选修4-5 不等式选讲

1、选修45不等式选讲,第一节绝对值不等式,一、绝对值三角不等式 1定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅当 时，等号成立 2定理2：如果a，b，c是实数，则|ac| ，当且仅当 时，等号成立,a|b,ab0,ab|bc,ab)(bc)0,二、绝对值不等式的解法 1含绝对值的不等式|x|a的解集 2.|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 (1)|axb|c . (2)|axb|c,caxbc,axbc或axbc,3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0) 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解

2、，体现了分类讨论的思想； (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想,1(课本习题改编)已知2a3，3b4，则a|b|的取值范围是() A(6,3)B(6,3 C(6,6) D(6,6 解析：3b4，0|b|4， a|b|(6,3 答案：B,2不等式(1x)(1|x|)0的解集是() Ax|0 x0，x0，x21，1x1，0 x1， 综上所述得x1且x1，故选D. 答案：D,3(2013年青岛模拟)若不等式x2|2x6|a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是() A7 B9 C5 D11 解析：令f(x)x2|2x6|，当x3时，f(x)x22x6(x1)279；当x3

3、时，f(x)x22x6(x1)255.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a5即可，从而a的最大值为5. 答案：C,4(课本习题改编)f(x)|2x|x1|的最小值为_ 解析：|2x|x1|2xx1|1， f(x)min1. 答案：1 5(2013年西安质检)若关于x的不等式|xa|1的解集为(1,3)，则实数a的值为_ 解析：原不等式可化为a1xa1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a2. 答案：2,考向一绝对值不等式的解法 例1(2012年高考课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3时，求不等式f(x)3的解集； (2)若f(x)|x4|的解集包含

4、1,2，求a的取值范围,当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1； 当2x3时，f(x)3无解； 当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4. 所以f(x)3的解集为x|x1x|x4 (2)f(x)|x4|x4|x2|xa|. 当x1,2时，|x4|x2|xa| 4x(2x)|xa| 2ax2a. 由条件得2a1且2a2，即3a0. 故满足条件的a的取值范围为3,0,考向二绝对值不等式的证明,考向三绝对值不等式的综合应用 例3设函数f(x)|2x4|1. (1)画出函数yf(x)的图象； (2)若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围,3设函数f(x)|x1|x2|. (1)画出函数y

5、f(x)的图象； (2)若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，a、bR)恒成立，求实数x的取值范围 解析：(1)当x1时， f(x)(x1)(x2)2x3， 当12时，f(x)(x1)(x2)2x3,图象如图所示,答题模板】含有参数的绝对值不等式 【典例】(10分)(2012年高考辽宁卷)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1 (1)求a的值,思路导析】(1)利用绝对值不等式的公式求解，注意分类讨论思想的应用；(2)构造函数，转化为函数最值问题 【规范解答】(1)由|ax1|3得4ax2. 1分 又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意. 3分,名

6、师点评】解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注： (1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值 (2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊，在解只含 有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定 (3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数；数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,1(2012年高考广东卷)不等式|x2|x|1的解集为 . 解析：利用零点分段讨论法解绝对值不等式 当x2时，原不等式可化为x2x1，该不等式恒成立 当2x0时，原不等式可化为x2x1,2(2012年高考陕西卷)若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a