七年级数学专题一数学思想解读华东师大版

1、初一数学专题一数学思想解读华东师大版【本讲教育信息 】一、教学内容：专题一数学思想解读二、内容概要数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多. 通过七年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受方程思想、数形结合思想、 分类讨论思想等几种数学思想方法.三、知识点分析1. 方程思想 .所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数， 把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课

2、本中第6 章、第 7 章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用.2. 数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.3. 分类讨论思想分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识， 善于从问题的情境中抓住分类对象； 二是找出科学合理

3、的分类标准， 满足不重不漏的原则 .4. 转化思想转化是解数学问题的一种重要的思维方法 . 转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想， 就解题的本质而言， 解题就意味着转化， 即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”， 把“复杂”转化为“简单”， 把“陌生”转化为“熟悉”， 把“抽象”转化为“具体”， 把“一般”转化为“特殊”， 把“高次”转化为“低次”， 把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等.5. 整体思想研究某些数学问题时， 往往不是以问题的某个组成部分为着眼点， 而是有意识放大考查问题的视角， 将要解决的问题看作一个整体， 通过研究问题

4、的整体形式、 整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想.6. 由特殊到一般的归纳思想：在研究数学问题时， 常常通过对特殊情况的问题的探究， 推广到一般情况， 从而归纳出一般规律 . 本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想 .7. 对称思想数学家赫 曼 外 曾 ： 称是一种思想，通 它，人 生追求并 造次序、美 和完善” . 利用 称思想，同学 可 地 行 案 并能解决一些有关 称的数学 .【典型例题】例 1. 一个多 形的外角和是内角和的2 ，求 个多 形的 数 .7分析 : 根据“ n 形的内角和等于( n2) 180 ”

5、与 “多 形的外角和等于 360 ”和已知条件，列方程可求解 .解答 : 多 形的 数 n ， 根据 意得方程：2360解得 n9(n 2) 1807所以， 个多 形的 数 9. 注： 方程思想的考 主要有两个方面：一是列方程（ ）解 用 ； 二是列方程 （ ）解决代数 或几何 .例 2. 如 ，在 ABC 中， ABC C BDC ， BD 是 ABC 的平分 ，求 A 的度数 .解析 : 由于 BD 是 ABC 的平分 ，所以ABD CBD ，又 BDC A+ ABD ，所以由已知条件可建立 A 与 C 的关系，列出方程 . A=x ，由于 BD 是 ABC 的平分 ，所以 ABD 1AB

6、C1C1BDC ，222而 BDC A+ ABD ，所以 2 BDC 2 A+ ABC ，所以 ABC 2 A 2x， 有 x 2x+2x =180，所以 x 36，即 A 36 . 注 ：解决几何中的求 ，往往通 建立方程（ ）来求解.2x552 x的自然数解 .例 3. 求不等式 6 7x154x分析 : 欲求不等式 的自然数解，一般思路是先求出不等式 的解集，再在数 上表示出其解集，从而 一步求出 的答案.解答 : 解不等式 2x552 x 得 x解不等式 4x67 x15 得 x3525所以，原不等式 的解集是x，其解集在数 上表示如 所示2所以，其自然数解 0、1、 2.评注 ：自然

7、数也就是非负整数，在这里易漏掉0.例 4. 等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是6，求另两条边的长 .分析 : 由于已知的“一条边的长是 6”，未告之是腰长，还是底边长，所以应分类讨论求解 .解答 : （ 1）当周长为 16，腰长为 6 时，该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长为166 6=4 ，即另两边分别为6 和 4；（ 2）当周长为 16，底边长为 6 时，该等腰三角形的另两边都是腰， 其长为（ 166）2=5，即另两边长为 5、 5.评注： 求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均

8、需用分类讨论思想求解.例 5. 在 ABC 中， AB AC ，AC 上的中线将 ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，求三角形各边的长 .解析： 因为中线是 BD ，所以 AD CD ，分成两部分周长不等的原因是ABBC ，所以需要分 AB BC 或 AB BC 两种情况进行讨论 .设 AB= xcm，则 AD=CD= 1 x ，若 ABBC ，则有 AB+AD 15，即3 x15, x 10,22即 AB AC 10cm， CD 1 x 5 cm. 则 BC+CD 12， BC 12CD 7（ cm） .2AC+ABBC ，可构成三角形；若 ABBC ，可构成三角形；于是三角

