2020年高考理数考前20天终极冲刺攻略：立体几何与空间向量Word版含答案.doc

1、核心考点解读-立体几何与空间向量平面的基本性质（I）空间点、线、面的位置关系（II）空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）空间向量在立体几何中的应用（II）p.j I1从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、 判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等2从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中 有关

2、角与距离的问题3从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式要注意结合空间几何体的特征严格推理论证1平面的基本性质熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关 系作简单的判断（2）掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面2空间直线、平面的位置关系（1）空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面判断依据：是否在同一个平面上；

3、公共点的个数情况理解平行公理与等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（2）直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交判断依据：直线与平面的公共点的个数理解直线与平面平行的定义 （3）空间两个平面的位置关系：相交、平行判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交3空间直线、平面平行的判定定理与性质定理线面平行的判定定理与性质定理1）线面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.符号语言： a 二:,b - x,a/b= a/k .要判定直线与平面平行，只需证明直

4、线平行于平面内的一条直线2）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的 交线与该直线平行符号语言：a/. ,a - =b= a/b.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言：a/ - ,b/ - ,a b：_ 丁，ab 二 P= ： / ： 要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线4）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：A 二 m

5、,：仃二 m/n 5）平行关系的转化线线平行J性质 线面平行L_：质 面面平行（2）直线、平面垂直的判定定理与性质定理1）线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直符号语言：I _ a,l _ b, a 二：jb 二：japlb = P= I _ ： 要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可2）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言：a=,b = a/b 此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直3）面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过

6、该直线的平面与已知平面垂直符号语言：a _, a - .要证明平面与平面垂直， 关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线4）面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：，:门：二 m, n 二：；一，n _ m= n _ ：.必须满足直线垂直于这两个平面的要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直, 交线.5）垂直关系的转化线线垂直判疋 线面垂直判疋 面面垂直L琏质-L桎质4. 空间向量在立体几何中的应用（1）空间向量的坐标运算设 a =(印，a2,a3), b= (Dbb)，则 a b =佝一九 a? b2,a3 b?)，a = (

7、印， a2, a3)(:- R)， a b 二 qd a2b? a3b3，a l b u b =，a u bi = a-i, b a2 ,b 1 a3( - R)，a _ b= a b = a1b1a2da3b3 = 0，a i a2 a； af af，a1b1a2b2 a3b3空 间 A(n, y“ w), B(X2,y2,Z2)两 点 间 的 距 离 为dAB = （X1 X2）2卜1 一 y2）2 （Z1 - Z2 ）2 .注意上述空间向量坐标运算公式的正确应用（2）直线的方向向量与平面的法向量i）直线的方向向量：与直线l平行的向量，记作I.ii）平面的法向量：若直线I ：，则该直线l的

8、方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作.：.iii）平面法向量的求法：设平面的法向量为=（x,y,z）.在平面内找出（或求出）两个.卫 a 二 0 不共线的向量a二(ai,a2,a3), b= (0,匕2,4)，根据定义建立方程组，得到p b = 0通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量(3) 利用空间向量证明空间线面平行、垂直设直线l,m的方向向量分别为I,m，平面:/-的法向量分别为，一：若 l / m，则 I 二 m ：= I - m(. - R)；若 l_m，则 l_m：= I m - 0 ；若 I / ：，则 I _ ： u I =0 ；若I _ ：，则该直线I的方向向量即为

9、该平面的法向量，可利用上述求法向量的过程 证明.若/ -，则：二：=:-=-尸 R)；若: _ ，U ： u :- = 0.(4) 利用空间向量求直线、平面所成的角设直线l,m的方向向量分别为I,m，平面:/的法向量分别为:J .直线l,m所成的角为二，则0 w n,计算方法：cost - I m ;2II|m|_ nI XJE直线I与平面0(所成的角为日，则0兰日兰一，计算方法：si=;2|I|aQla 1平面a严所成的二面角为 日，则0兰日兰n,计算方法：cosB =氓十，然后观察|円|叫直观图中所表示的二面角的平面角大小，以确定是锐二面角还是钝二面角(5) 利用空间向量求空间距离设点A是

10、平面:-外一点，B是平面:-内一点，平面的一个法向量为 ，则点A到TAB 平面a的距离为d =.a(6) 利用空间向量证明线面平行、垂直及计算空间角、距离的关键在于将所在直线的方向向量和平面的法向量正确表示，而正确表示直线的方向向量与平面的法向量的关键在于空间直角坐标系的正确建立及相关点的坐标的正确表示求解空间角时公式选用要正确，特别是直线与平面所成的角用向量表示时得到的是正弦值，而直线与直线所成的角与二面角则是余弦值，要注意区分真题回顾1. （ 2017高考新课标III，理16） a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边 AB以直线AC

