(完整版)椭圆十二大题型精华总结(含详解答案)(教师版),推荐文档

1、戴氏教育艰苦磨砺、勤思创新、疯狂追求椭圆十二大题型总结椭圆的定义和方程问题p(一)定义:151. 命题甲:动点到两点a, b 的距离之和pa + pb= 2a(a 0,常数); 命题乙: p 的轨迹是以 a、b 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 (b)a. 充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件f1f2= 42. 已知 f1 、 f2 是两个定点，且p 的轨迹是（d）a. 椭圆 b.圆 c.直线 d.线段3. 已知 f1 、 f2 是椭圆的两个焦点,若动点 p 满足p 是椭圆上的一个动点,如果延长则动点pf1 + pf2= 41f pq到 , 使pq = pf2得

2、,那么动点q 的轨迹是( b)a. 椭圆 b.圆 c.直线 d.点x24. 椭圆+25y 2on9 = 1上一点 m 到焦点 f1 的距离为 2， n 为 mf1 的中点， o 是椭圆的中心，则的值是 4 。225. 选做：f1 是椭圆 x + y= 1 的左焦点，p 在椭圆上运动，定点 a（1，1）， 95| pa | + | pf1 |的最小值。| pa | + | pf1 |=| pa | +2a- | pf2 | 2a- | af2 |= 6 -2求 解：x2+y 2=15 - kk - 3(二)标准方程求参数范围1. 试讨论 k 的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（略）2. “

3、m n 0”是“方程mx 2 + ny 2 = 1表示焦点在y轴上的椭圆”的(c) a.充分而不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件x = 1- 3y 23. 若方程 x 2 sina+ y 2 cosa= 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，a所在的象限（a） a.第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限4. 方程所表示的曲线是椭圆的右半部分.x2 + ky2 = 25. 已知方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 k1 。(三)待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，5）

4、，椭圆上一点 p 到两焦点的距离之和为 26；y 2 + x 2 = 1169144（2） 长轴是短轴的 2 倍，且过点（2，6）；y 2+x 2=1,或x 2+y 2=1521314837p1( 6,1), p2 (- 3,- 2)x 2 + y 2 = 193（3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.c = 8, e = 232. 简单几何性质1 求下列椭圆的标准方程（1）；（2）过（3，0）点，离心率为焦点到椭圆的最近距离是y 2 + x2 = 1,或 x 2 + y 2 = 19129123e =63。y 2 + x 2 = 1, 或 x 2 + y 2

5、= 11448014480y 2+x2=1,或x2+y2=127993（3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，。（4） 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为y 2+x 2=1,或x 2+y 2=116251625（5） 已知 p 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 p 到两焦点的距离分别为332 54 5和，过 p 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。y 2 +3x21,或 x 2 + 3 y 2 = 1510x 2 + y52 =10f1 b 0)=3过椭圆 a 21(ab2的左焦点作 x 轴的垂线交椭圆于点 p

6、，f 为332（焦点椭圆系f1 pf2 =60共 焦，点则，椭相圆同的离离心心率率为x 2+y2=12591a椭圆相同的焦点焦距x 2+y 2=1(0k1(ab0)a 2b2则dpf1f2 的面积为4. 已知 ab 为经过椭圆点，则afb 的面积的最大值为 cb 。（七）焦点三角形|1| |2|的中心的弦，f(c,0)为椭圆的右焦x21. 设椭圆 9y 2 =+41p的两焦点分别为f1和f2，为椭圆上一点，求pf2pf1 pf2的最大值，并求此时点的坐标。x=y2212. 椭 圆 9 +2f1、，点 p 在椭圆上，若，则2 ； f1pf2 =+x2y 2 94 的焦点为120o。= 1ffpf

7、1 = 4pf2 =f pf3. 椭圆的焦点为 1 、 2 ， p 为其上一动点，当(- 3 5 , 3 5 )12 为钝角时，点 p 的横坐标的取值范围为55。（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：y 2 + x 2 = 12516x 2 + ( y + 3)2 +x 2 + ( y - 3)2 = 101. 点 m(x,y)满足b : (x - 3)2 + y2 = 64（），求点 m 的轨迹方程。p的轨a(-3,0)2. 已知动圆 p 过定点切，求动圆圆心，并且在定圆迹方程.的内部与其相内x 2 + y 2 = 11671c : (x + 3)2 + y2 = 4c2: (x - 3)2 +

