(完整版)一元二次方程的知识点梳理(2),推荐文档

1、一、知识结构： 、一元二次方程 、 、 *二、考点精析考点一、概念(1) 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程就是- 3 -一元二次方程。(2)一般表达式：ax 2 + bx + c = 0(a 0)难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）11a3(x + 1)2 = 2(x + 1)b + - 2 = 0x 2xcax 2 + bx + c = 0dx 2 + 2x = x 2 + 1变

2、式：当 k时，关于 x 的方程kx 2 + 2x = x 2 + 3 是一元二次方程。例 2、方程(m + 2)x m。+ 3mx + 1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 针对练习：1、方程8x 2 = 7 的一次项系数是，常数项是。2、若方程(m - 2)x m -1 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于 x 的一元一次方程。m3、若方程(m - 1)x 2 + x = 1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是。4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）a.m=n=2b.m=2,n=1c.n=2,m=1d.

3、m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知2 y 2 + y - 3 的值为 2，则4 y 2 + 2 y + 1 的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程(a - 2)x2 + x + a 2 - 4 = 0 的一个根为 0，则 a 的值为 。例 3、已知关于 x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a 0)的系数满足a + c = b ，则此方程必有一根为。例 4、已知a, b 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的两个根， b, c 是方程 y2 - 8 y + 5m = 0 的两个

4、根， 则 m 的值为。针对练习：1、已知方程 x 2 + kx - 10 = 0 的一根是 2，则 k 为，另一根是。2、已知关于 x 的方程 x 2 + kx - 2 = 0 的一个解与方程 x + 1 = 3 的解相同。x - 1求 k 的值； 方程的另一个解。3、已知 m 是方程 x 2 - x - 1 = 0 的一个根，则代数式 m2 - m =。4、已知a 是 x 2 - 3x + 1 = 0 的根，则 2a 2 - 6a =。5、方程(a - b)x 2 + (b - c)x + c - a = 0 的一个根为（）a - 1b 1cb - cd- a6、若 2x + 5 y - 3

5、 = 0, 、 4 x 32 y =。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x 2 = m(m 0), x = m对于(x + a)2 = m ， (ax + m)2 = (bx + n)2 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： (1)2x 2 - 8 = 0;(2)25 - 16x 2 =0;(3)(1 - x)2 - 9 = 0;例 2、若9(x - 1)2 = 16(x + 2)2 ，则 x 的值为 。针对练习：下列方程无解的是（）a. x 2 + 3 = 2x 2 - 1b. (x - 2)2 = 0c. 2x + 3 =

6、1 - xd. x 2 + 9 = 0类型二、因式分解法:(x - x1 )(x - x2 )= 0 x = x1 , 或x = x2典型例题：方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式：如(ax + m)2 = (bx + n)2 ， (x + a)(x + b)= (x + a)(x + c) ， x 2 + 2ax + a 2 = 0例 1、2x(x - 3)= 5(x - 3)的根为（）a x = 5b x = 3c x21= 5 , x = 322d x = 25例 2、若(4x + y)2 + 3(4x + y)- 4 = 0 ，则 4x+y 的值为 。变式

7、 1： (a 2 + b 2 )2 - (a 2 + b 2 )- 6 = 0, 、a 2 + b 2 = 。变式 2：若(x + y)(2 - x - y)+ 3 = 0 ，则 x+y 的值为。变式 3：若 x 2 + xy + y = 14 ， y 2 + xy + x = 28 ，则 x+y 的值为。例 3、方程 x 2 + x - 6 = 0 的解为（）a. x1 = -3、x 2 = 2b. x1 = 3、x 2 = -2c. x1 = 3、x 2 = -3d. x1 = 2、x 2 = -2针对练习：1、下列说法中：方程 x2 + px + q = 0 的二根为 x ， x ，则

8、x2 + px + q = (x - x )(x - x )1212 - x2 + 6x - 8 = (x - 2)(x - 4) . a2 - 5ab + 6b2 = (a - 2)(a - 3)xx x 2 - y 2 = (x + y)(+y )(-y )7方程(3x +1)2 - 7 = 0 可变形为(3x +1+7)(3x +1-) = 0正确的有（）77a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个2、以1+与1-为根的一元二次方程是（）a x2 - 2x - 6 = 0b x2 - 2x + 6 = 0c y2 + 2 y - 6 = 0d y2 + 2 y + 6 = 03、写出一个

