3二阶系统的时域分析

1、3-3,二阶系统的时域分析,二阶系统的,定义,用二阶微分方程描述的系统,微分方程的,标准形式,d,c,t,dc,t,2,2,2,2,n,n,c,t,n,r,t,dt,dt,n,2,2,s,2,n,s,n,2,n,C(s,R(s,s,2,2,n,s,n,2,n,2,G(S,s(s,2,n,n,1,c(t,L,s,2,n,s,n,2,阻尼比,n,无阻尼自振频率,传递函数及方框图,2,2,R(s,C(s,等效的开环传函及方框图,R(s,n,s(s,2,n,2,C(s,R(s,2,一单位阶跃响应,1,闭环极点的分布,二阶系统的特征方程为,2,s,2,n,s,n,0,2,s,1,2,n,n,1,两根为,

2、的取值不同,特征根不同,1,无阻尼,0,s,1,2,j,n,s,1,s,2,2,一对纯虚根,2,0,1,欠阻尼）有一对共轭复根,s,1,2,s,1,2,n,j,n,1,位于平面的左半部,s,2,n,1,2,n,1,s,1,2,n,3,临界阻尼,s,1,s,2,两相等实根,1,过阻尼,s,1,2,n,n,1,4,s,1,s,2,2,两不等实,5,s,1,2,n,j,n,1,1,0,s,1,平面,s,2,位于右半,2,二阶系统的单位阶跃响应,1,0,1,时,n,1,C(s,2,2,s,2,n,s,n,s,s,2,n,1,s,s,n,j,d,s,n,j,d,n,1,s,n,1,2,2,2,2,2,s

3、,s,n,d,1,s,n,d,n,t,n,t,c(t,1,e,cos,d,t,e,sin,d,t,2,1,1,e,n,t,2,2,1,2,2,sin,d,t,1,2,sin,1,cos,arctg,0,2,0,时,c(t,1,sin,t,90,1,cos,t,d,2,d,2,n,n,1,1,3,1,时,C,s,2,2,2,s,2,n,s,n,s,s,n,s,1,1,2,s,s,n,s,n,c,t,1,1,n,t,e,2,4,1,s,1,2,n,n,1,一对实根,n,t,2,n,1,C(s,2,2,s,2,n,s,n,s,a,1,a,2,1,s,s,n,n,2,1,s,n,n,2,1,a,1,1

4、,2,1,1,2,2,2,n,a,2,1,2,1,1,2,2,c(t,1,1,2,2,e,2,1,n,t,2,1,1,1,e,2,2,2,1,1,2,1,n,t,5,1,0,时,c(t,1,d,n,e,n,t,2,1,2,sin,d,t,2,1,1,arctg,一般,在,0.4,0.8,间响应曲线较好,二,二阶系统的性能指标,t,p,单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间,峰值时间,c,t,c,100,超调量,c,1,定义,上升时间,t,r,单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间,C,振荡次数,N,在调整时间内响应过程穿越其稳态,值,次数的一半定义为振荡次数,调节时间：单位阶跃响应进入到使下式成立

5、所需时间,c(t,c,c,一般取,0,02,0,05,c(t,2,c,t,r,t,p,t,s,t,2,性能指标的计算,t,r,1,上升时间,当,t,t,r,时,c,t,r,1,即,c(t,r,1,e,n,t,r,cos,d,t,r,1,2,1,2,sin,d,t,r,1,由此得,tg,d,t,r,得,t,r,1,arctg,1,2,d,1,2,1,2,n,d,arctg,2,峰值时间,c(t,1,e,dc(t,由,dt,t,p,n,t,cos,d,t,0,有,1,2,sin,d,t,t,t,p,n,e,e,n,t,p,cos,d,t,p,1,2,sin,d,t,cos,d,t,p,0,n,t,

6、p,d,sin,d,t,p,d,1,2,n,cos,d,t,p,1,2,sin,d,t,cos,d,t,p,0,d,sin,d,t,p,d,1,2,sin,d,t,p,0,d,t,p,0,2,3,因,为,第,一,个,峰,值,时,间,取,d,t,p,则,t,p,n,1,2,3,超调量,c,t,c,100,c,cos,d,t,p,cos,d,t,p,t,p,1,2,2,sin,d,t,p,100,1,sin,d,t,p,cos,sin,1,1,d,2,d,d,d,1,2,100,4,调节时间,t,t,s,根据,c(t,c,c,1,e,n,t,1,1,2,sin,d,t,arctg,1,1,2,1,

7、1,1,1,2,2,1,2,1,0,1,1,1,2,e,n,t,解得,t,s,n,ln,1,1,4,ln,取,0.02,t,s,1,1,2,e,n,t,n,3,ln,取,0.05,t,s,n,0,02,0,0.9,时,t,s,3,0.05,n,n,4,5,振荡次数,N,根据定义,振荡次数,N,等于在,0,t,t,s,时间内系统响,应,c,t,穿越稳态值,c,的次数之半,N,可由,c,t,c,0,来计算,c,t,c,e,n,t,1,1,2,sin,d,t,arctg,2,1,2,0,sin,d,t,arctg,d,t,arctg,1,2,0,1,n,1,2,将,t,t,s,代入得,d,t,s,a

8、rctg,m,式,中,m,为,整,数,为,小,数,因,为,当,t,t,s,时,c(t,并,不,一,定,刚,m,好,等,于,c,令,N,得,2,n,1,t,s,arctg,N,将,t,s,1,2,1,2,ln,1,1,2,2,2,n,代,入,并,取,整,数,得,1,2,1,1,N,N,ln,2,2,1,N,.,表,示,取,整,数,arctg,2,t,s,N,T,d,2,T,d,d,阻尼振荡周期,三、二阶工程最佳参数,对典型二阶系统，选择参数使,1,2,0,707,T,2,数,s,可分别写成,n,此时将,1,1,代入二阶系统标准式,则开环传递函数,G,K,s,和闭环传递函,2,n,K,G,K,s,