8、 y 2 = 1003. 已知圆,圆，动圆 p 与 c1 外切，与c2 内切，求动圆圆心 p 的轨迹方程.解：由题| pc1 | + | pc2 |= r + 2 + 10 - r = 12所以点 p 的轨迹是：以c1 ， c2 为焦点的距离之和为 12 的椭圆。x 2 + y 2 = 1a(-c = 3, a = 16，方程为 362714. 已知,0)2， b 是圆f : (x -)2 + y 2 = 4f2（ 为圆心）上一动点,线段ab 的垂直平分线交 bf 于 p ,则动点 p 的轨迹方程为 x 2+4 y 2 = 135. 已知 a(0,-1),b(0,1),abc 的周长为 6，则

9、abc 的顶点 c 的轨迹方程是 x 2 + y 2 = 134 。直接法b(0,6)c(0,-6)x 2+ y 2 = 136816. 若dabc 的两个顶点坐标分别是和，另两边 ab 、 ac 的斜率-49的乘积是a相关点法，顶点 的轨迹方程为。pp7. 已知圆 x2 + y 2 = 9 ，从这个圆上任意一点 p 向 x 轴引垂线段 pp ，垂足为 p ， 点 m 在上，并且 pm = 2mp ，求点 m 的轨迹。x 2 +2 = y9x2 + y 2 = 18. 已知圆1，从这个圆上任意一点 p 向x 轴引垂线段 pp，则线段x 2 + 4 y 2 = 1pp的中点 m 的轨迹方程是。一

10、、直线和椭圆的位置关系9x2 +16 y2 = 144(一)判断位置关系 y = x + m1(当3)m相为离何。值时,直线l : y = x + m 和椭圆(1)相交；(2)相切；2解：由= 5，76当(2消去 y 得25x 2 + 32mx + 16m 2 -144 = 0 ，判别式： 时直线与椭圆相交；当 m = 5 时直线与椭圆相切；当k 5所d9以x + 16 y = 1445 -5 m2 )2m 5 时直线与椭圆相离。k 3632x2 + 3y 2 = 6线y = kx + 22 若直与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为。(二)弦长问题x 2y 21. 设椭圆c : a 2 +

11、b 2= 1(a b 0)l的左右两个焦点分别为f1 、 f2 ，过右焦点2,1)f2 且与 x 轴垂直的直线与椭圆 c 相交，其中一个交点为 m (。（1） 求椭圆的方程；x 2 + y 2 =142（2） 设椭圆 c 的一个顶点为 b（0，-b），直线 bf2 交椭圆 c 于另一点 n，求-2f2 ( 2,0)df1 bn 的面积。），2 4y 2 += 1 x 2x - y =2x - y =23解：由 （1）点 b（0，直线 bf2 的方程为：消去 y 得： 3x2 - 42 x = 0 ，解得x = 0 或 x = 4 2所以点 n 的坐标为（4 2 sdf1bndf1f2bdf1f

12、2 n= s+ s= 1 2 2(22 +32) = 83323，）所以x 2+y 2=1a 2b2(三)点差法bkmn 0 = -yx0b 2a 2定理在椭圆（ a 0）中，若直线l与椭圆相交于m、n 两点，点 p(x0 , y0 ) 是弦 mn 的中点，弦 mn 所在的直线l 的斜率为 kmn ，则.(1,1)4x 2 + 9 y 2 = 36bab1. 已知，一求直线与椭ab圆的方程.相交于 a、两点,弦的中点坐标为 x1 + x2 = 12 12 = 1 y + y解：设交点，则有2，4 x+ 9 y= 36ll(1)22114 x+ 9 y= 36ll(2)2222（2）-（1）得(

