(完整版)万有引力与航天知识点+练习,推荐文档

1、万有引力与航天知识点一：人类认识天体运动的历史和开普勒行星运动三大定律人类认识天体运动的历史1、“地心说”的内容及代表人物：托勒密内容；地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳，月亮以及其他行星都绕地球运动。a太阳位于木星运行轨道的中心 b火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 c火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方d相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：选 c，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，a 错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，b 错误；同一行星与太阳连线在相等时间内2、“日心说”的内容及代表人物：哥白尼r

2、火3r木3t火2扫过的面积才能相同，d 错误；由开普勒第三定律得：t火2t木2，故t木2内容；日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。开普勒行星运动三大定律第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。r火3r木3，故 c 正确。练习：1、地球绕太阳转，周期为 t1、轨道半径为 r1，火星绕太阳转，周期为 t2，轨道半径为 r2，月亮绕地球转，周期为 t3，轨道半径为 r3。人造卫星绕地球转，周期为t4、轨道半径为

3、r4 则下列关系式正确的是()r 3r 3r 3r 3r 3r 3r 3r 3第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二1= 31= 2 3= 4 3= 2 t 2t 2t 2t 2t 2t 2t 2t 2次方的比值都相等。a3a.13r 3b.12c.34d.32即：= k t 2关。其中 k 是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无解析： t 2 =k（使用时,必须是对同一中心天体才成立），bc 正确。2、宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球例题 1：火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(

4、)轨道半径的 9 倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（）a.3 年b9 年c27 年d81 年解析：宇宙飞船的轨道为 r1，地球的轨道为 r2，因为地球、宇宙飞船都是围绕太阳r 3r 3适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 1 =2t2运动，所以 1t 22，所以选 c对于质量分布均匀的球体，公式中的 r 就是它们球心之间的距离。253993253、地球有一个可能的天然卫星被命名为“j002e2”，这个天体是美国亚利桑那州的业余天文爱好者比尔杨发现的，他发现“j002e2”并不是路经地球，而是以 50 天的周期围绕地球运行，其特征很像火箭的残片或其他形式的太空垃圾由此可知“j002e2”绕地

5、半径与月球绕地的半径之比约为（）53a. b.c. 3d. 5解析：此卫星围绕地球运动的周期为 t1=50 天，月球围绕地球运动的周期为 t2=30天，所以一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中 r 为两物体质心间的距离。例题 2：关于万有引力的说法正确的是（）a万有引力只有在天体与天体之间才能明显地表现出来 b一个苹果由于其质量很小，所以它受到的万有引力几乎可以忽略c地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力r 3r 3r3 1t 2t 222539502d地球表面的大气层是因为万有

6、引力约束而存在于地球表面附近 1 = 2 1 = 3=t 2t 2r302122知识点二：万有引力定律，故选 a解析：选 d练习：4、两个半径均为 r 的实心铁球靠在一起时，彼此之间的万有引力大小为 f。若两个半径为 2r 的实心铁球靠在一起时，它们之间的万有引力大小为()1、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间的距离 r 的二次方成反比。a2fb4fc8fd16f m124m22 2、表达式：f = g m1m2引力的方向沿两球心的连线r 2，解析：选 d， fg42r2，其中 m13r3，fg4r2，其中 m23、引力常量：g=6.6710

7、-11nm2/kg2，牛顿发现万有引力定律后的 100 多年里， 卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。4、适用条件：3(2r)3。解得 f16f。5、如图 442 所示，三颗质量均为 m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 r 的圆轨道上，设地球质量为 m，半径为 r。下列说法正确的是()图 442a. 地球对一颗卫星gmm的引力大小为(rr)2（1） 当物体在地球表面， 方法：（条件：忽略地球自转）万有引力重力（2） 当物体在地球上空距离地心 r=r+h 处，这是物体不在随着地球自转，物体受到地球的万有引力等于重力，方法： mg = gmm(r + h)2(一)利用重力等于万有引力计算天体表面的

8、重力加速度b. 一颗卫星对地球gm2gmm的引力大小为 r2例题 3 ：有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)()c. 两颗卫星之间的引力大小为 3r213gmma4b4 倍d. 三颗卫星对地球引力的合力大小为 r2c16 倍d64 倍gmm3m9g3解析：选 bc根据万有引力定律，地球对一颗卫星的引力大小 f 万mm星m星解g析天体表面的重力 mg r2 ，又知 4r3，所以 m1622g3，故g r2 ，a 项错误，由牛顿第三定律知 b 项正确。三颗卫星等间距分布，任意两星( )m地m2g地 364