9、一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数： 4、若实数 x、y 满足(x + y - 3)(x + y)+ 2 = 0 ，则 x+y 的值为（）a、-1 或-2b、-1 或 2c、1 或-2d、1 或 2- 8 -5、方程： x2 + 1x2= 2 的解是。类型三、配方法2()b 2b 2 - 4acax + bx + c = 0 a 0 x + 2a =4a 2典型例题：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。例 1、 试用配方法说明 x 2 - 2x + 3 的值恒大于 0。例

10、2、 已知 x、y 为实数，求代数式 x 2 + y 2 + 2x - 4 y + 7 的最小值。例 3、 已知 x 2 + y 2 + 4x - 6 y + 13 = 0、x、y 为实数，求 x y 的值。针对练习：1、试用配方法说明- 10x 2 + 7x - 4 的值恒小于 0。2、已知 x 2 + 1 - x - 1 - 4 = 0 ，则 x + 1 =.x 2- 3x 2 + 12x - 93、若t = 2 -xx，则 t 的最大值为，最小值为。类型四、公式法条件：(a 0,且b 2 - 4ac 0- b b 2 - 4ac公式：x =2a, (a 0,且b 2 - 4ac 0典型例

11、题：例 1、选择适当方法解下列方程： 3(1 + x)2 = 6.(x + 3)(x + 6)= -8. x 2 - 4x + 1 = 0 3x 2 - 4x - 1 = 0 3(x - 1)(3x + 1)= (x - 1)(2x + 5)例 2、在实数范围内分解因式：（1） x2 - 2 2x - 3；（2） - 4x2 + 8x - 1. 2x2 - 4xy - 5 y2说明：对于二次三项式ax 2 + bx + c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax 2 + bx + c =0，求出两根，再写成ax 2 + bx + c = a(x -

12、x1 )(x - x2 ) .分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例 1、 已知 x 2 - 3x + 2 = 0 ，求代数式(- x 3 - 2 +1xx - 1的值。a 3 - 2a 2 - 5a + 1例 2、已知a 是一元二次方程 x 2 - 3x + 1 = 0 的一根，求的值。a 2 +1例 3、用两种不同的方法解方程组2x - y = 6,x2 - 5xy + 6 y2 = 0.(1)(2) (2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现

13、了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式b 2 - 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 x 的方程 x 2 + 2 k x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。例 2、关于 x 的方程(m - 1)x2 + 2mx + m = 0 有实数根，则 m 的取值范围是()a. m 0、m 1b. m 0c. m 1d. m 1例 3、已知关于 x 的方程 x 2 - (k + 2)x + 2k = 0(1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰d abc 的

14、一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求d abc 的周长。例 4、已知二次三项式9x2 - (m + 6)x + m - 2 是一个完全平方式，试求m 的值.x2 + 2 y2 = 6,例 5、m 为何值时，方程组mx + y = 3. 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k时，关于 x 的二次三项式 x 2 + kx + 9 是完全平方式。2、当k 取何值时，多项式3x2 - 4x + 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程mx 2 - mx + 2 = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的值是. y = kx + 2,4、k 为何值时，方程组

15、 y2 - 4x - 2 y +1 = 0.（1） 有两组相等的实数解，并求此解；（2） 有两组不相等的实数解；（3） 没有实数解.5、当k 取何值时，方程 x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 的根与m 均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程(m + 1)x 2 + 2mx - 3 = 0有两个实数根，则 m 为,只有一个根，则 m 为。例 2、 不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 - 2(x - k )+ k 2 = -3 根的情况。考点六、根与系数的关系前提：对于ax 2 + bx + c = 0 而言，当满足

16、a 0 、 d 0 时， 才能用韦达定理。主要内容：x + x = - b , x x = c12a1 2a应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x 2 - 8x + 7 = 0 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）36a. b.3c.6d.例 2、已知关于 x 的方程k 2 x 2 + (2k - 1)x + 1 = 0 有两个不相等的实数根 1x ,2x ，（1） 求 k 的取值范围；（2） 是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为

17、1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知a b ， a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，求 a + b = 变式：若a 2 - 2a - 1 = 0 ， b 2 - 2b - 1 = 0 ，则 a + b 的值为。ba例5、已知a,a是方程x2 - x -1 = 0的两个根，那么a4 + 3a=.针对练习：- 9 -x + y = 3,1、解方程组x2 + y2 = 5(1)(2)baab2已知a2 - 7a = -4 ， b2 - 7b =

18、 -4 (a b) ，求+的值。3、已知 x1 , x2 是方程 x 2 - x - 9 = 0 的两实数根，求 x 3 + 7x 2 + 3x - 66 的值。122今天你学习了什么？ 遇到了什么困难？ “”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the late