xy=2(x-4)2xy=22-3y=2(x-4)2+2y=2x 2xy=2 2-4y=2x2xy= -22y= -x2y=-2(

16、x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=-2x 十一、函数的应用刹车距离?何时获得最大利润 二次函数应用?最大面积是多少? 文档 二次函数考查重点与常见题型 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 1222?2)x?m?my?(mmx 的值是 已知以为自变量的二次函数则的图像经过原点，综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查2 两个函数的图像，试题类型为选择题，如：21bx?y?kx?by?kx? ） 如图，如果函数三象限内，那么函数的图像大致是（的图像在第一、二、 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1

17、 x A B C D 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选 3 拔性的综合题，如：5?x 两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。(0,3)，(4,6)已知一条抛物线经过3 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：4 32 轴交点的纵坐标是3，与y）与x轴的两个交点的横坐标是1、已知抛物线a（0c?yax?bx2. ）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标（2）确定抛物线的解析式；（1 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 5 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号c)b,M(2 ）二次

18、函数1 （1）的图像如图1，则点在（ 例c?bxy?ax?a C第三象限 D第四象限 A第一象限 B第二象限2x=1、b同号；当）的图象如图2所示，?则下列结论：a0（ 2）已知二次函数y=ax+bx+c（a ）时，x的值只能取0.其中正确的个数是（y=-2和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 个个 D4个A1个 B2 C3 (1) (2) 之间的关系，是解决问题的关键b，ca【点评】弄清抛物线的位置与系数，.2例2轴的正半轴的交y，且1xO；2a+cO；的下方，点在点(O2)下列结论：ab0；4a+cO， 文档 A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 会用待定系数法求二次函数解析式 .

19、22的对称轴是直线+bx+cy=ax的一个根为x=-2，3且二次函数已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3例x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设2x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym （1）写出y与x的关系式； （2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，3（） 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、. 对称轴 152 例5、已知抛物线y=x+x- 22 ）用配方法求它的顶点坐标

20、和对称轴（1 的长，求线段ABx轴的两个交点为A、B）若该抛物线与（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的21）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（【点评】本题（ 关系 12cbx?xy），2， 的图象经过点A（例6、 “已知函数c 2 。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，（1 并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。（）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数

21、解析式，就要把原来的结对于第（1点评： ，就可以列出两个”，2）”当作已知来用，再结合条件“图象经过点论“函数图象的对称轴是x=3A（c）小题，只要给2方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添1出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等。12cbx?x?y），2，图象的对称轴是x=3，A（）根据 解答（1c的图象经过点 21?2,2?c?bcc? 2 ?b 得?,3? 1?2? 2?3b,?解得 ?c?2.? 文档 12.3x?y?2x? 所以所求二次函数解析式为图象如图所示。 212.?x3?5x?3?5,0x?3x?2 ，解得（2）在解析式中令y=0，得 212)05,轴的一个交点的坐标是所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（x3+”或“抛物线与).,0(3?5 5,?y? 代入解析式，得令x=3 2512),?2(3y?x?3x? 所以抛物线的顶点坐标为 225)?(3, 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等