9、。答案 d间距为 3r，故两星间引力大小 f 万g3r2，c 项正确。任意两星对地球引力的夹练习：角为 120，故任意两星对地球引力的合力与第三星对地球的引力大小相等，方向相反，三星对地球引力的合力大小为零，d 项错误。知识点三：天体表面的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一gmm般情况下忽略地球自转的影响，认为重力约等于万有引力，即 mg r2 。mm6、一个行星，其半径比地球的半径大 2 倍，质量是地球的 25 倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（）a6 倍

10、b4 倍c25/9 倍d12 倍7、假设宇宙中有一颗未命名的星体，其质量为地球的 6.4 倍，一个在地球表面重力为 50 n 的物体，经测定在该未知星体表面的重力为 80 n，则未知星体与地球的半径之比为( )a0.5b2c.3.2 d4gm星m解析：选 b 由 r星2 80 n，mg = g r 2gm地mr地2 50 n“天上”：万有引力提供向心力也等于重力（f引= fn = g ）r星2 m星 5r星mmv222p2可得：r地2m地84，故r地2，b 正确。一条龙：=mmr a=g=mrmp(二)求天体表面某高度或某深度处的重力加速度例题 4：假设地球是一半径为 r、质量分布均匀的球体。

11、一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()r 2r“地上”：万有引力近似等于重力 t 黄金代换：mgr 2dda. 1rrdb. 1rr知识点四：天体质量和密度的计算1. g、r 法c( r )2d(rd)2利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 r。mm4m4mmgr2解析 在地球表面 mggr2，又 m3r3，所以 ggr23gr，因 mm(1) 由 gr2mg 得天体质量 m g 。mm 43g为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d 的矿井内mgg rd 2，得r3 m4g rdd(2) 天体密度 v34gr。gg练习：r

12、d 23g(rd)，所以 g r 1r，可得 a 正确。(3) gmgr2 称为黄金代换公式，若物体在行星表面，则可用此式计算行星的质量。2. t、r 法8、已知地球半径为 r，地球表面的重力加速度为 g，若高空中某处的重力加速度为1 g，则该处距地面球表面的高度为（）测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 t。2mm42r42r322a（1）rbrcrd2 r(1) 由 gr2mt2 得天体的质量 m gt2 。 mm 43r3 r3 总结：(2) 若已知天体的半径 r，则天体的密度 v3gt2r3。(3) 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 r，则天体密度3g

13、t2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 t，就可估算出中心天体的密度。例题 5：若宇航员在月球表面附近自高 h 处以初速度 v0 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 l。已知月球半径为 r，万有引力常量为 g。则下列说法正确的是 ( )如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为 t，则火星的平均密度 的表达式为(k 为某个常数)()kaktbt kckt2dt2hv02gmm42a. 月球表面的重力加速度 g 月 l2解析：选 d 火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时， r2 m t2 r，hr2v0243 kb. 月球的质量 m 月gl2v0又 m3

14、r3，可得 gt2t2，故只有 d 正确。11、设太阳质量为 m，某行星绕太阳公转周期为 t，轨道可视作半径为 r 的圆。c. 月球的第一宇宙速度 v l2h已知万有引力常量为 g，则描述该行星运动的上述物理量满足() 3hv0242r342r2d. 月球的平均密度 2gl2ragm t2bgm t212hv0242r24r3解析 根据平抛运动规律，lv0t，h2g 月t2，联立解得 g 月l2 ，选项cgm t3d gm t2mm月2hr2v02v2v0解析：选 a本题考查天体运动，意在考查考生对万有引力定律的理解和应用。a 错误；由 mg 月gr2 解得 m 月gl2 ，选项 b 错误；由

15、 mg 月m m月r 解得 v lmm42由万有引力提供向心力可知，gr2m t2 r，对比各选项可知选 a。43hv022hr，选项 c 错误；月球的平均密度 3练习：r3 2gl2r，选项 d 正确。知识点五：天体运动与人造卫星9、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为 t，引力常数为 4pgt 2g，那么该行星的平均密度为（）5.1 宇宙速度的理解与计算（1）第一宇宙速度的推导pa. gt 23 3pgt 24pb. c.d.gt 2mmv1210、近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源

