初二数学经典难题

1、实用文档 初二数学经典难题 1（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD=PDA=15求证：PBC是正三角形 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。 考点：证明题。： 专题在正方形内做DGC 与ADP全等，根据全等三角形的性质求出PDG为等边，三角形，根分析：据SAS证出DGCPGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可 证明：解答： 正方形ABCD， AB=CD，BAD=CDA=90， PAD=PDA=15， PA=PD，PAB=PDC=75， 在正方形内做DGC与ADP全等， DP=DG，ADP=GDC=DAP=D

2、CG=15， PDG=901515=60， PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形）， DP=DG=PG， DGC=1801515=150， PGC=36015060=150=DGC， 在DGC和PGC中 ， DGCPGC， PC=AD=DC，和DCG=PCG=15， 同理PB=AB=DC=PC， PCB=901515=60， PBC是正三角形 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点评的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求 2（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M

3、、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F 求证：DEN=F 考点： 三角形中位线定理。 证明题。： 专题 分析：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MGBC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得GNM=GMN，根据平行线性质可得：GMF=F，GNM=DEN从而得出DEN=F 证明：连接AC，作GNAD交AC于G，连接MG 解答： ，的中点，且NGADN是CD 的中点，G是ACADNG=， 的中点，M是AB又 MG=BCBCMG，且 AD=BC， NG=GM， GNM为等腰三角形， GMN，GNM= BF，GM ，GMF=F ，GNAD ，

4、GNM=DEN FDEN=此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GN为等腰三角形点评 的中点，求证：CBFGEF，点P是和外作正方形为一边，在、的边分）如图，分别以（310ABCACBCABCACDE ABP点到的距离是的一半AB 2 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。考点： 专题： 证明题。 分析：AER），易证RtT，Q，则PQ=（ER+FSP分别过E，F，C，作AB的垂线，垂足依次为R，S， ER+FS=AT+BT=AB，即可得证，FS=BT，RtCAT，则ER=AT 解答：FS， ，则ERPQ，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，TQ解：分别过E，F， 的中点

5、，为是EF的中点，QRSP 的中位线，PQ为梯形EFSR ，PQ=（ER+FS） ，R=ATC=90AE=AC（正方形的边长相等），AER=CAT（同角的余角相等） （AAS），RtAERRtCAT CBT，BFS同理RtRt ，FS=BT，ER=AT ER+FS=AT+BT=AB， ABPQ= 辅助线的作法全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，点评： 此题综合考查了梯形中位线定理、 很关键 PDAP是平行四边形ABCD内部的一点，且PBA=4（10分）设 PCB求证：PAB= 四点共圆；平行四边形的性质考证明题专题，进而得出BC，ADEPAD分析： ，利用的直线，并选一点根据已知作过P点

6、平行于ADE，使PE=AD=BC ，ADP=AEPABP= 共圆，即可得出答案得出AEBP 解答： PE=AD=BCEADP证明：作过点平行于的直线，并选一点，使， 3 BC，ADADEP PEBC是平行四边形，四边形AEPD是平行四边形，四边形 PC，BEAEDP ，AEPADP=ABP= 可得：AEBP共圆（一边所对两角相等） ，BEP=BCP可得BAP= PAB=PCB 此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关点评： 键 PC=3a，求正方形的边长内的一点，并且PA=a，PB=2a，5（10分）P为正方形ABCD 正方形的性质；勾股定理；等腰直

7、角三角形；旋转的性质。考点： 专题： 综合题。 分析：，再根据勾股定理逆定理证明a得到BEC，根据勾股定理得到PE=2把ABP顺时针旋转90是等腰直角三角形，然CEF于点F，BEC=135，过点C作CFBEPEC是直角三角形，从而得到 的长度，即可得到正方形的边长后再根据勾股定理求出BC ， 解答：解：如图所示，把ABP顺时针旋转90得到BEC ，APBCEB BE=PB=2a， a，PE=22222 ，PC=PE+CE=9a在PEC中， 是直角三角形，PEC ，PEC=90 =135，BEC=45+90 ，F作CFBE于点过点C 是等腰直角三角形，则CEF CECF=EF ，=a=BC=BF

8、CRt在中， a即正方形的边长为 4 勾股定理以及逆定理的应用，本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，点评： 等腰直角三角形的性质， 作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，分）一个圆柱形容器的容积为V6（10 t分求两根水管各自注水的速度改用一根口径为小水管2倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间 分式方程的应用。考点：立方米，开始用一根V，一个圆柱形容器的容积为设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x分析： 向倍的大水管注水小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2 分可列方程求解容器

9、中注满水的全过程共用时间t 分由题意得：4x立方米/x解答： 解：设小水管进水速度为立方米/分，则大水管进水速度为 解之得： 经检验得：是原方程解 小口径水管速度为/分 /立方米分，大口径水管速度为立方米 点评： 本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解 ）2P（1，且1?郴州）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（2，1）（7（10分）2009 、By垂直于x轴，QB垂直于轴，垂足分别是AQ为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，PA （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；面积相等？如果存在，请求OAP，使得OBQ与QMO2（）当点Q在直线上运动时，直线MO

10、上是否存在这样的点 出点的坐标，如果不存在，请说明理由；OPCQOPCQ，求平行四边形为邻边的平行四边形、在第一象限中的双曲线上运动时，作以，当点）如图（32QOPOQ 周长的最小值 5 反比例函数综合题。考点： 压轴题。专题：，设出正比例函数和反比例函数的解）2，1（1分析： ）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 析式，运用待定系数法可求它们解析式； ，依据反比例函数OAP面积为1）为双曲线Y=上的一点，所以OBQ、（2）因为P1，2 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；的图象和性质，点QOP2）是定点，所以，OQ=PC，而点P（1（3）因为四边形OP

11、CQ是平行四边形，所以OP=CQ， OQ的最小值的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求 解答：（1）设正比例函数解析式为y=kx，解： y=x，将点M（2，1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为 同样可得，反比例函数解析式为； 上运动时，在直线OM（2）当点Q ），Q（m，m设点Q的坐标为 2 ，于是S=|OBBQ|=mm=mOBQ |=1，1）（2）（而S=|OAP 2 ，2所以有，m=1，解得m= ；11）和Q（2，），所以点Q的坐标为Q（221 OPCQ3）因为四边形是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，（ 1，2）是定点，所以OP的长也是定长，P而点（ 8

12、分）OQ的最小值，（所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求 ），（因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Qn， 222 ）+4，=（n=n由勾股定理可得OQ+ 22 ）所以当（n=0即n=0时，OQ，有最小值42 同时取得最小值，与OQ为正值，所以OQOQ又因为 OP=，由勾股定理得所以OQ有最小值2 （10分）+4（所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2OP+OQ）=2+2）=要注意对各个点评综合性比较强此题难度稍大考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质， 识点的灵活应用 且BCECAP（与、不重合），点在线段上，PE=PB上一动点对角线的正方形是边长为如图，108（

13、分）P1ABCDAC ；PE=PDPEPD）求证：（1 ，）设（2AP=xPBE的面积为y xx的函数关系式，并写出的取值范围；关于y求出 当取得最大值，并求出这个最大值取何值时，xy 6 二次函数综合题。： 考点 动点型。专题： ，那么可通过证三角FG、，分别交AD、BC于（1）可通过构建全等三角形来求解过点P作GF分析： ABAGP因此三角形CAD=45，在直角三角形AGP中，由于和EFP全等来求PD=PE以及PEPD形GPD，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BEPFAG=PG，而PB=PE，是等腰直角三角形，那么可相等，因此可得出两直角三角形全等同理可得出两三角形的另一组对应边DG

14、，PF，BF=FE=AG=PGPDEPF=90，由此可得出GPD=90，那么可得出GPD+PD=PE，GDP=EPF，而GDP+得出 PEAPBF=FE=AG，那么可用（1）中已得出的面积，就要知道底边2）求三角形PBEBE和高PF的长，（，GP的长，而高PF=CDBF，FE的长，那么就知道了底边BEGP在等腰直角三角形AGP中求出AG，即的函数关系式然后可根据函数的性质及y的长，可根据三角形的面积公式得出PFx，也就可求出 的取值y的最大值以及对应的x自变量的取值范围求出 解答：F如图所示 、BC于G、GF（1）证明：过点P作AB，分别交AD ABCD是正方形，四边形 都是矩形，四边形ABF

15、G和四边形GFCD 都是等腰直角三角形AGP和PFC 度，PGD=PFE=90GP=AG=BFGD=FC=FP， ，又PB=PE ，BF=FE GP=FE， （SAS）EFPPGD PE=PD 21= 3=90度1+3=2+ DPE=90度 PDPE AP=x，（2）解： PF=1BF=PG=， =BPFPB 2 xy=即 ）x+x（0 22xx=+） y=x（ 0，a= =yx=当时，最大值 7 本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过点评： 构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键 ）两点a，31，6），B（x+b9（10分）如图，直线

16、y=k与反比例函数x0）的图象交于A（1 （1）求k、k的值21 的取值范围；x（2）直接写出时和反比例函数的图象E，CEC作CEOD于点OB=CD）如图，等腰梯形OBCD中，BCOD，OD边在x轴上，过点3（ 和PE的大小关系，并说明理由OBCD的面积为12时，请判断PC交于点P，当梯形 k的几何意义。考点： 反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数 ： 综合题。专题的代入反比例函数解析式求得分析： a）先把点A代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点B（1 k的值A，B代入一次函数解析式利用待定系数法求得值，再把点1 之间，故可直接写出范围的范围是在A，B（2）当yy时，直线在

17、双曲线上方，即x21列OD=m+2，利用梯形的面积是12CE=3，BC=m2，m）设点P的坐标为（，n），易得C（m3），3（ PC=PE的值，从而求得点方程，可求得mP的坐标，根据线段的长度关系可知 解答：6=6 =1（1）由题意知k解：2 ）（x0反比例函数的解析式为y= ，x0反比例函数的图象只在第一象限， ）在y=的图象上，又B（a，3 a=2， ）（2，3B 3）两点，（，61Ax+by=k直线过（，）B21 8 ；k的值为6故k的值为3，21 0，2）由（1）得出3x+9（ 即直线的函数值大于反比例函数值， 2，由图象可知，此时1x 2；x的取值范围为1x则 时，）当S=12PC=

18、PE（3OBCD梯形 作BFx轴，设点P的坐标为（m，n），过B ，3）2OD，BO=CD，B（，CEBCOD，OD=OE+ED=OE+BF=m+2 2，BC=m，3），CE=3，（Cm S=12=，即OBCD梯形mn=6 m=4，又 CE ，即n=PE= PC=PE 此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上点评：的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线 段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键 AB，两点，且点的横坐标为4Ax2007（1010分）（?福州）如图，已知直线y=与双曲线交于 的值；）求（

19、1k AOC8C（2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积； 交双曲线，若由点PQP于，两点（点在第一象限）ABPlO3（）过原点的另一条直线为顶Q， 的坐标，求点24点组成的四边形面积为P 9 反比例函数综合题。： 考点 综合题；压轴题。专题： 的值；点坐标代入双曲线的解析式中即可求出kA分析： 点的坐标，然后将A1（）先根据直线的解析式求出的面积无法直接求出，因此可AOCC点的坐标，由于2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出（ ；通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得（解法不唯一）为顶点的四边形应该是平行四边形，、Q、A、BP（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以点的坐标，然可根据双曲线的解析式设出P那么POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6点，由此可得出关于P的面积，由于POA的面积为6后参照（2）的三角形面积的求法表示出POA P点的坐标横坐标的方程，即可求出 解答：A横坐标为4，解：（1）点 x中x=4代入y=把 y=2，得 ），4，2A（ ）的交点，k0（点A是直线y=x与双曲线 ；k=42=8 ）解法一：如图，（2 在双曲线上，点C ，y=8时，x=1当 ，8）点C的坐标为（1 ，得矩形DMONy轴的垂线