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1、椭圆知识总结班级姓名(3) a f= a2 f2= a - c ; a1f2= a2 f1= a + c ;a - c pf1 a + c ;3椭圆的定义:平面内一个动点 p 到两个定点 f 、 f 的距离之和等于常数( pf+ pf = 2a f f ) , 这1 1 与的区别和联系12121 2个动点 p 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意:若( pf+ pf= f f ) ,则动点 p 的轨迹为线段 f f ;121 21 2若( pf + pf b 0) ,其中c 2 = a 2 - b 2a 2b 2 2. 当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程:
2、y 2 + x 2 =(a b 0) ,其中c 2 = a 2 - b2 ;知识点四:椭圆x y22+= 1a 2 b 2y 2 x 2(a b 0)+= 1标准方程x a+ y 2 =1b 2(a b 0)y 2 + a 2x 2 b 2= 1(a b 0)图形性质y焦点f1 (-c,0) , f2 (c,0)f1 (0,-c) , f2 (0, c)焦距f f= 2cf f= 2c1212范围x a , y bx b , y a对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点(a,0) ,(0,b)(0,a) ,(b,0)轴长长轴长= 2a ,短轴长= 2b离心率e = c (0 e b 0)
3、的相同y = a 2点:形c 状、大小都相同;参数间的2程,a 2 b 2 a 2 b 21注意:1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2. 在椭圆的两种标准方程中,都有(a b 0) 和c 2 = a 2 - b 2 ;3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 x 轴上时椭圆的焦点坐标为(c,0) , (-c,0) ;当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为(0, c) , (0,-c)知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆: x 2 + y 2 = (a b 0) 的简单几何性质a 2b 21(1) 对称性:对于椭圆标准方程 x 2 + y 2:b 2
4、 = 1 (a b 0)a 2说明:把 x 换成- x 、或把 y 换成- y 、或把 x 、 y 同时换成- x 、- y 、原方程都不变,所以椭圆x 2 y 2是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个+= 1a 2b2对称中心称为椭圆的中心。(2) 范围:椭圆上所有的点都位于直线 x = a 和 y = b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满2足 x a , y b 。注意:椭圆 x+= 1a 2b 21 a 2b 2关系都有(3) 顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。(a b 0) 和 = c, a 2 = b2 + c 2 ;椭
5、圆 x 2 + y 2 =(a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,1 e(0 e c 0) ,所以e 的取值范围是(0 e b 0) , (a c 0) ,且(a 2 = b 2 + c 2 ) 。可方程为 22。注意椭圆 x 2y 2的图像中线段的几何特征(如下图):借助右图理解记忆:显然: a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中 a 是斜边,b、c 为两条直(1)x + y = a;a 2 + ;b 2 = 12 ;角边。(2)( pf1pf2+= 2a)pf1 =pf2 pm 2pm1= e( pm1pm 2+ ;= 2a )c ;3. 如何由椭圆标准方程判断焦
6、点位置椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看 x 2 , y 2 的分母的大小,;( bf1 = bf2= a)( of1 = of2= c)a1b = a2 b =a 2 + b 2哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。ax + by = c4. 方程 ax 2 + by 2 = c( a, b, c均不为零)是表示椭圆的条件方程22可化为,即,所以只有 a、b、c 同号,且 a b 时,方程表ax 2 + by 2 =cc1 x 2 + by 2 =2b2径xya2200abcc12.点与椭圆的位置关系:(1)点 p(x0 , y0) 在椭圆外+ 1;(2)点 p(x
7、 , y ) 在椭圆 2200ab xyxy示椭圆。当 c c 时,椭圆的焦点在 x 轴上;当 c c 时,椭圆的焦点在 y 轴上。2222abab上 0 + 0 1;(3)点 p(x , y ) 在椭圆内 0 + 0 0 直线与椭圆相交;(2)相切: d = 0 直线与椭圆相切;(3)相离:x2 + y2d b 0) 共焦点的椭圆方程可设为 x 2y 2,+= 1a 2b2 + (m -= 1b )是(答:1,5)(5,+);此类问题常用待定系数法求解。7. 判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据:a 2 + mb2 + m4、焦半径(圆锥曲线上的点 p 到焦点 f 的距离)的计算方
8、法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r = ed = a ex0 ,其中 d 表示 p 到与 f 所对应的准线的距离。 若把曲线方程中的 x 换成- x ,方程不变,则曲线关于 y 轴对称;如(1)已知椭圆 x 2 + y 2 =1 上一点 p 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 p 到右准线的距离为(答: 若把曲线方程中的 y 换成- y ,方程不变,则曲线关于 x 轴对称;8. 如何求解与焦点三角形pf f (p 为椭圆上的点)有关的计算问题?x 2 2y 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成- x 、 - y ,方程不变,则曲线关于原点对称。10/3);25 161
9、 2(2)椭圆+= 1 内有一点 p(1,-1) ,f 为右焦点,在椭圆上有一点 m,使 mp + 2 mf之思路分析:与焦点三角形pf1f2 有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股4312定理)、三角形面积公式 s=pf pf sin f pf 相结合的方法进行计算解题。值最小,则点 m 的坐标为(答: ( 2 6 ,-1) );dpf1f212123将有关线段 pf1 、pf2 、f1f2 ,有关角f1 pf2( f1 pf2 f1 bf2 )结合起来,建立5、焦j点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:pf + pf 、 pf pf 之间的关系.s
10、= b2 tan= c | y |,当| y |= b 即 p 为短轴端点时, s的最大值为 bc;1212200max9. 如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e =c6、弦长公式:若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 a、b,且 x1, x2 分别为 a、b 的横坐标,1 + 1 k 2(0 e c 0 ,用 a、b 表示为e =(0 e 1)。显然:当越小时, e(0 e 1) 越大,椭圆1+ k 2a所在直线方程设为 x = ky + b ,则 ab y1 - y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点b形状越扁;当越大,
11、e(0 e b 0 )。方程 ax2 + by2 = c 表示椭圆如(1)如果椭圆 x2 y20= 1 弦被点 a(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是+的充要条件是什么?(abc0,且 a,b,c 同号,ab)。369:(1)( 以 22. 椭圆的几何性质椭圆x 2a+ y 2b 2 = 1( a b 0 )为例):范围:(答: x + 2 y - 8 = 0 );(2)已知直线 y=x+1 与椭圆x 2y2 a2 + b22= 1(a b 0) 相交于 a、b 两点,-a x a, -b y b ;焦点:两个焦点(c, 0) ;对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中
12、心(0,0),四个顶点(a, 0),(0, b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;准线:两条准线且线段 ab 的中点在直线 l:x2y=0 上,则此椭圆的离心率为(答:2);(3)试确定a2cx2 + y 2x = ;离心率: e =c,椭圆 0 e 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验d 0“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in ever
13、y wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of e
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