单向分组资料的方差分析

1、第二节,单向分组资料的方差分析,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,第二节,单向分组资料的方差分析,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,设有,K,个处理，每处理均有,n,个供试单位的资料，其方差,分析表为,方差分析表,变异来源,处理间,误差,总变异,自由度,DF,平方和,SS,均方,MS,K,1,K,n,1,nK,1,SS,t,SS,e,SS,T,S,t,2,S,e,2,F,值,S,t,2,S,e,2,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,1.1,单向分组资料方差分析数据

2、的基本模式,表,每组具,n,个观察值的,k,组样本的符号表,组别,1,J,k,1,X,11,X,12,X,1j,X,1n,2,X,21,X,22,X,2j,X,2n,i,X,i1,X,i2,X,ij,X,in,n,X,1n,X,2n,X,jn,X,kn,总和,T,1,T,2,T,i,T,k,平均,均方,x,1,x,2,S,S,2,1,2,2,x,i,x,k,S,i,2,S,k,2,T,x,ij,x,x,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,计算公式,上述资料的自由度和平方和的分解式为,总自由度组间自由度,组内自由度,nk,1,k,1,k,n,1,总平方和组间平方和,组内平方和,SS,

3、T,x,ij,x,2,n,x,i,x,2,x,ij,x,i,2,1,i,1,i,1,j,1,nk,k,k,n,SS,T,x,ij,x,2,n,x,i,x,2,x,ij,x,i,2,i,1,j,1,i,1,i,1,j,1,k,n,k,k,n,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,总平方和,SS,T,总变异是,nk,个观察值的变异，平方和,SS,T,为,SS,T,x,x,x,2,2,x,nk,2,T,x,nk,2,2,T,C,nk,2,2,2,式中,C,称为矫正数,T,2,SS,T,x,x,C,nk,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,组间变异即,k,个平均数的变异，故其自由

4、度为,k,1,平方,和,SS,t,为,SS,t,n,x,i,x,2,组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组,2,具有,n,1,个自由度，平方和为,x,ij,x,i,而总共有,k,组资料,故组内自由度为,k,n,1,，而组内平方和,SSe,为,2,SSe,x,ij,x,i,SS,T,SS,t,i,1,j,1,k,n,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,均方的计算,总均方,组间均方,组内均方,变异来源,处理间,总变异,SS,T,S,nk,1,2,T,SS,t,S,k,1,2,t,2,e,SS,e,S,k,n,1,F,值,S,t,2,S,e,2,方差分析表,平方和,SS,自由度

5、,DF,均方,MS,SS,t,SS,T,K,1,S,t,2,处理内,误差,SS,e,K,n,1,nk,1,S,e,2,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,1.2,例题,以,A,B,C,D4,种药剂处理水稻种子，其中,A,为对,照，每处理得,4,个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和,平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异,表,水稻不同药剂处理的苗高,药剂,A,18,21,20,13,总和,平均数,72,18,B,20,24,26,22,92,23,C,10,15,17,14,56,14,D,28,27,29,32,116,29,T,336,21,假设,H,0,1,2

6、,2,2,H,A,1,2,2,2,显著水平,0.05,DF,1,3,DF,2,12,时,F,0.05,(3,12,3.49,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,计算过程,a,分解自由度,总自由度,组间自由度,组内自由度,nk,1),k,1),k,n,1,4,4,1,4,1,4,4,1,15,3,12,b,分解和平方和,总平方和,2,T,2,SS,T,x,x,C,nk,2,SS,T,x,ij,x,n,x,i,x,x,ij,x,i,2,2,2,i,1,j,1,i,1,i,1,j,1,k,n,k,k,n,SS,T,x,ij,x,n,x,i,x,x,ij,x,i,2,2,2,1,i,1,i

