2018届广州市天河高考一轮平面向量复习检测试题含答案

1、平面向量与三角形的应用举例一、平面向量与三角形的心1、重心（中线交点）(1)G是:ABC的重心GA 亠 GB 亠 GC = 0(2)G是:ABC的重心T T T TPG (PA PB PC)( p是平面上的点)证明:PB BG=PC CG 二 3PS=(AG BG CG)(PA PB PC)/ G是二ABC的重心GAG/GGBGCC=0gaggbgggo，即眾总毘局1由此可得pg (PA PB PC)。3TiT T T 片 T T T例如：已知向量 op,o&,oP3，满足条件 op+op + op = o, |op|=|oP2|=|oP3|=1，求证： RBP3是正三角形。分析：对于本题中的

2、条件容易想到，点0是也p F2 F3的外心，而另一个I I 4条件op op； op3 = 0表明，点o是二pP2 B的重心。故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形。又如，若 一个三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的。显然，本题中的条件|op=iop2円op =1可改为iop冃op2 i=|op3 |。2、垂心（高线交点）(1) H 是 ABC 的垂心二 HA *HB = HB *HC = HC *HA由 HAHB二 HB HC= HB(HC H=0二 HB AC=0二 HBAC，同理HC _AB，HA。故H是 ABC

3、的垂心。反之亦然。（2）H 是 ABC （非直角三角形）的垂心，则有S BHC : S.ahc : S.ahb = tanA：tan B ： tanC且 tan A HA tan B HB tan C HC = 03、外心（边垂直平分线交点，外接圆圆心）（1） O是 ABC的外心二OA -|O -|OC（点O到:ABC的三个顶点距离相等）（2）O是ABC的外心二- -(OA OB) AB 二(OB OC) BC 二(OC OA) CA = 0( O 为三边垂直平分线交点）（3）O是ABC的外心，则有S boc : SAOC : S aob =sin BOC: sin AOC: sin AOB

4、=sin2A:sin2B:sin2C且 sin 2 A OA sin 2 B OB sin 2C OC 二 0。4、内心（角平分线交点，内切圆圆心）(1) O 是 ABC 的内心二 a OA b OB c OC = 0(2)O 是 ABC 的内心=OA-AB ACOB *BA BCj-OC-CA cb|AB| | AC|BA| |BC|)=0|CA| |CB|(3)引进单位向量，使条件变得更简洁。记AB，BC，CA的单位向量为e，e；,e3，则O是AABC的内心：=OA (e e3) =OB (e e2) =OC (e, $)=0(4)O 是 ABC 的内心，则 S BOC : S AOC :

5、 S AOB =a ： b ： cOA b OB c OC =0或 sin A OA sinB OB sinC OC 二 0(5)P是ABC的内心：=| AB | PC|BC | PA |CA|PB=0二 p(6)向量（+）（九式0）所在直线过AABC的内心（是N BAC的角平分线所在直线）|AB| |AC|TiTT(7)设P是ABC所在平面内任意一点，I为ABC内心=pi二aPA bPB cPC例如：O是平面上一定点， A, B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA (上B吗)|AB| |AC|0, * ）则P的轨迹一定通过- ABC的（）A、外心B、内心C重心D、垂心分析：已

6、知等式即设 AE AB|AB|AC|显然AE,AF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为.ABC的平分线，选B5、外心与重心：若 0是 ABC的外心,G是重心OA OB 0COG 二6、外心与垂心：若 0是-ABC的外心,H是垂心证明：若电EC的垂此宵旳 外右対0 .如图连E0并延长交外接圆于D,连结AD, CD.AD 丄九CD 丄 BC 又垂 &为 H, AH 丄 EC, CELL AB j.AH/CDCH/AD,咒四边我AHCD为平疔四谨形,AH = CDO + OC r=0A + O30C 7、重心与垂心：若 G是 ABC的重心,H是垂心，则HG =HA HB

7、HC8外心、重心、垂心：若 O,G, H分别是锐角:-ABC的外心、重心、垂心，则OGOH31 证明：按重心定理： G是. ABC的重心二OG = （OA OB OC）； 3按垂心定理:oh =OA Ob oc，由此可得：OGhOH。39、三角形的外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线，即欧拉线；（2）三角形的重心在欧拉线上，且为外心、垂心连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距 离的2倍。证明：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如上图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B(Xi,O)、Cgyz)，D, E, F分别为AB, BC, AC的中点,r

8、/ Xx. +则有：D ( ,0)、E(XiX2 目2卜 f (生里)2 2 ) F( 2 , 2 )，X2y2由题设可设Q（夕y3）、H（X2y4），5于专）H=(X2,y4)，QF 二仔滲号-y3)，BC g-X1,y2)Xi/ AH _ BC = AH BC = x2(x2 - xj y2 y4 = 0Y2* i4QF _ AC = QF * AC = x2y2-y3) = 02 y2 2XiQH讥亏（簣一进严.QG X2 + 备X1里=(2X2 -X1y2X2(X2X)y2)2屜-3X2(x2 -xi)_(32, 3 y3) 6,3 2y22)1/2x2-m 3屜区 - xj =(6y