11、为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB与a成60角时，AB与b成30角； 当直线 AB与a成60角时，AB与b成60角； 直线AB与a所成角的最小值为 45; 直线AB与a所成角的最大值为 60其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号）2. （2016高考新课标I，理11）平面a过正方体ABCD- A1B1C1D1的顶点A, a平面CB1D1 , al平面ABCD=m,oil平面ABBi Ai=n，贝U m, n所成角的正弦值为C.3. （2016咼考新课标II，理14） a, B是两个平面，m, n是两条直线，有下列四个命题: 如果m丄n, ml a, n/ 3,那么a丄3. 如果ml a

12、 , n / a,那么mln. 如果all 3, m- a,那么m/ 3 如果m/ n , all 3那么m与a所成的角和n与3所成的角相等其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）（2017咼考新课标（1）证明：平面 PAB丄平面FAD;(2)若 FA=FD=AB=DC, APD =90：,求二面角 A- FB- C 的余弦值5. （2017高考新课标II,理 19）如图，四棱锥 P- ABCD中，侧面FAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD ,1AB =BC AD, BAD =/ABC =90, E 是 PD 的中点.2(1)证明：直线CE /平面PAB;(2)点M在棱PC上，且直线 B

13、M与底面ABCD所成角为45，求二面角 M _ AB _ D的余弦值.6. (2017高考新课标川，理 19)如图，四面体 ABCD中，ABC是正三角形， ACD是直角三角形，/ ABD =/ CBD, AB=BD.(1) 证明：平面 ACD丄平面ABC；(2) 过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， 求二面角D -E-C的 余弦值7. (2016高考新课标I，理18)如图，在以A, B, C, D , E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD , fA-AFD =90、，且二面角 D- AF- E 与二面角 C- BE- F 都是 6

14、0 .(I) 证明：平面 ABEF _平面EFDC ;(II) 求二面角 E- BC- A的余弦值.8. (2016 高考新课标 III ,理 19)如图，四棱锥 P- ABC 中，PA丄底面 ABCD , AD / BC, AB=AD=AC =3 , FA=BC =4,M为线段 AD上一点，AM= 2MD , N为FC的中点(I) 证明MN /平面FAB;(II) 求直线AN与平面FMN所成角的正弦值I9. (2015高考新课标I，理18)如图，四边形ABCD为菱形，/ ABC=120 E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面 ABCD，DF 丄平面 ABCD , BE=2DF ,

15、AE丄 EC.(I) 证明：平面 AEC丄平面 AFC ;(II) 求直线AE与直线CF所成角的余弦值.名枚倾测A .充分不必要条件C.充要条件AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.KS5UKS5UKS5U1 .已知，1表示两个不同的平面，I表示一条直线，且 壽；，则I :是I /的B 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2 .如图，在四棱锥 P - ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，AB二AC = 2 , AD =2-一空,PB=3、,2 ,PB _ AC .(1) 求证：平面PAB _平面PAC ;(2) 若.PBA=45，试判断棱PA上是否存在与点 P , A不重合的点E

16、 ,使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为1 .在直三棱柱 ABC-AiBiCi中,AB = 1,AC = 2,BC = ,D,E分别是ACi和BBi的中点，则直线DE与平面BBiCiC所成的角为A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 2.如图，四棱锥 S ABCD 中，平面 SAD丄平面 SAB, BC丄 SA, NSAB = 2/BSA= 90 , BC/ AD ,AB =BCAD .2(i)证明：在线段 SA上是否存在点 E ,使得BE/平面SCD ;(2)求二面角B - SD - C的余弦值一”亠真题回顾：i 【解析】由题意， AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由

17、 AC a, AC b，又AC丄圆锥底面，所以在底面内可以过点 B，作BD / ，交底面圆C于点D，如图所示，连结DE,则DE丄BD, DE / b ,连结AD，等腰 ABD中，AB二AD =总2，当直线AB与a成60。角时，.ABD =60：，故BD =臣，又在Rt BDE中，BE =2DE ；2，过点B作BF / DE,交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知BF =DE =2,. ABF为等边三角形， ABF =60，即AB与b成60。角，正确，错误由图可知正确；很明显，可以满足平面ABC丄直线a，则直线AB与a所成角的最大值为 90错误.故正确的是2.A【解析】如图，设平面CBi DJ