13、 y - (x - x )921 y )即21= -= k4，又直线 ab 过点（1，1）y - 1 = - 4 ( x - 1)所以直线 ab 的方程为：9直线 l 经过点 a(1，2)，交椭圆x+=y36161于两点 p 、1p ，24( x2 - x1 )( x2 + x1 ) + 9( y2 - y1 )( y2 + y1 ) = 0a( x1 , y1 )b( x2 , y2 )2.yp 1aoxp 2（1）若 a 是线段 p1p2 的中点，求 l 的方程；（2）求 p1p2 的中点的轨迹 解：（1）设p1(x1，y1)、p2(x2，y2)， x 2y 2 1 + 1 = 1则 36

14、16 2 + 2 = 1 x 2y 2 3616 (x1 - x2 )(x1 + x2 ) + ( y1 - y2 )( y1 + y2 ) = 0*3616a(1，2)是线段 p1p2 的中点，x1+x2=2，y1+y2=4， 2(x1 - x2 ) + 4( y1 - y2 ) = 0 ，即 y1 - y2 = - 2 。3616x1 - x29l 的方程为y = - 2 (x -1) + 2 ，即 2x+9y-20=09（2）设 p1p2 的中点 m(x，y)，则 x1+x2=2x，y1+y2=2y，k =y - 2x -1代入*式，得k = y1 - y2 = - 4x ，又直线 l

15、经过点 a(1，2)，x1 - x29 y 2 + ( y -1) 2 =(x - 1 )2521091整理，得 4x(x-1)+9y(y-2)=0，p1p2 的中点的轨迹：。(四) 定值、定点问题1、已知动直线 y = k (x +1) 与椭圆c : x2 + y 2553= 1 相交于 a 、 b 两点,已知点证明：设交点由消去 y 得(1+ 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + 3k 2 - 5 = 0则有ma mb = ( x +)( x +) + y y = (1 + k) x x + (+ k )( x + x ) + k7727249213231 21 23129=49所以

16、 ma mb 为定值uuur uuur232131ma = ( x + 7 , y ), mb = ( x + 7 , y )1 + 3k 2= 3k 2 - 51 2, x x1 + 3k 22- 6k12x + x =x 2+ 3 y =2 5 y = k( x + 1)a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )m (- 7 , 0)3uuur uuur， 求证：ma mb 为定值.19. 已知椭圆 c 中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，短轴长为 2 3 (1) 求椭圆 c 的标准方程；(2) 若直线l ：y = kx + m (k 0)与椭圆交于不同的m、n两点（ m

17、、n 不是椭圆的左、右顶点），且以 mn 为直径的圆经过椭圆的右顶点 a 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标解: （）设椭圆的长半轴为 a ，短半轴长为b ，半焦距为 c ，则2c = 2,2b = 2 3,a2 = b2 + c2 ,a = 2,b =3,解得 椭圆 c 的标准方程为x2 + y2 = 143 4 分(3+ 4k 2 )x2 + 8kmx + 4m2 -12 = 0 .6 分由题意 = (8km)2 - 4 (3 + 4k 2 )(4m2 -12) 0 ，整理得： 3 + 4k 2 - m2 07 分设 m (x1, y1 )、n (x2 , y2 )，则， x x =

18、4m2 -128kmx1 + x2 = - 3 + 4k 21 23 + 4k 2 8 分由已知， am an ，且椭圆的右顶点为，(2, 0)a(x1 - 2)(x2 - 2)+ y1y2 = 0 .10 分即(1+ k 2 )x1 x2 + (km - 2)(x1 + x2 )+ m2 + 4 = 0 ，也即(2 )4m2-121+ k3 + 4k 2+ (km - 2 )-8km3 + 4k 2+ m2+ 4 = 0 ，2k整理得7m2 +16mk + 4k 2 = 0 解得 m = -2k .11 分或m = -，均满足7当 m = -2k 时，直线l 的方程为舍去；当 m = - 2

19、k 时，直线l 的方程为 7 y = kx - 2k ，过定点(2, 0) ，不符合题意( 2 , 0)7y = k x - 2 ，过定点，713 分2故直线l 过定点，且定点的坐标为( , 0) 7xoy20. 在直角坐标系中，点 m 到 f1 (- 3, 0) 、f2 ( 3, 0) 的距离之和是 4，点 4 x2 + y2 = 1 y = kx + m3（）由方程组消去 y ，得xm的轨迹c 与 轴的负半轴交于点 a ，不过点 a 的直线l ： y = kx + b 与轨迹pc交于不同的两点和q uuur uuur(1) 求轨迹c 的方程；(2) 当 ap aq= 0 时，求 k 与b

20、的关系，并证明直线l 过定点解：（1）点m 到(- 3, 0) ， ( 3, 0) 的距离之和是 4，m 的轨迹c 是长轴长为 4，焦点在 x 轴上焦距为 2 3 的椭圆，其方程为42y = 1x2 +3 分y = kx + b（2）将，代入曲线c 的方程，整理得(1+ 4k 2 )x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 05 分因为直线l 与曲线c 交于不同的两点 p 和q ，所以d = 64k 2b2 - 4(1+ 4k 2 )(4b2 - 4) = 16(4k 2 - b2 +1) 0 x1 x2 =4b2 - 41+ 4k 2y ) ， 则 x + x = -8kb，设 p(x1

21、y1)q(x2 2y 1 y =2 (kx +1 b)(kx +2b) = k 2 x x1 +2 kb(x +1x ) +2 b2 7 分且121+ 4k 2x显然，曲线c 与 轴的负半轴交于点 a(-2, 0) ，uuuruuuruuur uuur所以 ap = (x1 + 2, y1) ， aq = (x2 + 2, y2 ) ，由 ap aq = 0 ，得(x1 + 2)(x2 + 2) + y1y2 = 0 将、代入上式，整理得12k 2 -16kb + 5b2 = 0 ，10 分所以(2k - b)(6k - 5b) = 0 ，即b = 2k 或b = 6 k 经检验，都符合条件5

22、当b = 2k 时，直线l 的方程为 y = kx + 2k 显然，此时直线l 经过定点(-2, 0) 点即直线l 经过点a ，与题意不符当b = 6 k 时，直线l 的方程为5y = kx + 6 k = k (x + 5) 显然，此时直线l 经过定56a, 0)点(- 6点，且不过点5综上， k 与b 的关系是： b = 6 k ，且直线l 经过定点(- 6 , 0) 点13 分5542=y1x2 +三、最值问题5. 已知 p 为椭圆上任意一点，m（m，0）（mr），求 pm 的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设 p(x,y)，用距离公式表示出 pm，利

23、用二次函数思想求最小值。(x - m)2 + y2(x - m)2 + 1 - x243x2 - 2mx +14解：设 p(x,y)，pm=34(x -)2 + 1- 34mm23=34m（1）-2，即 m2，即 m时，(pm)=|m-2|.23min说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为 b，最远的点是长轴端点，最大值为 a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为 a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；42y = 1x2 +6. 在椭圆求一点 p，是它到直线 l：x+2y+10=0 的距离最小，并求最大最小值。目标：复习研究

24、圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线 l 平行的椭圆的切线与直线 l 之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。x2 + 2y = 1x + 2 y + m = 04解法一：设直线 m：x+2y+m=0 与椭圆相切，则 x2 + y2 = 1，消去 4x，得 8y2+4my+m2-4=0,=0,解得 m= 2 2 .5|10 - 2 2 |当 m= 2 2 时，直线与椭圆的切点 p 与直线 l 的距离最近，最近为=25 - 2 105，此时点 p 的坐标是( - 2 , - 2 )；25|10 + 2 2 |当 m=- 2 2 时，直线与椭圆的切点 p

25、与直线 l 的距离最远，最远为=25 + 2 105222，此时点 p 的坐标是(,)。5| 2 cosp+ 2sinp+ 10 |52 2 sin(p+ p +)104解法二：设椭圆上任意一点 p(2cos,sin),0,2p) 则 p 到直线 l 的距离为=当 =时，p 到直线 l 的距离最大，最大为 2+ 2 10 此时点 p 的坐标54p5222是(,)；当 =时，p 到直线 l 的距离最小，最小为 2- 2 10 ，此时点 p 的坐545p5标是( - 2 , - 2 )。2说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。

