(完整版)史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结,推荐文档

1、二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1. 定义：一般地，如果 y = ax 2 + bx + c(a, b, c 是常数， a 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数.2. 二次函数 y = ax 2 的性质（1） 抛物线 y = ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.（2） 函数 y = ax 2 的图像与a 的符号关系.当a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当a 0 时，开口向上；当a 0 （即a 、b 同号）时，a对称轴在 y 轴左侧； b 0 ,与 y 轴交于正半轴； c 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在

2、 y 轴右侧，则 b 0 时开口向上当 a 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上） d = 0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 d 0 抛物线与 x 轴相离.（4） 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 + bx + c = k 的两个实数根.（5） 一次函数 y = kx + n(k 0)的图像l 与二次函数 y = ax 2 + bx + c(a 0)的图像y = kx + ng 的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两y = ax 2 +

3、bx + c组不同的解时 l 与g 有两个交点; 方程组只有一组解时 l 与g 只有一个交点；方程组无解时 l 与g 没有交点.（6） 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴两交点为 a(x ，0)，b(x ，0)，由于 x 、 x 是方程ax 2 + bx + c = 0 的两个根，故1212第二部分 典型习题.抛物线 yx22x2 的顶点坐标是（d）a.（2，2）b.（1，2）c.（1，3） d.（1，3）.已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ c）ab0，c0 ab0，c0ab0，c0

4、ab0，c0第,题图第 4 题图.二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c0.如图，已知 中，bc=8，bc 上的高 ，d 为 bc 上一点， ，交ab 于点 e，交ac 于点 f（ef 不过 a、b），设 e 到 bc 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ ）.抛物线 y = x2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 a、b 两点，则 ab 的长为 4 6. 已知二次函数 ykx2(2k1)x1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x1x2 ），则对于下列结论：当 x2

5、时，y1；当 xx2 时，y0；方程kx2(2k1)x -10 有两个不相等的实数根 x 、 x ； x - 1， x 1 ；1212x x，其中所有正确的结论是（只需填写序号）14k 221k7. 已知直线 y = -2x + b(b 0)与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点 b，且它的顶点 p 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 b 作直线 bcab 交x 轴交于点 c，若抛物线的对称轴恰好过 c 点， 试确定直线 y = -2x + b 的解析式.解

6、：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10 , - b2 +16b +100 ) ，由题意得24-2 b +10 + b = - b2 +16b +100 ，解得b= -10, b= -6 .2412（2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 （1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时

7、输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,a(-2) 2 + b(-2) + c = 5c = -3a = 1b则a 02 + b 0 + c = -3,即2a - b = 4 ,解得 = -2a + b + c = -4a + b = -1c = -3故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x 3 9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前

8、两昼夜的体温变化情况绘下图请根据图象回答：第 9 题制成第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是 391 y = -x 2 + 2x + 24(10 x 22) 1610. 已知抛物线 y = ax2 + ( 4 + 3a)x + 4 与 x 轴交于3a、b 两点，与 y 轴交于点 c是否存在实数a，

9、 使得abc 为直角三角形若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 c 的坐标为（0，4）设点 a、b 的坐标分别为（ x1 ，0），（ x2 ，0），由ax2 + ( 4 + 3a)x + 4 = 0 ，解得x = -3 ， x= - 4 3123a点 a、b 的坐标分别为（-3，0），（ - 43a，0）ao2 + oc 2 ab =| - 4 + 3 |， ac =3a= 5 ，bo2 + oc 2| - 4 |2 +42 3abc = ab 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 3 4 + 9 = 16- 8 + 9 ，3a9a23a9a2aac 2 =

10、25 ， bc 2 = 169a2+16 当 ab2 = ac 2 + bc 2 时，acb90由 ab2 = ac 2 + bc 2 ，得 16 - 8 + 9 = 25 + ( 16 +16) 9a 2解得aa = - 1 49a2 当a = - 1 时，点 b 的坐标为（ 16 ，0）， ab2 = 625 ， ac 2 = 25 ， 439bc 2 = 400 9于 是 ab2 = ac 2 + bc 2 当a = - 1 时，abc 为直角三角形4当 ac 2 = ab2 + bc 2 时，abc90由 ac 2 = ab2 + bc 2 ，得25 = ( 16 - 8 + 9) +

11、 ( 16 + 16) 9a 2a9a 2解 得 a = 4 9当a = 4 时， - 493a=44 39= -3 ，点 b（-3，0）与点 a 重合，不合题意当bc 2 = ac 2 + ab2 时，bac90由bc 2 = ac 2 + ab2 ，得 169a 2解得 a = 4 不合题意9+16 = 25 + ( 169a 2- 8 + 9) a综合、，当a = - 1 时，abc 为直角三角形411. 已知抛物线 yx2mxm2.5（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 a、b 分别在原点的两侧，并且 ab，试求 m 的值；（2） 设 c 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原

12、点对称的两点m、n，并且 mnc 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)（x1，0）,b(x2，0) . 则 x1 ，x2 是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即 m2 ;5又 abx1 x2 （+ ）x 2 - 4x x =,121 2m24m3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 .（2）m(a，b)，则 n(a，b) .m、n 是抛物线上的两点, -a2 + ma - m + 2 = b,l-a2 - ma - m + 2 = -b.l得：2a22m40 . a2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 m、n.2

13、 - m a = .2 -m这时 m、n 到 y 轴的距离均为,又点 c 坐标为（0，2m）,而 sm n c = 27 ,2 - m1 2 （2m）=27.2解得 m=7 .12. 已知：抛物线 yax24axt 与 x 轴的一个交点为 a（1，0）（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标；（2）d 是抛物线与 y 轴的交点，c 是抛物线上的一点，且以ab 为一底的梯形 abcd 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）e 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点 e 在（2） 中的抛物线上，且它与点 a 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在

14、点 p，使ape 的周长最小?若存在，求出点 p 的坐标； 若不存在，请说明理由解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x 轴的一个交点为 a（1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标为（3，0）（2） 抛物线 yax24axt 与 x 轴的一个交点为 a（1， 0）， a(1)24a(1)t0 t3a yax24ax3a d（0，3a）梯形 abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线yax24ax3a 上， c（4，3a）ab2，cd4 梯形 abcd 的面积为 9，1 ( ab + cd) od9 21 (24) 3a9 2 a1所求抛物线

15、的解析式为 yx24x3 或（3） 设点 e 坐标为（ x0 ， y0 ）.依题意， x00 ，y- x2 - 4ax -y00，0且 y 5 y 5 x 0x202 0设点 e 在抛物线 yx24x3 上， y x24x 3 0005x- 1 y0x0 ,x - 6，0 2解方程组y x22 4x 3得 0 y015； y5 000 04 点 e 与点 a 在对称轴 x2 的同侧，点 e 坐标为（ - 125， ）4设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 p，使ape 的周长最小 ae 长为定值，要使ape 的周长最小，只须 pape 最小 点 a 关于对称轴 x2 的对称点是 b（3，0），

16、 由几何知识可知，p 是直线 be 与对称轴 x2 的交点 设过点 e、b 的直线的解析式为 ymxn ， 15m1 ,-mn ,解得2 243mn0.n 3 .直线 be 的解析式为 y 1 x 3 把 x2 代入上式，得 y 1 222122点 p 坐标为（2， ）设点 e 在抛物线 y- x2 - 4x - 3 上，y - x2 - 4x - 3 000 y 5 x ,解方程组 02 0消去 y3，得x 2 +x 030 y - x2 - 4x - 3. 000002 0 .此方程无实数根1综上，在抛物线的对称轴上存在点 p（2， ），使ape 的周长最小2解法二：（1） 抛物线 yax

17、24axt 与 x 轴的一个交点为a（1，0），a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3a令 y0，即ax24ax3a0 解得 x 1， x 3 12 抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标为（3，0）（2）由 yax24ax3a ，得 d（0，3a） 梯形 abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线yax24ax3a 上， c（4，3a）ab2，cd4 梯形 abcd 的面积为 9，1 ( abcd) od9 解得 od32 3a3 a1 所求抛物线的解析式为 yx24x3 或 yx24x3 （3）同解法一得，p 是直线 be 与对称轴 x2 的交点如图，过点 e 作 eqx 轴于点

18、 q设对称轴与x 轴的交点为 f由 pfeq，可得 bf pf 1 pf pf 1bqeq1点 p 坐标为（2， ）2以下同解法一5522413. 已知二次函数的图象如图所示（1） 求二次函数的解析式及抛物线顶点 m 的坐标（2） 若点 n 为线段 bm 上的一点，过点 n 作 x 轴的垂线，垂足为点 q当点 n 在线段 bm 上运动时（点 n 不与点 b，点 m 重合），设 nq 的长为 l，四边形 nqac的面积为 s，求 s 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3） 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 p，使pac 为直角三角形?若存在， 求出所有符合条件的点 p 的坐标；若

19、不存在，请说明理由；（4） 将oac 补成矩形，使oac 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式 y = a(x + 1)(x - 2) ， - 2 = a 1 (-2) a = 1 y = x 2 - x - 2 其顶点 m 的坐标是 1 ，- 9 24 （2）设线段 bm 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 n 的坐标为 n（t，h）， 0 = 2k + b，3- 9 =1 k + b.解得k =2 ， b = -3 42 线段 bm 所在的直线的解析式为 y = 3 x

20、- 3 2 h = 3 t - 3 ，其中 1 t 2 s = 1 1 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1 t +12222342s 与t 间的函数关系式是s = 3 t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是421 t ac ，所以边 ac 的对角apc 不可能是直角（4） 以点 o，点 a（或点 o，点 c）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 oa（或边 oc）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点d（1，2），以点 a，点 c 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 ac 的对边，-上，如图 b，此时未知顶点坐标是 e- 1 2 ，f 4

21、， 8 5 5 55 图 a图 b14. 已知二次函数 yax22 的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数解：根据题意，得 a21. a1 这个二次函数解析式是 yx2 - 2 因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 ab5cm，拱高 oc0.9cm，线段 de 表示大桥拱内桥长， deab，如图（1）在比例图上，以直线 ab 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标

22、系，如图（2）（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；2（2）如果 de 与 ab 的距离 om0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： 1.4 ，计算结果精确到 1 米）解：（1）由于顶点 c 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为yax2 9 10因为点 a（ - 5 ，0）（或 b（ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0a (- 5 )2 9 ，22得a 18 1252101251022标为 9 ，所以 9= 18x29 ，得x55202 ， 9），20125点 e 的坐标为（1052 ，94）420420因此所求函数解析式为 y 1

23、8 x 2 9 (- 5 x 5 ) 2（2） 因为点 d、e 的纵坐所以点 d 的坐标为（所以de 52(- 52)5 2 442因此卢浦大桥拱内实际桥长为5 2 11000 0.01275 385 （米）2216. 已知在平面直角坐标系内，o 为坐标原点，a、b 是x 轴正半轴上的两点，点a 在点 b 的左侧，如图二次函数 yax2bxc （a0）的图象经过点a、b，与 y 轴相交于点 c（1） a、c 的符号之间有何关系?（2） 如果线段 oc 的长度是线段 oa、ob 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；3（3） 在（2）的条件下，如果 b4， ab4，求 a、c 的值 解:（1）

24、a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0（2） 证明：设点 a 的坐标为（ x1 ，0），点 b 的坐标为（ x2 ，0），则0x1x2 oa = x1 ， ob = x2 ， oc = c c据题意， x1 、 x2 是方程ax2bxc = 0(a 0) 的两个根 x1 x2 =a由题意，得oaoboc 2 ，即 c c 2c2 a所以当线段 oc 长是线段 oa、ob 长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当b = -4 时，由（2）知， x xb40 ，a012 a a (x1x2)2 - 4x1x2解法一：aboboa x x ，21 ab = ab = 4=( 4 )2

25、4( c )aa3， 2=16 - 4aca22 3a33 4得a = 1 c2.a2解法二：由求根公式， x 4 16 - 4ac 4 16 - 4 2 3 ，2a2aa x 2 -3 ， x 2 + 3 1a2a2 3 aboboax x 2 +3 2 3 21aaa33 ab4， 23 4，得a 1 c2a217. 如图，直线 y = -a、b 两点3 x +33分别与 x 轴、y 轴交于点 a、b，e 经过原点 o 及（1）c 是e 上一点，连结 bc 交 oa 于点 d，若codcbo，求点 a、b、c的坐标；（2） 求经过 o、c、a 三点的抛物线的解析式：（3） 若延长 bc 到

26、p，使 dp2，连结 ap，试判断直线 pa 与e 的位置关系， 并说明理由解：（1）连结 ec 交x 轴于点 n（如图）3a、b 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点a（3，0），b(0, 3) 又codcbo cboabc c 是的中点 ecoa3 on = 1 oa = 3 , en = ob =22223 ,-2连结 oe3）2ec = oe =nc = ec - en =3 c 点的坐标为（32（2）设经过 o、c、a 三点的抛物线的解析式为 y = ax(x - 3)3 c（ 3 ,-2） -3 = a 3 ( 3 - 3) a = 2 3 222 29 y =2 3 x2 -