(完整版)椭圆常见题型与典型方法归纳,推荐文档

1、考点一 椭圆的定义椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点 f1, f2的距离的和等于常数2a(2a f1.f2) 的点的轨迹叫做椭圆.这两定点 f1 , f2 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.c椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e= (0e1)的动点 m 的a轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数 e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点 f1, f2 距离的和等于常数2a(2a = f1. f2 ) 的点的轨迹是线段 f1f2 ;当平面内与两个定点 f1, f2 距离的和等

2、于常数2a(2a b 0). 焦点的坐标分别为(-c, 0),(c, 0)y2x22222 焦点在 y 轴上标准方程是：a2+ 1（其中b b2= a - c,a b 0). 焦点的坐标分别为(0,-c),(0,c)x2y23 焦点位置判断哪项分母大焦点就在相应的轴上 如求+= 1的焦点坐标794 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为 mx2 + ny2 = 1（其中 m 0, n 0 ）例 已知椭圆过两点 a(15 ,-1), b(-3 , 2) ，求椭圆标准方程425 与 x 2 + y 2x 2a 2 + ka 2b 2 = 1（ab0）共焦点的椭圆为12yb 2 + + k=

3、17二 重难点问题探析:1.要有用定义的意识例 已知 f , f 为椭圆 x2 + y2= 1 的两个焦点，过 f的直线交椭圆于 a、b 两点若 fa + fb = 1212259122xy则 ab =。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭221m =圆+= 1的离心率为 ，。4m2练习.1 如果方程 x2 + ky2 = k 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为 2 点 p 在椭圆 x 2 + y 2 =1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点 p 的横坐标259标准方程2x2 + y = 1(a b 0) a2b2y2 + x2 = 1(a b 0)a22b图形m

4、f1f2mf1f2范围-axa,-by b-aya,-bxb对称性关于原点对称x 轴和 y 轴是椭圆的对称轴顶点(a, 0), (-a, 0), (0, b),(0, -b)(b, 0), (-b, 0), (0, a),(0, -a)离心率e = c (0,1)a焦点(c, 0),(-c, 0)(0, c), (0, -c)焦距f f= 2c （其中c2 = a2 - b2 ）12长轴长2a短轴长2b准线方程x = a2 cy = a2c通径二 典型练习d =2b2a考点三 椭圆的简单几何性质1. 椭圆x2 + y243= 1的长轴位于轴，长轴长等于；短轴位于 轴，短轴长等于；焦点在轴上 焦

5、点坐标分别是和 ；离心率 e = ；左顶点坐标是; 下顶点坐标是；椭圆上点的横坐标的范围是，纵坐标的范围是； x0 + y0 的取值范围是。2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3 倍 则椭圆的离心率（2） 若椭圆的长轴长不大于短轴长的2 倍 则椭圆的离心率 e （3） 若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形 则椭圆的离心率 e =。考点四 点、线与椭圆的位置关系关系一 点 p(x , y ) 和 椭 圆 x2 + y2 = 1(a b 0) 的位置00a2b2（1）点 p(x0, y0 ) 在椭圆外x0 2 +y0 2 1（2）点 p(x, y

6、) 在椭圆上 0x +20 =y 2010（3）点 p(x0, y0a2b2a2b2 01) 在椭圆内 0x+2 0 ;直线与椭圆相切 d = 0 ;直线与椭圆相离 d b 0), 左右两焦点分别为 f1 , f2 , 在焦点 pf1 f2 中，则q sdf pf = b2 tan1 22若f1pf2 最大，则点 p 为椭圆短轴的端点 cosq 1 - 2e2 .+x 2y 20例已知椭圆 a 2b 2 = 1(a b 0) 的两焦点分别为 f1, f2 , 若椭圆上存在一点 p, 使得f1 pf2 = 120 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。练习 已知椭圆的焦点是 f1(1，0)、 f2