9、2,Ts,Ts,1,超调量,上升时间,调节时间,1,s,2,T,2,s,2,2,Ts,1,根据暂态性能指标的定义，二阶系统单位阶跃响应的暂态性能指标为,1,2,e,r,n,100,4.3,2,t,1,4,7,T,t,s,6,T,t,s,8,T,以上一组参数就是二阶工程最佳参数,5,2,四计算举例,K,例,1,设控制系统结构图如图所示，其中,K,10,R,s,s,s,1,求该系统的,1,自然频率,n,阻尼比,超调量,和调节时间,t,s,2,如果要求,0.707,应,怎样改变系统参数,K,值,K,解,1,由图可求得系统的闭环传递函数为,s,2,s,s,K,2,n,与标准形式相对照,s,2,2,s,

10、2,n,s,n,C,s,自然频率,K,3,16,n,阻尼比由,2,n,1,得,1,2,n,0,158,e,调节时间,1,2,t,s,3,100,6,0,n,6,s,n,2,当要求,0.707,时，由,2,n,1,得,1,2,K,n,2,0,5,由此可以看出，要实现二阶工程最佳参数的要求，必须降低开环增益,例,2,二阶系统如图所示,其中,0.5,4,弧度,秒,当输,n,n,2,s,s,2,n,入信号为单位阶跃,信号时,试求系统的动态,性能指标,解,arctg,t,r,t,p,n,1,2,n,1,2,1,2,arctg,2,1,0,5,2,0,5,60,1,05,弧度,2,d,n,1,4,1,0,

11、5,3,46,1,2,1,05,3,46,0,60,秒,3,46,0,91,秒,0,5,1,0,5,2,e,100,e,100,16,3,t,s,t,s,3,ln,1,1,2,4,ln,3,ln,4,ln,1,1,0,5,2,n,1,1,2,0,5,4,1,1,0,5,2,1,57,秒,0,05,2,14,秒,0,02,0,5,4,t,1,57,3,46,N,0,865,1,次,0,05,2,2,3,14,t,2,14,3,46,N,1,18,1,次,0,02,2,2,3,14,n,s,d,s,d,例,3,已知某控制系统方框图,如图所示,要求该系统的单位,阶跃响应,具,有超,调量,16,3,和

12、,峰值时间,t,p,1,秒,试确定前置放大器的增,益,及内反馈系数,之值,R(s,k,10,s,s,1,C(s,s,解,1,由已知,和,t,p,计算出二阶系统参数,及,n,由,e,1,2,100,16,3,得,0,5,又,t,p,n,1,2,1,得,3,63,n,2,求闭环传递函数,并化成标准形式,C(s,R(s,10K,s,1,10,s,10,K,2,n,2,s,2,n,s,n,2,2,3,与标准形式比较,C(s,R(s,2,2,n,1,10,n,10,K,解得,K,1,32,0.263,五二阶系统的脉冲响应,s,2,n,s,n,1,无阻尼,0,脉冲响应,2,n,1,k(t,L,sin,t,

13、n,n,2,2,s,n,2,欠阻尼,0,1,脉冲响,2,应,n,1,k(t,L,2,2,s,n,j,n,1,s,n,j,n,1,n,n,t,2,e,sin,n,1,t,2,1,c(s,n,2,2,2,1,脉冲响应,3,临界阻尼,n,2,t,k(t,L,te,n,2,s,n,1,脉冲响,4,过阻尼,1,n,2,应,k(t,L,1,n,2,2,1,s,n,n,1,n,2,2,1,2,2,2,1,n,t,n,2,s,n,n,1,e,2,1,n,t,e,2,1,脉冲响应与阶跃响应的关系,0,1,在欠阻尼下,令,t,t,p,则,k,t,p,n,2,1,e,n,t,p,sin,n,1,2,1,n,2,0,

14、对,k,t,从,0,至,t,p,积分有,t,p,0,k,t,dt,t,p,n,2,0,1,e,n,t,p,sin,n,1,tdt,2,1,2,1,1,k,max,1+t,p,0,t,p,t,六具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的闭环传函具有如下,标准形式,n,s,z,C(s,R(s,z,s,2,2,n,s,n,2,1,当,R,S,时，对欠阻尼情况,0,1,s,2,2,2,z,n,n,1,2,C(t,1,sin,n,1,t,2,z,1,1,arctg,2,n,1,arctg,z,n,2,2,对应的性能指标为,r,t,1,t,1,n,p,n,2,2,1,2,e,2,2,2,1,2,10

15、0,t,s,t,s,这里,3,ln,l,z,n,0,05,n,l,z,4,ln,0,02,2,2,2,z,l,z,n,n,1,说明,1,闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应,过程,起始段,2,削弱系统阻尼，超调量大,z,2,5,n,3,合理的取值范围为,七,初始条件不为零的二阶系统的响应过程,2,当初始条件不为零时，求拉氏变换得,d,c,t,dc,t,2,2,2,n,n,c,t,n,r,t,2,dt,dt,2,2,2,s,c,s,sc,0,c,0,2,n,sc,s,c,0,n,c,s,n,R,s,c,0,s,2,n,c,0,n,c(s,2,R,s,2,2,2,s,2,n,s,n,s,2,n,s,n,c(t,c,1,t,c,2,t,取,0,1,当,R,S,1,S,时,c,1,t,1,e,n,t,1,1,2,2,零输入响应,sin,d,t,零状态响应,c,2,t,c,0,2,c,0,n,c,0,n,1,2,e,2,n,t