18、平面ABCD = m,平面CBi DJ平面ABBiA = n,因为/平面CBQi,所以m/ m,n/ n，则m,n所成的角等于m,n所成的角过Di作DiE/ BiC，交AD的延长线于点E,连接CE ,则CE为m 连接AiB ,过Bi作BF / AB ,交AA的延长线于点R ,则B1F1为n.连接BD ,则BD/ CE B 1/A ,则m,n所成的角即为A|B, BD所成的角，为60中，故m,n所成角的正弦值为 23【解析】对于，m_ n,m _ ,n ：，则：，：的位置关系无法确定，故错误；对于，因为n/：,所以过直线n作平面 与平面:-相交于直线c,则n/c,因为m.二，所以m_c,所以m_

19、n，故正确； 对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确4. ( 1)由已知 BAP =/CDP =90，得AB丄AP, CD丄PD .由于AB/CD，故AB丄PD，从而AB丄平面PAD .又AB 平面PAB,所以平面 PAB丄平面 PAD.(2)在平面PAD内作PF _ AD，垂足为F，由(1)可知，AB _平面PAD，故AB _ PF，可得PF _平面ABCD 以 F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|益|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F - xyz.由(1)及已知可得 Af ,0,0) , P(0,0,2彳)，Bf1,。)，所以=w，CB

20、-C：2,0,0)AB =(0,1,0) 设 n=(x, y, z)是平面PCB的法向量，则n CB =0,、2.2门i x 十 v z = 0“22可取 n= (0,-1,一丿2).设 m = (x, y, z)是平面姻=0,PAB的法向量，则 = 0,即 J2 m AB=0,y=0.可取-阿).则E卡T所以二面角 A-PB-C的余弦值为一迈35. (1)取PA的中点F，连接EF , BF 因为E是PD的中点，所以EF / AD ,EF1-AD，2由 BAD =/ABC =90 得 BC / AD，又 BC/ BF .又 BF 二平面 PAB , CE 二平面 PAB ,= 4ad ，所以E

21、F丄BC ,四边形BCEF是平行四边形，CE 2故CE /平面PAB AB为单位长，建立如图所示的空间则 a 0,0,0 , B 1,0,0 , c 1,1,0 , P0,1,. 3 , PC =（1,0,3）, AB =（1,0,0），设 M x,y,z 0：x：1 ,BM=x -1, y, z , PM = （x, y T, z,因为BM与底面ABCD所成的角为45而n= 001是底面ABCD的法向量，所以cosBM, n)卜sin45*,z2 2 2x -1 yz2弋即x2 y 又 M 在棱 PC 上，设 PMPC，贝U x=，,y=1,z= 3 - 3，由解得x =12y =1（舍去）

22、,76z =21丘x = 1 _2y =1z =242464246所以 M（1 - 云，1,-），从而 AM = （1,12） 设m = , y,Z0是平面ABM的法向量，则m AM 二 0,m AB 二 0,即（2 - .2）沧-2y。6zc =0, iX0=,所以可取m =（0,-、6,2） 于是cos m, nm|nm n 10，因此二面角M - AB - D的余弦值为一卫556. (1)由题设可得， ABD CBD，从而AD =DC 又 ACD是直角三角形，所以 ADC =90 .取AC的中点O,连接DO, BO,则DO丄AC, DO=A O又由于 ABC是正三角形，故 BO _ AC

23、 所以.DOB为二面角D - AC- B的平面角在Rt AOB中，bo2 AO2 =AB2 又AB = BD ,所以bo2+do=bO+ aO= aB= bD 故 Z DOB=90.所以平面 ACD 丄平面 ABC .（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy z.则A 1,0,0 , B 0,、3,0 ,C -1,0,0 , D 0,0,1 .2由题设知，四面体ABC的距离为D到平面ABC的距离的-，即E为DB的中点，得E 0亚12 2 22 2故 AD - -1,0,1 , AC - -2,0,

24、0 ,AE - -1,In AD =0,设n = x, y,z是平面DAE的法向量，贝U即n AE = 0,x + z=0,V31-x y z = 0.22可取3口11丿设m是平面AEC的法向量，贝U m 仝m AE二0,同理可取=0,m = 0,-1, 3 .则 cos n, m =n|m所以二面角D-AE-C的余弦值为 77. (I)由已知可得 AF _ DF , AF-FE，所以AF _平面EFDC .又二F 平面ABE，故平面ABE-平面 EFDC .(II)过 D 作 DG _TEF，垂足为G，由（I）知DG _平面ABE.以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向,GF为单位长,建立如

25、图所示的空间直角坐标系 G XyZ由（I）知Z DFE为二面角D-AF-E的平面角，故DFE =60、,则 DF =2 , DG =3，可得 A(1,4,0 ), B(3,4,0 ), E卜3,0,0 ), D(0,0,V3)由已知，AB/EF，所以 AB/ 平面 EFDC 又平面 ABCD Pl 平面 EFDC 二 DC，故 AB/CD , CD/EF .由BE/AF，可得BE _平面EFDC，所以.C EF为二面角C - BE - F的平面角， C EF =60：.从而可得 C -2,0, -3 所以 EC 二 1,0,EB 0,4,0 , AC - -3,-4,、3 , AB - 4,0

26、,0 .设n = x, y, z是平面BC E的法向量，贝Un匹=0n EB 0，即Hx 亠. 3z = 0 ,4y =0所以可取n=3,0,.AC=0imm=0,、.3,4.则8. ( I)由已知得TNBC =2.2 AB 0n m,同理设m是平面 ABCD的法向量，则c 0 n m), n mAM =2AD =2 .取BP的中点T，连接AT,TN，由3又AD/BC,故TN=AM，四边形AMNT为平行四边形,PC中点知TN / BC ,MN . AT .因为AT 平面PAB, MN二平面PAB，所以MN/平面PAB.(II)取BC的中点E ,连结AE.由AB二AC得AE_ BC ,从而AE

27、_ AD，且22 I 2 BC 2 厂AE 二 AB -BE = AB -()=5.以A为坐标原点， AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz由题意知, 5P(0A4)，M(020)，C( “0)，川亍1,2)，羸=(0,2,一4),吕=(空1,一2)，和二2,1,2).可取 n = (0,2,1).设n = (x, y, z)为平面于是 | cos：, n, AN -1 =| n | AN |259.(I)连接BD，设BdTaC=G，连接EG , FG , EF，在菱形 ABCD中，不妨设 GB=1，由/ ABC=120 可得AG=GC= .3.由 BE丄平面 ABCD

28、 , AB=BC 可知，AE=EC，又: AE丄 EC,. EG=3 , EG丄AC,在 RtEBG 中，可得 BE= J2，故 DF =在Rt AFDG中，可得FG =在直角梯形 BDFE中，由BD=2,BEV , DF冷可得EF=竽，222EG FG =EF ，二 EG 丄 FG ,T AC AFG=G，二 EG丄平面 AFC,/ EG 二面 AEC,.平面AFC丄平面AEC.(II)如图，以G为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由(I )可得 A(0, -3 , 0), E(1,0,2), F( I,0, ), C(0

29、, 0) ,. AE =(1 ,3 ,2 ),2.所以直线 AE与CF所成的角的余弦值为CF=(-1，- 3, 2)故 cos：AECFAE CF 2I AE|CF |3广名校预测1 【答案】D【解析】由题意，:-,丨_ 一：，则I / ：或I二很，所以充分条件不成立；又当： 一：，1/ :时，不能得到l _ 一：，所以必要条件不成立，故选 D 2【解析】(1)因为四边形 ABCD是平行四边形， AD =22，所以BC二AD=2、2，又AB二AC = 2 , 所以 AB2 AC2 =BC2，所以 AC AB，又 PB AC，且 AB PB = B，所以 AC 平面 PAB , 因为AC二平面P

30、AC，所以平面PAB _平面PAC (2)由(1)知AC _ AB , AC _平面PAB，如图，分别以 AB, AC所在直线为x轴、y轴，平面PAB内 过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0) ,B(2,0,0),C(0,2,0),= (0,2,0) ,=(-2,2,0),由.PBA = 45,PB =3,2，可得 P(-1,0,3)，所以AP =(一1,0,3) , BP =(-3,0,3)，假设棱 PA上存在点 E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为彳，设囂=(0_ 则花F,。，3，in - BC = 0则，即、n BP = 0T T 4CE =AE - AC，-2,3 )，设平面 PBC 的法向量为 n= (x , y ,zlX + 2y = 0令z=1，可得x = y = 1，所以平面PBC的一个法向量为 n = (1,1,1)，设直线CE与平 -3x 建=0面PBC所成的角为则 sin v -|