7、,1,j,1,nk,k,k,n,x,2,18,2,20,2,21,2,32,2,623,C=336,16,21,SS,T,623-21=602,组间平方和,SS,t,n,x,i,x,T,i,n,C,2,2,72,2,92,2,56,2,116,2,4,21,504,组内平方和,SS,e,总平方和组间平方和,602,504,98,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,C,计算均方,SS,T,总均方,S,602,15,40.13,nk,1,2,T,SS,t,组间均方,S,k,1,2,t,2,e,504,3,168.0,SS,e,组内均方,S,98,12,8.17,k,n,1,1,组内观察

8、值数目相等的单向分组资料的方差分析,d,计算,F,值（列出方差分析表,方差分析表,变异来源,自由度,DF,平方和,SS,均方,MS,处理间,误差,总变异,K-1,K(n-1,nk-1,SS,t,SS,e,SS,T,S,t,2,SS,t,df,1,S,e,2,Ss,e,df,2,F,值,F=S,t,2,S,e,2,平方和,自由度,均方,F,3,12,F,0.05,SSt,504 3,S,t,2,504/3=168,S,t,2,S,e,2,20.56,3.49,SS,e,SS,T,SS,t,98 12,S,e,2,98/12,8.17,F,0.01,SS,T,602 15,S,T,2,602/15

9、=40.13 5.74,e,多重比较,计算平均数的标准误,1,组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,采用新复极差法，查,SSR,表，自由度为,12,时,平均数大小排序、比较,处理,苗高,显著性,0.05 0.01,Se,2,8,17,SE,1,43,n,4,p,SSR,0.05,SSR,0.01,LSR,0.05,LSR,0.01,2,3.08,4.32,4.40,6.18,3,3.23,4.55,4.62,6.51,4,3.33,4.68,4.76,6.69,f,结论,本试验中不同处理间有极显著差异,F,值,20.56F,01,值,5.47,其中在,05,水平上,D,处理与其他处理有显

10、著,差异,B,处理与,A,C,处理有显著差异,在,01,水平,D,处理与,A,C,处理间有显著差异,B,处理与,C,处理有显,著差异。其他处理间差异均不显著,D 29 a A,B 23 b AB,A 18 c,BC,C 14 c C,第二节,单向分组资料的方差分析,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,设有,K,个处理，每处理中的观察值数目分别为,n,1,1,2,n,2, nk,的资料，其数据类型如表,21,20,25,3,24,22,其方差分析表为,方差分析表,变异来源,自由度,DF,处理间,误差,总变异,29,24,22,25,25,23,29,31,24,26,20,21,28

11、,25,21,26,平方和,SS,均方,MS,2,F,值,30,27,26,K,1,n,i,k,n,i,1,n,x,x,x,x,i,i,S,t,2,2,S,t,2,S,e,2,i,S,e,2,x,2,C,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,例,调查,4,种不同类型的水稻田,28,块，每田稻纵卷叶螟的百,丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异,a,分解自由度,总自由度,28-1=27,处理间自由度,k-1=3,处理内自由度,27,3,24,表,4,块稻田的虫口密度,1,12,13,14,15,15,16,2,14,10,11,13,14,11,3,9,2,10,11,12,1

12、3,4,12,11,10,9,8,10,b,计算平方和,C,327,2,28,3 818.89,SS,T,x,2,C,4 045-3 818.89=226.11,2,2,SS,n,x,x,T,i,n,C,SS,t,t,i,102,2,7+73,2,6+80,2,8+72,2,7-C,96.13,SS,e,SS,T,SS,t,129.98,17,T,i,102,73,12,11,80,12,72 T=327,10.29,x,11,68,x,i,14.57,12.17,10.0,n,i,7,6,8,7 N=28,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,C,计算均方,SS,T,总均方,S,2

