(完整版)数列知识点所有性质总结,推荐文档

1、一、等差数列1. 等差数列的定义： an - an-1 = d （d为常数）（ n 2 ）；2. 等差数列通项公式：a = a + (n -1)d = dn + a - d (n n *)，首项: a ，公差:d，末项: an111n- 7 -推广： an= am+ (n - m)d 从 而 d = an - am ；n - m3. 等差中项（1） 如果 a ， a ， b 成等差数列，那么 a 叫做 a 与b 的等差中项即： a = a + b 或2 a = a + b2（2） 等差中项：数列an 是等差数列 2an = an-1 + an+1 (n 2) 2an+1 = an + an+2

2、4. 等差数列的前 n 项和公式：s = n(a1 + an ) = na + n(n -1) d = d n2 + (a- 1 d )n = an2 + bnn212212（其中a、b是常数，所以当d0时，sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 2n +1 时， an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项s= (2n +1)(a1 + a2n+1 ) = (2n +1)a（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）2n+12n+15. 等差数列的判定方法n（1） 定义法：若 an - an-1 = d 或 an+1 - an = d (常数 n n * ) a 是

3、等差数列（2） 等差中项：数列an 是等差数列 2an = an-1 + an+1 (n 2) 2an+1 = an + an+2 数列an 是等差数列 an = kn + b （其中 k, b 是常数）。2（4）数列an 是等差数列 sn = an + bn ,（其中a、b是常数）。6. 等差数列的证明方法定义法：若 an - an-1 = d 或 an+1 - an = d (常数 n n * ) an 是等差数列7. 提醒：（1） 等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个

4、元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2） 设项技巧：一般可设通项 an = a1 + (n -1)d奇数个数成等差，可设为， a - 2d , a - d , a, a + d , a + 2d （公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为， a - 3d , a - d , a + d , a + 3d ,（注意；公差为 2 d ）8.等差数列的性质：（1） 当公差 d 0 时，等差数列的通项公式an = a1 + (n -1)d = dn + a1 - d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ；前 n 和 s= na+ n(n -1) d = d n2+ (a

5、 - d )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.n12212（2） 若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0，d 0由 n+1 0 可得 sn 达到最大值时的 n 值（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 a 0由an 0可得 s 达到最小值时的 n 值或求a 中正负分界项1nnan+1 0法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对p + q称轴最近的整数时， sn 取最大值（或最小值）。若s p = s q则其对称轴为n = 2注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运

6、用条件转化为关于 a1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列1. 等比数列的定义： an = q (q 0)(n 2,且n n * )， q 称为公比an-12. 通项公式：a = a qn-1 = a1 qn = a bn (a q 0, a b 0)，首项： a ；公比： qn1q11推广： a = a q n-m ，从而得 qn-m = an 或 q = n-m annm3. 等比中项amamab（1） 如果 a, a, b 成等比数列，那么 a 叫做 a 与b 的等差中项即： a2 = ab 或 a = 注意：同号的两个数才有等比中

7、项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2） 数列an 是等比数列 a 2 = a ann-1n+14. 等比数列的前 n 项和 sn 公式：(1) 当 q = 1 时， sn = na11a (1- qn ) a - a q(2) 当 q 1时， sn =1- q= 1n1- q= a1 - 1a1qn = a - a bn = a bn - a （ a, b, a , b 为常数）1- q- q5. 等比数列的判定方法（1） 用定义：对任意的 n,都有 a= qaan+1 =数q，(qa 0) a 为等比数列n+1n或为常nnan（2） 等比中项： an2 = an+1an

8、-1 （ an+1an-1 0） an为等比数列（3） 通项公式： an = a bn (a b 0) a n为等比数列（4） 前 n 项和公式： sn= a - a bn或为常n= 数a bn - a (a, b, a , b ) an 为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若 an = q (q 0)(n 2,且n n * )或 a= qa a为等比数列7. 注意an-1n+1nn（1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 sn ，其中 a1 、 q 称作为基1本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2

9、 个，即知 3 求 2。（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； an= a qn-1如奇数个数成等差，可设为，8. 等比数列的性质(1) 当q 1时aa2, a, aq, aq 2 （公比为 q ，中间项用 a 表示）； qq等比数列通项公式 a = a qn-1 = a1 qn = a bn (a b 0)是关于 n 的带有系数的类指数函数，底为公比 qn1qa (1- qn ) a - a qnaa前 n 项和 s = 1= 111 - 1 qn = a - a bn = a bn - a ，系数和常数项是互为相反n1- q1- q1- q1- q数的类指数函数，底数为公