16、奠定了坚实的基础。方法一：由 gr2m r 得gm r6.67 1011 5.98 10246 370 103v1m/s7.9103 m/s。v12与第一宇宙速度 v1 的关系是v212v1。已知某星球半径是地球半径 r 的3，其表面方法二：由 mgm r 得1v1gr9.8 6 370 103m/s7.9103 m/s。的重力加速度是地球表面重力加速度 g 的6，不计其他星球的影响，则该星球的第二第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此宇宙速度为()1时它的运行周期最短，tmin2rg5075 s85 min。a.b3 grgr1（2）宇宙速度与运动轨迹的关系(1

17、) v 发7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。(2) 7.9 km/sv 发11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。c6 grd3gr解析：选 b 设某星球的质量为 m，半径为 r，绕其飞行的卫星质量为 m，根据万有mmv12(3) 11.2 km/sv 发16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。引力提供向心力，可得 gr2m r ，解得：v1gmr ，又因它表面的重力加速度为(4) v 发16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。1mmg11例题 6：已知地球的质量约为火星质量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的2 倍，则航天器在火星表面附近

18、绕火星做匀速圆周运动的速率约为()a3.5 km/sb5.0 km/sc17.7 km/sd35.2 km/s1解析：选 a 根据题设条件可知：m 地10 m 火，r 地2r 火，由万有引力提供向心力地球表面重力加速度 g 的6，可得 gr2m6，又 r3r 和 v2gr，所以正确选项为 b。5.2 卫星运行参量的分析与比较（1）四个分析2v1，解得：v23gmmv2gmv火m火r地“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径r2 m r ，可得 vr ，即v地 m地r火 5，因为地球的第一宇宙速度为 v地的关系。7.9 km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆

19、周运动的速率 v 火3.5km/s，选项 a 正确。练习：12、物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度 v2 gm1maaa 周期变大，则同步卫星做圆周运动的半径会变大，离地面的高度变大，a 项正确；vrgmr2r2mmgmmmv21r2m vrv 由 gr2ma 得，a r2，半径变大，向心加速度变小，b 项错误；由gr2mr 得，m2rgmm42gm 1r3r3r342r3越高gmvr ，半径变大，线速度变小，c 项错误；由 变大，角速度变小，d 项错误。答案 a2t 分析得，同步卫星的周期r2 m t2 rt（2）四个比较gm t 越慢(1) 同步卫星的周期、轨道

20、平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。(2) 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(3) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。(4) 赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合练习：13、如图451，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为m 和2m 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()图 451力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星， 但它的周期、角

21、速度与同步卫星相等。例题 7：研究表明，地球自转在逐渐变慢，3 亿年前地球自转的周期约为 22 小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()a距地面的高度变大b向心加速度变大a. 甲的向心加速度比乙的小b. 甲的运行周期比乙的小c甲的角速度比乙的大d甲的线速度比乙的大解析：选 a 甲、乙两卫星分别绕质量为 m 和 2m 的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力。由牛顿第二定律gmrc. 线速度变大d角速度变大mm42v2gmr3gmmm2gr2mam t2 rm2rm r ，可得 ar2，t2gm， r3，v。2)解析 卫星

22、绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，即 gr2mr(3gmt2由已知条件可得 a 甲a 乙，t 甲t 乙， 甲 乙，v 甲v 乙，故正确选项为t，a。得 r 42，由于同步卫星的周期等于地球的自转周期，当地球自转变慢，自转5.3 卫星变轨问题分析1. 变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图 452 所示。图 452(1) 为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上。(2) 在 a 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道。(3) 在 b 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道。2. 三个运行物理量的大小比较(1)

23、 速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道上过a 点和 b 点速率分别为 va、vb。在 a 点加速，则 vav1，在 b 点加速，则v3vb，又因 v1v3，故有 vav1v3vb。(2) 加速度：因为在 a 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨道上经过 a 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 b 点加速度也相同。(3) 周期：设卫星在、轨道上运行周期分别为 t1、t2、t3，轨道半径分r3别为 r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律t2k 可知 t1t2t3。例题 8：(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道

24、 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3，轨道 1 和2 相切于 q 点，轨道 2 和 3 相切于 p 点，设卫星在 1 轨道和 3 轨道正常运行的速度和加速度分别为 v1、v3 和 a1、a3，在 2 轨道经过 p 点时的速度和加速度为 v2 和 a2， 且当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时周期分别为 t1、t2 、t3，以下说法正确的 是 ( )图 453av1v2v3bv1v3v2ca1a2a3dt1t2t3解析 卫星在 1 轨道运行速度大于卫星在 3 轨道运行速度，在 2 轨道经过 p点时的速度 v2 小于 v3，选项 a 错误 b 正确；卫星在 1 轨道和 3 轨道

25、正常运行加速度a1a3，在 2 轨道经过 p 点时的加速度 a2a3，选项 c 错误。根据开普勒定律， 卫星在 1、2、3 轨道上正常运行时周期 t1t2t3，选项 d 正确。答案 bd方法规律卫星变轨的实质mmv2(1) 当卫星的速度突然增加时，gr2m r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行gm时由 v 可r知其运行速度比原轨道时减小。mmv2(2) 当卫星的速度突然减小时，gr2m r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运gm行时由 v r 可知其

26、运行速度比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。练习：14、如图 454 所示，地球卫星 a、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点 a 处与圆形轨道相切，则()图 454a. 卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运行周期短b. 两颗卫星分别经过 a 点处时，a 的速度大于 b 的速度c. 两颗卫星分别经过 a 点处时，a 的加速度小于 b 的加速度d. 卫星 a 在 a 点处通过加速可以到圆轨道上运行解析：选 ad 由于卫星 a 的运行轨道的半长轴比卫星 b 的运行轨道半长轴短，根据时，a 的加速度等于 b 的加速度，选项 c 错误。卫星 a 在 a 点处通过加速可以到

27、圆轨道上运行，选项 d 正确。15、假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图 455 所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是()图 455a. 飞船在轨道上运动时的机械能大于在轨道上运动时的机械能b. 飞船绕火星在轨道上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道 同样的轨道半径运动的周期相同c. 飞船在轨道上运动到 p 点时的加速度大于飞船在轨道上运动到 p 点时的加速度d. 飞船在轨道上运动时，经过 p 点时的速度大于经过 q 点时的速度解析：选 d 飞船由轨道转变为轨道时在 p 点应加速，机械能增大，a 错误；gmm飞船在轨道上运动时，

28、离火星越远，速度越小，d 正确；由 r2 ma 可得：gmar2，与飞船速度无关，由飞船到火星中心的距离决定，故 c 错误；由42r3gmgmm42开普勒定律，卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运行周期短，选项 a 正确。两颗卫星分r2 m t2 r 可得：t，可见飞船在轨道上运动的周期与中心天体别经过 a 点处时，a 的速度小于 b 的速度，选项 b 错误。两颗卫星分别经过 a 点处的质量也有关，b 错误。5.4 宇宙多星模型(1) 如图 456 所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。gm2l2 2c

29、os 30ma 向其中 l2rcos 30。三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。例题 9：（多选）如图 6 所示，两颗靠得很近的天体组合为双星，它们以两者连线上的某点为圆心，做匀速圆周运动，以下说法中正确的是()gm2运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力： r2 gm2 2r2ma 向两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。 图 456图6 a它们做圆周运动的角速度大小相等 b它们做圆周运动的线速度大小相等 c它们的轨道半径与它们的质量成反比d它们的轨道半径与它们的质量的平方成反比解析：选 ac 它们做圆周运动的角速度大小相等，线速度大小不一定相等，选 g

30、mbma(2) 如图 457 所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的项 a 正确 b 错误；由 rarb2maa2rambb2rb，它们的轨道半径与它们的质中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。图 457量成反比，选项 c 正确 d 错误。练习：16、（多选）如图 7 所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 r 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为 m，万有引力常量为 g， 则( )知识点六：天体中的“追及相遇”问题例题 10：两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为 ， 卫星

31、离地面的高度等于 ， 卫星离地面高度为 ，则：（1） 、 两卫星运行周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则 至图 75gm2a. 甲星所受合外力为 4r2gm2b. 乙星所受合外力为 r2c. 甲星和丙星的线速度相同少经过多少个周期与 相距最远？1. 由g mmr2= mr2 ,或=2判断谁的角速度大并求出.t练习：17、如图所示，有 a、b 两个行星绕同一恒星 o 沿不同轨道做匀速圆周运动，旋转122. 两星追上或相距最近满足：at -bt = n 2，(n = 1、2、3.）方向相同a 行星的周期为 t ，b 行星的周期为 t ，在某一时刻两行星第一次相遇3. 两星相距最远满足：at -bt =（2n + 1），(n = 0、1