13、26.11,15,40.13,nk,1,2,T,SS,t,组间均方,S,k,1,2,t,2,e,96.13,3,32.04,SS,e,组内均方,S,129.98,24,5.42,k,n,1,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,d,计算,F,值（列出方差分析表,方差分析表,变异来源,自由度,DF,平方和,SS,均方,MS,处理间,误差,总变异,K-1,K(n-1,nk-1,SS,t,SS,e,SS,T,S,t,2,SS,t,df,1,S,e,2,Ss,e,df,2,F,值,F=S,t,2,S,e,2,平方和,自由度,均方,F F,0.01,SSt,96.13 3,S,t,2,96.1

14、3/3=32.04,S,t,2,S,e,2,5.91,4.72,SS,e=129.98 24,S,e,2,129.98/24,5.42,SS,T,226.11 27,计算新的,n,0,值,n,n,i,n,0,2,2,2,2,2,e,多重比较,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,2,i,n,i,k,1,2,28,7,6,8,7,n,0,6,98,7,28,4,1,计算平均数的标准误,采用新复极差法，查,SSR,表，自由度为,12,时,平均数大小排序、比较,p,2,SSR,0.05,3.08,处理,虫口密度,显著性,SSR,0.01,4.32,0.05 0.01,LSR,0.05,2.

15、71,A,14.57,a A,B,12.17,ab,AB,LSR,0.01,3.80,D,10.29,b B,C,10.0,b B,Se,2,5,42,SE,0,88,n,7,3,3.23,4.55,2.84,4.00,4,3.33,4.68,2.93,4.12,2,组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,处理,虫口密度,显著性,0.05 0.01,A,14.57,a A,B,12.17,ab,AB,D,10.29,b B,C,10.0,b B,f,结论,本试验中不同处理间有极显著差异,F=5.91F,01,4.72,其中在,05,和,01,水平,上第,1,块田与第,3,4,田的虫口密度有

16、显著差,异，其他处理间差异均不显著,第二节,单向分组资料的方差分析,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,假设某系统资料共有,L,组，每组内又分为,m,个亚组，每,一个亚组内有,n,个观察值的资料见下表,表,组内分亚组的,lmn,个观察值,组别,亚组,1,2,1,X,i11,X,i12,X,i1k,x,i1n,T,i1,T,1,T,2,2,X,i21,X,i22,X,i2k,X,i2n,T,i2,T,i,i,j,X,ij1,X,ij2,X,ijk,X,ijn,T,ij,m,X,im1,X,im2,X,imk,X,imn,T,im,T,L,T,L,Tij,Ti,x,ij,x,i,1,x,i,

17、2,x,ij,x,im,x,i,x,1,x,2,x,i,x,L,x,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,这种组内又分亚组的单向分组资料简,称,系统分组资料,能够获得此类资料的试,验设计成为,巢式设计,Nested design,方差分析表,变异来源,组间,自由度,DF,L-1,平方和,SS,均方,MS,F,值,2,mn,x,i,x,S,t,2,2,S,t,2,S,e1,2,S,e1,2,S,e2,2,组内亚组间,L(m-1,亚组内,Lm(n-1,n,x,ij,x,i,x,x,2,S,e1,2,S,e2,2,x,x,ij,2,总变异,Lmn-1,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,例

18、,在温室内以,4,种培养液培养某作物，每种,3,盆，每盆,4,株,一个月后测定其株高生长量，结果见表，试作方差分析,表,4,种培养液下的株高增长量,培养液,盆号,生长量,A1,50,55,40,35,180,A,A2,35,35,30,40,140,495,41.3,A3,45,40,40,50,175,B1,50,45,50,45,190,B,B2,55,60,50,50,215,625,52.1,B3,55,45,65,55,220,C1,85,60,90,85,320,C,C2,65,70,80,65,280,880,73.3,C3,70,70,70,70,280,D1,60,55,35