7、(1，0)，p 为椭圆上一点，且 f1f2是 pf1和 pf2 的等差中项 求椭圆的方程； (2)若点 p 在第三象限，且 pf1f2 120求 tan f2 pf 考点六 椭圆标准方程的求法一 常用方法：1 定义法，2 待定系数法 步骤 定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点位置设出相应方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。3 当椭圆过两定点时，其标准方程可设为 mx2 + ny2 = 1(m0，n0)，二 应用示例1定义法例 1 已知abc 的顶点 b， c 的坐标分别为(-3，0，) (3 0) ， ab 边上的中线ce 与 ac 边上的中线 bf交于点g ，且gf +

8、ge = 5 ，求点g 的轨迹方程例 2 求到两定点 f1 (-3, 0), f2 (3, 0) 的距离和等于10 的点的轨迹方程练习 1 已知 b,c 是两个定点 bc 长等于 8，且abc 的周长等于 20，求顶点 a 的轨迹方程2 已知abc 三边 ab,bc,ca 的长成等差数列，且 ab 长大于 ca 长，点 b,c 的坐标为（-2，0），（2，0），求顶点 a 的轨迹方程，并说明它是什么曲线x2y23 已知椭圆 a2 + 25 = 1(a 5) 的两个焦点为 f1, f2 , 且 f1f2 = 8 ，弦 ab 过点 f1，则 abf2 的周长 4 椭圆的两个焦点是(- 6,0),(

9、6,0) ，过点( 6,1 ），求椭圆的方程。62 待定系数法 例 已知椭圆的焦距离为2且过点( 3， 2) ，求焦点在 x 轴上时的标准方程3轨迹法9例abc 的顶点 a,b 的坐标分别为（-4,0），（4,0）边 ac,bc 所在直线的斜率之积等于- ，求顶点 c 的轨迹方程，16并说明其轨迹是什么曲线；三 典型练习练习 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点 p 到两焦点距离之和等于 10；（2） 两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点(-3 , 5 ) ；2 23（3） 长轴长是短轴长的 3 倍，并且椭圆

10、经过点 a（-3，） 练习 2.已知点 p(3, 4)是椭圆 x 2 + y 2 1 (ab0) 上的一点， f , f 是它的两焦点，若 pf pf ，求a 2b 21212(1) 椭圆的方程(2) f2 pf1 的面积3 根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆 x2 + y2 = 共准线，且离心率为 1 (2) 已知 p 点在以坐标轴为对称 124202轴的椭圆上，点 p 到两焦点的距离分别为 435 和 235 ，过 p 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点考点七 椭圆定义与性质的应用一 定义的运用二 椭圆的几何性质应用1、基础知识 例 对椭圆x2 + y2259= 1 ，求（1）画出

11、草图（2）焦点，焦距（3）顶点，长轴的长，短轴的长，（4）离心率，（5）左右准线方程，（6）p 是椭圆上动点，则 p 到左焦点的距离最值.练习 求椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的 2 倍，经过点（4，0）（2）一个焦点为（2，0），经过点（-3，0）（3）一个焦点为(2,0)，一条准线方程为 x = -4 （4）长轴在 x 轴上，一条准线方程是 x = 3 ，离心率为532 离心率方法：求椭圆离心率 e 时，只要求出 a, b, c 的一个齐次方程，再结合 a2 = b2 + c2 就可求得 e(0e b 0)ab bfb 2上的两个顶点，f 是右焦点，若，求椭圆的离心率。练习 1x 2设已知

12、椭圆a 2+ y 2b 2 =1(ab0)的右焦点为 f, 右准线为l . 若过 f 且垂直于 x 轴的弦长等于点 f 到l 的距离, 求此椭圆的离心率.2 已知长方形 abcd，ab4，bc3，则以 a、b 为焦点，且过 c、d 两点的椭圆的离心率3(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为 f1 , f2 ，过 f2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 p，若 f1pf2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是4 已知椭圆 x2 + (m + 3) y2 = m (m 0)的离心率e =pf1f2 的面积；若不存在，说明理由，求 m 的值32“”“”at the end, xiao bian gives you

13、 a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace