(完整版)三角函数公式大全 (2),推荐文档

1、trigonometric1. 诱导公式sin(-a) = - sin(a)cos(-a) = cos(a) sin(/2 - a) = cos(a) cos(/2 - a) = sin(a) sin(/2 + a) = cos(a) cos(/2 + a) = - sin(a) sin( - a) = sin(a)cos( - a) = - cos(a)sin( + a) = - sin(a)cos( + a) = - cos(a)2. 两角和与差的三角函数sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos()sin(b)cos(a + b) = cos(a)cos(b) - s

2、in(a)sin(b)sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)tan(a + b) = tan(a) + tan(b) / 1 - tan(a)tan(b)tan(a - b) = tan(a) - tan(b) / 1 + tan(a)tan(b)3. 和差化积公式sin(a) + sin(b) = 2sin(a + b)/2cos(a - b)/2sin(a) - sin(b) = 2sin(a - b)/2cos(a + b)/2cos(a) + cos(b) = 2c

3、os(a + b)/2cos(a - b)/2cos(a) - cos(b) = - 2sin(a + b)/2sin(a - b)/24. 积化和差公式sin(a)sin(b) = - 1/2cos(a + b) - cos(a - b)cos(a)cos(b) = 1/2cos(a + b) + cos(a -b)sin(a)cos(b) = 1/2sin(a + b) + sin(a - b)5. 二倍角公式sin(2a) = 2sin(a)cos(a)cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1= 1 - 2sin2a6. 半角公式sin2a = （1 cos

4、 2a）/ 2cos2a = （1 + cos 2a）/ 2tan a = 1 cos 2a /sin 2a = sin 2a / 1 + cos 2a 7. 万能公式sin(a) = 2tan(a/2) / 1+tan2(a/2)cos(a) = 1-tan2(a/2) / 1+tan2(a/2)tan(a) = 2tan(a/2) / 1-tan2(a/2)三角函数公式求助编辑百科名片三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数城。另一种定义是在直角三角形中，但并不

5、完全。现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。目录公式分类 同角三角函数的基本关系 平常针对不同条件的常用的两个公式 一个特殊公式 坡度公式 锐角三角函数公式 二倍角公式三倍角公式 三倍角公式 半角公式 万能公式其他 四倍角公式 五倍角公式六倍角公式 七倍角公式八倍角公式 九倍角公式十倍角公式n 倍角公式 半角公式 两角和公式三角和公式 和差化积积化和差 双曲函数 三角函数的诱导公式（六公式） 万能公式 其它公式内容规律公式分类 同角三角函数的基本关系 平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式 坡度公式锐角三角函数公式 二倍角公式三倍角公式 三倍角公式 半角

6、公式万能公式 其他四倍角公式 五倍角公式 六倍角公式 七倍角公式 八倍角公式 九倍角公式 十倍角公式 n 倍角公式 半角公式 两角和公式 三角和公式 和差化积 积化和差双曲函数 三角函数的诱导公式（六公式） 万能公式 其它公式内容规律展开编辑本段公式分类同角三角函数的基本关系倒数关系：tan cot=1 sin csc=1 cossec=1 商的关系：sin/cos=tan=sec/csc平方关系：平常针对不同条件的常用的两个公式一个特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos

7、(a-)/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sin（a+）*sin（a-） 坡度公式我们通常把坡面的铅直高度 h 与水平高度 l 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h / l,坡度的一般形式写成 l : m 形式，如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦： sin= 的对边/ 的斜边余弦：cos= 的邻边/ 的斜边正切：tan= 的对边/ 的邻边余切：cot= 的邻边/ 的对边二倍角公式正弦sin2a=2sinacosa 余弦正切tan2a=（2tana）/（1-tan2(a)） 三倍角公式

8、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosa sin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-

9、sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30

10、)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 现列出公式如下：sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan ） cos2=cos-sin=2cos-1=1-2sin可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用，包括在一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3=3sin-4sin=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos- 3cos=4coscos(/

11、3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan&s(/2)其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n

12、=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanatanbtan(a+b)+tana+tanb-tan(a+b)=0四倍角公式sin4a=-4*(cosa*sina*(2*sina2-1) cos4a=1+(-8*cosa2+8*cosa4)tan4a=(4*tana-4*tana3)/(1-6*tana2+tana4)五倍角公式sin5a=16sina5-20sina3+5sinacos5a=16cosa5-20cosa3+5cosa tan5a=tana

13、*(5-10*tana2+tana4)/(1-10*tana2+5*tana4)六倍角公式sin6a=2*(cosa*sina*(2*sina+1)*(2*sina-1)*(-3+4*sina2) cos6a=(-1+2*cosa)*(16*cosa4-16*cosa2+1)tan6a=(-6*tana+20*tana3-6*tana5)/(-1+15*tana-15*tana4+tana6)七倍角公式sin7a=-(sina*(56*sina2-112*sina4-7+64*sina6) cos7a=(cosa*(56*cosa2-112*cosa4+64*cosa6-7) tan7a=ta

14、na*(-7+35*tana2-21*tana4+tana6)/(-1+21*tana2-35*tana4+7*tana6)八倍角公式sin8a=-8*(cosa*sina*(2*sina2-1)*(-8*sina2+8*sina4+1) cos8a=1+(160*cosa4-256*cosa6+128*cosa8-32*cosa2)tan8a=-8*tana*(- 1+7*tana2-7*tana4+tana6)/(1-28*tana2+70*tana4-28*tana6+tana8)九倍角公式sin9a=(sina*(-3+4*sina2)*(64*sina6-96*sina4+36*si