26、在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。x2 + y2 = 1圆 9257. 设 ab 是过椭（1）若abf1 面积为 4中心的弦，f1 是椭圆的上焦点，5 ，求直线 ab 的方程；（ 2）求abf1 面积的最大值。解：（1）设 ab：y=kx，代入椭圆，得 x2=，x1=-x2=，又 ，sabf1= |of1|x1-x2|=2|x1-x2|=4 ，|x1-x2|=2，=5，k=，直线 ab 的方程为 y=x。（2）sabf1= |of1|x1-x2|=4，当 k=0 时，(sabf1)max=12。

27、9.设椭圆中心在坐标原点， a(2，0)，b(0 1) 是它的两个顶点，直线y = kx(k 0) 与 ab 相交于点 d ，与椭圆相交于 e 、f 两点aebfuuuruuur（1）若 ed = 6df ，求 k 的值；（2）求四边形面积的最大值42y = 1x2 +（1） 解：依题设得椭圆的方程为，直线 ab，ef 的方程分别为 x + 2 y = 2 ， y = kx(k 0) 如图，设(1+ 4k 2 )x2 = 4 ，故，其中x = -x =2121+ 4k 2d(x0，kx0，) ，e，(x1kx1)f (x2kx2 )x1 0 ， y2 = - y1 0 ，故四边形的面积为= x

28、2 + 2 y2aefs = sbef + s=(x + 2 y )2=x2 + 4y2 + 4x y 2(x2 + 4 y2 )22222 222= 2 2 ，当 x2 = 2 y2 时，上式取等号所以 s 的最大值为 2 2 四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆c 的两个焦点分别为 f1 (-1，0) 、 f2 (1，0) ，短轴的两个端点分别为b1 、 b2 。(1) 若 f1b1b2 为等边三角形，求椭圆c 的方程；(2) 若椭圆c 的短轴长为 2 ，过点 f2 的直线l 与椭圆c 相交于 p q 两点，且f1p f1quuuruuur，求直线l 的方程。（ a b 0 ）。x2+y

29、2 =1a2b2解：（1）设椭圆c 的方程为 x + 2y=21（2）容易求得椭圆c 的方程为。当直线l 的斜率不存在时，其方程为 x = 1 ，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y = k (x -1)y = k (x -1) 。由 x2 2 + y2 = 12222，得(2k +1)x - 4k x + 2(k -1) = 0 。2(k 2 -1)， x1 x2 =2k 2 +1则x1 + x2 =4k 22k 2 +1，设f1p = (x1 +1，y1)uuurp(x1，y1) ， q(x2，y2 ) ， f1q = (x2 +1，y2 ) ，uuuruuuruuu

30、ruuuruuur因为 f1p f1q ，所以 f1p f1q= 0 ，即(x +1)(x +1) + y y = x x + (x + x ) +1+ k 2 (x -1)(x -1)121 21 21212121 2= (k 2 +1)x x - (k 2 -1)(x + x ) + k 2 +102k 2 +1= 7k -1 =2，k 2 = 17即 k = 77解得，。故直线l 的方程为 x + 7 y -1 = 0 或 x - 7 y -1 = 0 。22 =y1x 2 +11.如图，设椭圆的上顶点为 b，右焦点为 f，直线 l 与椭圆交于m、n 两点，问是否存在直线 l 使得 f 为方程；若不存在，说明理由。bmn 的垂心。若存在，求出直线 l 的根据题意知a = 2b41a2- b =2 1，解得 a2 =， b2 =，故椭圆c 的方程为。33 x2 + y2 =4133ybnfoxlm解：由已知可得，b(0，1)，f(1，0)，kbf=-1。bfl，可设直线 l 的方程为 y=x+m， 代入椭圆方程整理，得3x2 + 4mx + 2m2 - 2 = 0 。设 m (x1 y1 ) ， n (x2 y2 ) ，则 x + x = - 4m ，123x1 x2 =2m2 - 23。bnmf， y