圆中常见的辅助线的作法分类大全

1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形;5、据圆周角的性质可得相等的圆周角例：如图，AE是O O的直径,PO丄AB交O O于P点，弦PN与AB相交于点 M , 求证：PM?PN=2PO作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例 如图，在 ABC中，/ C=90 ，以BC上一点O为圆心，以 O

2、B为半径的圆交 AB于点M，交BC于点 N . 求证：BA BM=BC BN ; 如果CM是O O的切线，N为OC的中点，当 AC=3时，求 AB的值.分析：要证明 PM?PN=2PO 2，即证明 PM?PC =PO2，过O点作OC丄PN于C,根据垂经定理 NC=PC，只需证明PM?PC=PO 2，要证明 PM?PC=PO2 只需证明 Rt POCs Rt PMO.1证明：过圆心 O作OC丄PN于C,.PC= PN2/ PO 丄 AB, OC 丄 PN ,/ MOP= / OCP=9 0 .又/ OPC= / MPO， Rt POC s Rt PMO.PO PC2212即 PO = PM?PC

3、. PO = PM? PN， PM?PN=2PO .PM PO2【例1】如图，已知 ABC内接于O O, / A=45，BC=2,求O O的面积。【例2】如图，O O的直径为10,弦AB= 8 , P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是.【例3】如图，弦 AB的长等于O O的半径，点C在弧AMB上,则/ C的度数是.2. ?遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。分析：要证 BA BM=BC是圆O的直径，所以连结（1） 证明：连结MN， ACB NMB-BN，需证 ACB NMB，MN 可得/ BMN=90 。则/ BMN=90 = / ACB而/ C=90 ，所以需要 NMB中有

4、个直角，而 BNBCBM_ AB=bN AB BM=BC BN解：连结 OM，则/ OMC=90 (2) N为OC中点 MN=ON=OM ，/ MON=60 / OM=OB，/ B= / MON=30 / ACB=90 ， AB=2AC=2 X 3=6【例4】如图，AB是O O的直径，AB=4,弦BC=2,3. ?遇到90的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB、AC是O O的的两条弦，/ BAC=90 ,AB=6, AC=8, O O的半径是5. ?遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和

5、切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA MB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是O O的直径，弦 AC与AB成30角，CD与O O切于C,交AB?的延长线于 D,求证：AC=CD6. ?遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以，在证明直线是切线时，往往需要通过作恰当的辅助线，才能顺利地解决问题下面是添辅助线的小规律 .1 .

6、无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7已知：如图， AB是O O的直径，AD丄AB于A , BC丄AB于B，若/ DOC= 90 .求证：DC是O O的切线.分析：DC与O O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作0E丄DC,只需证0E等于圆的半径.因为AO为半径，若能证 OE=OA即可.而OE、OA在厶DEO、 DAO中，需证明DAO证明：作 OE丄DC于E点，取DC的中点F,连结 OF.又/ DOC= 90 . FO=FD / 1 = / 3./ AD丄AB，BC丄AB, BC II AD, OF为梯形的中位

7、线. OF II AD ./ 2= / 3./ 1 = / 2. DO是/ ADE的角平分线./ OA丄DA，OE丄DC， OA=OE=圆的半径. DC是O O的切线. DEO2有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直例8已知：如图， AB为O O的直径，BC为O O的切线，切点为 B，OC平行于弦AD，求证：CD是O O的切线.分析：D在O O上，有点连圆心，连结DO ,证明DO丄DC即可.证明：连结 DO，丁 OC II ADDAO= / COB，/ ADO= / DOC而/ DAO= / ADO DOC= / COB，又 OC

8、=OC，DO=BO DOCBOC / ODC= / OBC，/ BC为O O的切线，切点为 B / OBC=9O,ODC=9 0，又 D 在O O 上, CD是O O的切线.【例7】如图所示，已知 AB是O O的直径，AC丄L于C, BD丄L于D，且AC+BD=AB 。求证：直线L与O O相切。【例8】如图， ABO中，OA= OB,以O为圆心的圆经过 AB中点C,且分别交 OAOB于点E、F.求证：AB是O O切线；?7. ?遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。【例9

9、】如图，P是O O外一点，PA、PB分别和O O切于A、B, C是弧AB上任意一点，过 C作O O的切线分别交 PA、PB于D、丘，若厶PDE的周P长为12,则PA长为8. ?遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得:1 .已知：PO平分/ BPD.P是O O外一点，PB, PD分别交OO于A、B和C、D,且 AB=CD求证:2 如图,如果 AO=15cm,3 .已知： ABC中，/ C=90,圆O分别与 BO=10cm,求圆 O的半径. ABCD的对角线 AC、BD交于AC、BC相切于 M N,点O在AB上,O点，BC切O O于E点

10、.求证：AD4 如图，学校 A附近有一公路 MN 拖拉机从 P点岀发向PN方向行驶，已知/假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时,影响？请说明理由.如果拖拉机速度为 18千米/小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5 如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2, AB是圆O的切线，B是切点，弦0 JD也和O O湘切.X 、NPA=30oAP=160 米,学校是否会受到噪音IV, 3/C N BBC/ OA连结AC,求阴 ?？内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ?内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图， ABC中，/ A=45 , I是内心，则/ BIC=【例 11】如图，Rt ABC 中，AC=8 , BC=6，/ C=90 ,O I 分别切 AC, BC, AB 于 D, E, F,求 Rt ABC的内心I与外心O之间的距离