19、,70,220,D,D2,60,85,45,75,265,775,64.6,D3,65,65,85,75,290,总和,L=4,m=3,n=4,Tij,Ti,T=2775,x,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,假设,H,0,K,t,2,0,H,A,K,t,2,0,培养液间,显著水平,0.05,L=4,m=3,n=4,a,自由度的分解结果见下表,变异来源,自由度,DF,L-1=3,b,平方和的分解,2775,C,160429,69,4,3,4,2,培养液间,培养液内盆间,L(m-1)=8,盆内株间,2,Lm(n-1)36,Lmn-1=47,总变异平方和,2,2,SS,T,x,C,2,总变

20、异,50,55,75,172025,C,11595,31,培养液间平方和,495,625,880,775,SSt,C,C,7126,56,mn,3,4,T,i,2,2,2,2,2,培养液间平方和,T,SSt,mn,2,i,C,495,2,625,2,880,2,775,2,3,4,C,167 556.25-C=7 126.56,培养液内盆间间平方和,SSe,1,2,T,ij,n,2,T,i,mn,(1802+1402+2902)/4,167 556.25,168 818.75,167 556.25=1 262.50,T,盆内植株间平方和,SSe,x,n,2,2,ij,2,172 025-168

21、 818.75=3 206.25,c,计算均方,培养液间,MS,t,SS,t/(L-1)= 7 126.56,3=2375.52,培养液内盆间,MS,e1,SS,e1,L(m-1)= 1 262.50,8=157.8,盆内植株间,MS,e2,SS,e2,Lm(n-1)= 3 206.25,36,89.063,d,计算,F,值（列出方差分析表,方差分析表,变异来源,培养液间,自由度,DF,L-1=3,平方和,SS,7127,1262,均方,MS,2375.5,157.8,F,值,15.0,1.8,F,0.05,4.07,2.22,培养液内盆间,L(m-1)=8,盆内株间,总变异,Lm(n-1)3

22、6,Lmn-1=47,3206,11595,89.1,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,e,多重比较,表,4,种培养液的,LSR,值,Se,157,8,SE,3,63,n,3,4,2,P,2,SSR,0.05,3.26,3,3.39,4,3.47,12.60,LSR,0.05,11.83,12.31,4,种培养液植株生长量的差异显著性,培养液,平均生长量,差异显著性,C,D,B,A,73.3,64.6,52.1,41.3,a,a,b,b,3,组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,结论,培养液间的生长量有显著的差异,F=15.0F.05,值,4.07,而同一培养液内各盆间的生长量无显著差

23、异,多重比较结果表示,A,B,处理与,C,D,处理之间有,显著差异,第三节,两向分组资料的方差分析,按两个因素交叉分组的试验资料称为两向分组,资料。如选用几种温度和几种培养基培养某病原,真菌，以研究其生长速率，其每一个观察值都是,某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，属,两向分组资料,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,2,组合内有重复观察值的两向分组资料,第三节,两向分组资料的方差分析,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,设有,A,和,B,两个因素,A,因素有,a,个处理,B,因素有,b,个处理，每一个处理组合仅有,1,个观察值，则全试验共有,ab,个观察值，其资料类型如下表,表,

24、完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值资料,A,因素,A1,A2,Aa,T.j,B1,X11,X21,Xa1,T.1,B,因素,B2,X12,X22,Xa2,T.2,Bb,X1b,X2b,Xab,T.b,Ti,T1,T2,Ta,T,x,i,x,1,x,2,x,a,x,x,j,x,1,x,2,x,b,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,方差分析表,变异来源,A,因素,B,因素,误差,总变异,自由度,DF,a,1,b,1,平方和,SS,均方,MS,F,值,2,SS,A,b,x,i,x,S,A,2,S,A,2,S,e,2,S,B,2,S,e,2,2,S,B,SS,B,a,x,j,x,2

25、,a,1)(b,1,SS,SS,SS,SS,S,e,2,e,T,A,B,ab,1,SS,T,x,ij,x,2,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,在上述资料中，如果存在,A,与,B,的互作，则与,误差混淆，无法分析互作，因此不能取得合理的试,验误差估计。只有,AB,互作不存在时，才能正确估,计误差。但在田间试验中，上述方差分析却是常见,的。因为在随机区组试验中，处理可以看作,A,因素,区组可以看作,B,因素；而区组效应是随机模型，处,理和区组的互作在理论上是不存在的，但这种试验,设计的误差项自由度一般不应小于,12,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,例,用生长素处理豌豆，共,6,个处