15、na2-3) cos9a=(cosa*(-3+4*cosa2)*(64*cosa6-96*cosa4+36*cosa2-3) tan9a=tana*(9-84*tana2+126*tana4-36*tana6+tana8)/(1- 36*tana2+126*tana4-84*tana6+9*tana8)十倍角公式sin10a=2*(cosa*sina*(4*sina2+2*sina-1)*(4*sina2-2*sina-1)*(- 20*sina2+5+16*sina4)cos10a=(-1+2*cosa2)*(256*cosa8-512*cosa6+304*cosa4- 48*cosa2+1

16、)tan10a=-2*tana*(5-60*tana2+126*tana4-60*tana6+5*tana8)/(- 1+45*tana2-210*tana4+210*tana6-45*tana8+tana10)n 倍角公式根据棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n)为方便描述，令 sin=s，cos=c考虑 n 为正整数的情形：cos(n)+ i sin(n) = (c+ i s)n = c(n,0)*cn + c(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + c(n,4)*c(n- 4)*(i s)4 + . +c(n,1)*c(n-1)*(i s)1 +

17、c(n,3)*c(n-3)*(i s)3 +c(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + =比较两边的实部与虚部实部：cos(n)=c(n,0)*cn + c(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + c(n,4)*c(n-4)*(i s)4 +. i*(虚部)：i*sin(n)=c(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + c(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + c(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . 对所有的自然数 n：1. cos(n)：公式中出现的 s 都是偶次方，而 s2=1-c2(平方关系)，因此全部都可以改成以 c(也就是 cos)表示。2. sin(n)：(1)

18、 当 n 是奇数时：公式中出现的 c 都是偶次方，而 c2=1-s2(平方关系)， 因此全部都可以改成以 s(也 就是 sin)表示。(2) 当 n 是偶数时：公式中出现的 c 都是奇次方，而 c2=1-s2(平方关系)， 因此即使再怎么换成 s，都至少会剩 c(也就是 cos)的一次方无法消掉。(例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa) sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)

19、=sin(a)/(1+cos(a)半角公式两角和公式两角和公式cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos -cossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota) cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)三角和公式sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)

20、=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)和差化积sin+sin =2sin(+)/2 cos(-)/2和差化积公式sin-sin=2cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos= -2sin(+)/2sin(-)/2tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb) tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1

21、+tanatanb)积化和差sinsin=-cos(+)-cos(-) /2 coscos=cos(+)+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2双曲函数sh a = ea-e(-a)/2 ch a = ea+e(-a)/2 th a = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）= sin cos（2k+）= cos tan（2k+）= tan cot（2k+）= cot 公式二：设 为任意角，+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（+）= -s

22、in cos（+）= -cos tan（+）= tan cot（+）= cot 公式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin（-）= sin cos（-）= -cos tan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系：sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot 公式六：/2 及 3/2

23、 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）= cos cos（/2+）= -sin tan（/2+）= -cot cot（/2+）= -tan sin（/2-）= cos cos（/2-）= sin tan（/2-）= cot cot（/2-）= tan sin（3/2+）= -cos cos（3/2+）= sin tan（3/2+）= -cot cot（3/2+）= -tan sin（3/2-）= -cos cos（3/2-）= -sin tan（3/2-）= cot cot（3/2-）= tan(以上 kz)asin(t+)+ bsin(t+) =(a+2abcos(-) sint +

24、 arcsin (asin+bsin) / a2 +b2+2abcos(-) 表示根号,包括中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公 式 一 ： sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan 公式二：sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin 公 式 三 ： sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin 公式四：sin(-) = sincos(-) = -cos公 式 五 ： sin(+) = -sin cos(+) = -cos 公 式 六 ： tana= sina/cosatan（/2+）=cot tan（/2）=cot ta

25、n（）=tan tan（+）=tan诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式万能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2) cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2)tan=2tan(/2)/1-(tan(/2)其它公式三角函数其它公式(1) (sin)2+(cos)2=1（平方和公式） (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2证明下面两式，只需将一式,左右同除(sin)2，第二个除(cos)2 即可(4)对于任意非直角三角形，总有tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 证：a+b=-ctan(a+b)=tan(-c)

26、(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tan-tanc)/(1+tantanc)整理可得tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 得证同样可以得证,当 x+y+z=n(nz)时，该关系式也成立由 tana+tanb+tanc=tanatanbtanc 可得出以下结论(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1 (6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2) (7)(cosa)2+(cosb)2+(cosc)2=1-2cosacosbcosc (8)（sina)2+(sinb)2+(sin

27、c)2=2+2cosacosbcosc 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2幂级数展开式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+ x rcos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ x r arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (

28、|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1)无限公式sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92) cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252)tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+ secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 - (x1)和自变量数列求和有

29、关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2) cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2)sin(nx/2)/sin(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx) sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinx cosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就

30、会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：根据三角函数定义推导公式根据右图，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cos=x/y深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导sin(a+b) = sinacosb+cosasinb 为例： 推导：首先画单位圆交 x 轴于 c，d，在单位圆上有任意 a，b 点。角 aod 为，bod 为 ，旋转 aob 使 ob 与 od 重合，形成新 aod。a(cos,sin),b(cos，sin),a(cos(-),sin(-) oa=oa=ob=od=1,d(1,0)cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2 与(a-b)/2） 单位圆定义单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数