9、2322y2即 qH=3QG，故 Q,G, H 三点共线，且 QG :GH =1:2。、应用举例 1、已知O, n,p在也abc所在平面内，且 OA=OB=OC,NA+NB +NC = 0，且PA * PB = PB * PC = PC * PA，则点 O, N , P 依次是二 ABC 的(C )A、重心外心垂心B、重心外心内心C、外心重心垂心D、外心重心内心2、O是 ABC所在平面内的一点，满足OBOC OA，则点O是ABC的（D）A、三个内角的角平分线的交点B、三条边的垂直平分线的交点三条中线的交点D、三条高的交点解：由oAoB=oB3C=oC OA，得 OB(OAOC)= o,ob _

10、I0A1)=0. o是 ABC的垂心，即三条高的交点。3、在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式:,2,22 2 2 2|CA| =|OC| | AB|，则O为MBC的（D）A、外心B、内心 C 重心D、垂心4、已知.ABC, P为三角形所在平面上的动点，且满足:PA局PA忌后忌洛则P点为 MBC的D）A、外心B、内心 C 重心D、垂心丄丄5、已知P是.：ABC所在平面内任意一点，且 PA PB PC=3PG，则G是 ABC的（C ）A、外心B、内心 C重心D、垂心11=PA (AB AC)二 PA (PB-PA PC33PA PB PC =3?lM。二G与M重合，即G是ABC的重心。6、

11、已知ABC的顶点A, B,C及平面内一点P满足：PA PB PC =0 ,则P为 ABC的（C ）解：若M是.ABC的重心，则有D （D是BC的中点）31-PA） （PA PB PC），3A、外心 B、内心 C 重心D、垂心7、已知O是平面上一定点， A, B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足:14、若0是. ABC的外心，O是- ABC三边中点D, E, F构成的-DEF的外心，且A、外心B、内心C重心D、垂心8已知.ABC, P为三角形所在平面上的一点，且点P满足:a PA b PB c PC = 0，则 P 点为. ABCA、外心B、内心C重心D、垂心动点P满足:22HT9、在ABC

12、中，CA二 CB-2ABCP，贝UA、外心B、内心C重心D、垂心P点一定通过ABC的（b）10、已知O是平面内的一个点，A, B,C是平面上不共线的三点，动点P满足op =oa (AB AC,。），则点p的轨迹一定过AB ACABC 的（B）A、外心B、内心C重心D、垂心11、已知 代B,C是平面上不共线的三点， O是 ABC的重心，动点 1 1 1 P 满足 0P ( 0A OB 20C)，3 22则点P 一定为:ABC的（B）a、AB边中线的中点b、AB边中线的三等分点（非重心）C重心D、AB边的中点1 11 分析：取AB边的中点M，则OA OB =2OM，由OP Goa OB 2OC)，

13、 3 22f r F2得3OP=3OM 2MC，MP MC，即点P为三角形中AB边中线的一个三等分点，且 P不过重心。3（亘12、非零向量AB与AC满足 ） SC = 0严弓.丄匸 -且芮币in%，则 ABC（ D）A、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形13、厶ABC的外接圆的圆心为0，两边上的高的交点为H ， 0H二 m（OA OB OC），则实数解：当 ABC为Rt厶时，不妨设C =90”，则0是AB的中点，H是直角顶点C，/. 0A 0B =0，二 Oh =十001 二 m(0A OB OC),（其实O是OH的中点，二m=1 ；也可用特例Rtu：时得m

14、=1）2 215、在四边形 ABCD 中，AB = DC = (1,1),113 T怎BA BC BC=BD，则四边形ABCD的面积是2 26解析：由题知四边形 ABCD是菱形，其边长为 2， 且对角线BD等于边长的 3倍，所以cosABD1，故 sinABD =三，SABCD =( 2)23 =3。2 42 41 2 2 216、如图，已知点G是 ABC的重心，过G作直线与AB, AC两边分别交于 M ,N两点，且NM =XAB，求证：11x yI*II证明：点G是ABC的重心，得-AG (AB -AG) (AC -刘)=0 ,有3又M , N ,G三点共线（A不在直线MN上），于是存在,，使得 AG有 AG = xAB b.-：yAC(AB AC)，得|1，于是得丄=3。3&x=y=_x yL317、已知 0 为 ABC 的外心，求证：OAsinBOC OB sin AOC OCsin AOB = 0。分析：构造坐标系证明C在x轴的上方。SaAO-x2y0，直线BC的方程是2yx (X2 X3)y X2y3 =0 , 由于点A与点O必在直线BC的同侧，且一X2y3 0,1因此有 x0y3- x3y0x2 y0- x2y3: 0，得 BOC =(x3y0x2_x0 y3-x2 y0)。直线