26、理。豌豆种子发芽后,分别在每一个木箱中移栽,4,株，每组,6,箱，每箱一个处理,试验共,4,组,24,箱。试验时按组编排于温室中，使同组各箱,的环境温度条件一致。记录第一朵花时,4,株豌豆的总节间,数，结果见下表。试作方差分析,表,生长素处理豌豆的试验结果,处理,A,组,B,I,II,III,IV,Ti,平均,对照,赤霉素,动力精,IAA,60,65,63,64,62,65,61,67,61,68,61,63,60,65,60,61,243,263,245,255,60.8,65.8,61.3,63.8,硫酸腺嘌呤,马莱酸,T.j,62,61,375,65,62,382,62,62,377,6

27、4,65,375,253,250,1509,63.3,62.5,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,方差分析表,变异来源,自由度,DF,平方和,SS,组间,处理间,误差,3,5,15,5.45,65.87,43.30,MS,1.82,F,值,1,13.17,4.52,2.89,总变异,23,114.62,推断,组间环境条件无显著差异，不同生长素处理有显著差异,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,处理与对照比较,2,Se,2,2,89,S,x,1,x,2,1,201,n,4,LSD,0,05,1,201,t,0,05,15,1,201,2,131,2,56,LSD,0,01,1,201,

28、t,0,01,15,1,201,2,947,3,54,2,1,组合内只有单个观察值的两向分组资料,表,豌豆生长素处理后始花时的节间数,4,株总和,处理,平均数,与对照的差数,对照,赤霉素,60.8,65.8,5.0,动力精,IAA,硫酸腺嘌呤,61.3,63.8,63.3,0.5,3.0,2.5,马莱酸,62.5,1.7,第三节,两向分组资料的方差分析,2,组合内有重复观察值的两向分组资料,设有,A,和,B,两个,因素,A,因素有,a,个,处理,B,因素有,b,个,处理，每一个处理,组合有,n,个观察值,则全试验共有,abn,个,观察值，其资料类,型如下表,表,完全随机设计的二因素试验,每处理

29、组合有,n,个观察值资料,A,因素,A1,B,因素,B1,X,111,X,112,X,11n,X,211,X,212,X,21n,X,a11,X,a12,X,a1n,T,1,B2,X,121,X,122,X,12n,X,221,X,222,X,22n,X,a21,X,a22,X,a2n,T,2,Bb,X,1b1,X,1b2,X,1bn,X,2b1,X,2b2,X,2bn,X,ab1,X,ab2,X,abn,T,b,Ti,T,1,A2,T,2,Aa,T,a,T.j,T,2,组合内有重复观察值的两向分组资料,方差分析表,变异来源,A,因素,B,因素,AB,互作,误差,总变异,自由度,DF,a,1,

30、b,1,a,1)(b,1,ab,n,1,abn,1,平方和,SS,MS,2,SS,A,bn,x,i,x,SS,B,an,x,j,x,SS,AB,T,n,2,ij,S,A,2,S,B,2,S,AB,2,S,e,2,2,C,SS,A,SS,B,SS,e,SS,T,SS,A,SS,B,SS,AB,SS,T,x,ij,x,2,2,组合内有重复观察值的两向分组资料,各变异来源的期望均方,变异来源,MS,固定模型,期望均方,EMS,随机模型,2,t,2,A,因素,B,因素,AB,互作,误差,S,A,2,S,B,2,bnK,2,2,n,n,2,2,2,2,2,t,t,bn,2,t,bn,n,2,A,随机,B,固,定,2,2,t,anK,an,2,2,n,2,anK,2,t,S,