10、比 q(2) 对任何 m,n n * ,在等比数列an 中,有 an= a mqn-m ,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t n * ),则 a a = a a .特别的,当 n+m=2k 时,得 a a = a 2nmstnmk注： a1 an = a2 an-1 = a3an-2 (4) 列a ,b 为等比数列,则数列 k,k a ,a k ,k a ann nnan n (k 为非零常数) 均为等比数列.bn bn n(5) 数列an为等比数列,每隔 k(k n * )项取出一

11、项( am , am+k , am+2k , am+3k , )仍为等比数列(6) 如果an是各项均为正数的等比数列,则数列loga an 是等差数列(7) 若an为等比数列,则数列 sn ， s2n - sn ， s3n - s2n , ，成等比数列(8) 若an为等比数列,则数列 a1 a2 an ,an+1 an+2 a2n ,a2n+1 a2n+2 a3n 成等比数列(9) 当 q 1 时，当0q 0，则为an递增数列a10，则为an递减数列 a10，则为an递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列.(10) 在等比数列a 中, 当

12、项数为 2n (n n * )时, s奇 = 1 ,.ns偶q(11) 若an是公比为 q 的等比数列,则sn+m = sn+ qn s m三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义an+1 -an =d(n 1) ； an -an-1 =d(n 2)an+1 =q(n 1) , an =q(n 2) anan-12、通项公式an = a1 + (n- 1)dan = am + (n- m)d(n, m n* )n-1an = a1 qn-man = am q3、前 n 项和(a1 + an)nsn = 2s = n+ n(n - 1) dna1 2q=1 , sn =n

13、a1;q 1,s = a (1-qn )1a -a nq1=n1-q1-q4、中项a+ba、a、b 成等差数列 a=；2an 是其前 k 项 an-k 与后 k 项an+k 的等差中项，a+a即： an = n-kn+k 2aba、a、b 成等比数列 = aa（不等价于 a2 =ab ，只能 ）;an 是其前 k 项 an-k 与后 k 项an+k 的等比中项，即： a2 =a ann-kn+k5、下标和公式若 m+n=p+q,则am + an = ap + aq特别地,若 m+n=2p,则am + an = 2 ap若 m+n=p+q,则 am an = ap aq 特别地,若2m+n=2p

14、,则 am an = ap6、首尾项性质等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首尾两项的和, 即：a1 + an = a2 + an-1 = k = ak + an-(k -1)等比数列的第 k 项与倒数第 k 项的积等于首尾两项的积, 即：a1 an = a2 an-1 = k = ak an-(k -1)7、结论 an 为等差数列,若 m,n,p 成等差数列,则am , an , ap 成等差数列 an 为等比数列,若 m,n,p 成等差数列,则am , an , ap 成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列 an , bn 的公差分别为 d , e ,则数列 an +

15、bn 仍为等差数列，公差为 d + e（两个等比数列的积仍是等比数列） 等比数列 an , bn 的公比分别为 p, q ,则数列 an bn 仍为等比数列，公差为pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为 2d取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新2数列仍为等比数列，且公比为 q若am =n,an =m(m n), 则 am+n = 0无此性质；若sm =n,sn =m(m n), 则 sm+n = -（m + n)无此性质；若 sm = sn (m n),则sm+m = 0无此性质；sm , s2m - sm , s3m - s2m ,k 成等差数列，公差为

16、m2dsm , s2m - sm , s3m - s2m ,k 成等差数列，公比为qm当项数为偶数 2n 时， s偶 - s奇 = nd当项数为偶数 2n 时， s偶 = qs奇当项数为奇数 2n - 1时，s奇 = an s偶an+1当项数为奇数 2n - 1时， s奇 - s偶 = a中s= (2n - 1) a， s 奇 = n2n-1中s偶n -1s奇 = a1 + q s偶8、等差(等比) 数列的判断方法定义法：an - an-1 = d(n 2)等差中项概念；2an = an-1 + an+1 (n 2)函数法：an = pn+ q( p,q为常数) 关于 n 的一次函数 数列an

17、 是首项为 p+q，公差为 p( 0)的等差数列；数列an 的前 n 项和形如 s = an2 + bnn(a，b 为常数)，那么数列an 是等差数列，定义法： an = qan-1等差中项概念；a a= a2 (a 0)n n+2n+1n函数法： a = cqn ( c， q 均为不为 0n的常数， n n+ )，则数列an是等比数列数列an 的前 n 项和形如sn = aq -n a ( a， q 均为不等于 0 的常数且 q1)，则数列an是公比不为 1的等比数列9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列“”“”at the end, xiao bian gives you a pass

18、age. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest rele