9、形三边的长分别为 10cm， 10cm， 7cm，或 8cm， 8cm， 11cm.评注：三条线段能否构成三角形，只需两条相等线段之和大于第三条线段，那么这三条线段一定构成等腰三角形. 涉及到等腰三角形求边问题时往往需要分类讨论.例 6. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？分析： 由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于180 ，所以若内角为锐角，则其外角为钝角，将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷.解答 ：因为多边形的外角和为360所以多边形的外角中最多有3 个钝角，所以多边形的内角中最多有3 个锐角 .评注 ：此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.例

10、7. 如图，求 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G 的度数 .解析： 因为 1 D+ F， 2 C+ E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和），所以 A+ B+ C+ D+ E+ F+ G A+ B+ 1+ 2+ G（等量代换）五边形 ABHKG 的内角和（ 5 2） 180 540 .评注 ：利用三角形的外角和的性质把求一个图形的多个角度的和的问题转化为求一个五边形的内角和，这样可以通过求多边形的内角和解决问题.例 8.已知某个三角形的周长为18 ，其中两条边的长度和等于第三条边长度的2 倍，而它们的差等于第三条边长度的1 ，求这个三角形的三边长 .3分析： 三角形有三条边，

11、题目中有三个条件， 此题需设三角形的三边为未知数，列方程组解答 .解答： 设三角形的三边长分别为a 、 b 、 c ，（ ab ）则依题意得：abc 18( 1)ab2c( 2 )abc / 3( 3 )将（ 2）整体代入（1），得 2cc18 ，解得 c6再将 c6 代入（ 2）、（ 3）得：ab12a7ab解这个方程组得b52因此，所求三角形的三边长为7、5、 6.评注： 所列方程组为三元一次方程组，在求解这个方程组时，将（2）整体代入（1），立即可求出c 的大小，使得求解a 、 b 变得十分简单 .这种整体代入、整体加减的整体数学思想在整式、方程（组） 、不等式（组）和有关几何图形的计算

12、中经常用到.例 9.如图， DBC 2ABD ， DCB 2 ACD ，试说明 A 与 D 之间的关系 .解 析 ： 因 为 DBC 2 ABD ， DCB 2ACD （ 已 知 ）， 所 以 DBC 2DCB2ABC ,ACB （三等分线定义） .33222 (所以DBCDCBABCACBABCACB) （等式的性质）333又因为 ABC+ ACB 180 A （三角形内角和定理） ，所以 220022 A （等式的性质）( ABCACB )（ 180 A） =120A33(180A)120323所以 DBC+ DCB 1200A （等量代换）12032所以 D 180（ DBC+ DCB

13、） 180（12020A ） A .3603评注： 本例应用整体思想得到A 与 D 之间的关系， 主要应用三角形的内角，三角形内角和定理结合整体思想进行说理.例 10. 如图（ 1） AC 、BD 是四边形的两条对角线，而三角形没有对角线，五边形的对角线有 5 条（如图（ 2）：AC 、 AD 、BE 、BD 、 CE 都是它的对角线，想一想： （1）六边形有几条对角线？ n 边形有几条对角线？解析： 四边形的对角线条数为4 (4 3) 2；三角形的对角线条数为3(3 3)0 ；225(53)6(63)9 ；依照上述规五边形的对角线条数为25；六边形的对角线条数为2律，可以猜想 n 边形的对角

14、线条数为n(n 3) ；验证：由于过 n 边形的每一个顶点的对角线2有（ n 3）条， n个顶点是： n（ n 3）条 . 而每一条又重复计算一次，所以n 边形的对角线条数为 n(n 3).2评注： 从特殊情况入手， 研究数学表达方法， 进一步猜想归纳出一般情况，再对一般情况进行验证是探究数学规律的重要手段和方法.例 11. 用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称的图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多 .分析：抓住轴对称图形的定义即沿着某条直线对折， 两旁的部分能够完全重合进行图案设计 .此题的答案不唯一 .解答： 如图所示 .评注：（ 1）在图中，黑、白颜色可互换； （ 2）生活中存

15、在着大量的对称现象，大到宇宙空间的星体，小到微观世界的原子，精致的艺术珍宝，尖端科学中的基因工程，都可以找到图形对称的素材.四、本讲数学思想方法的学习1. 思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用.2. 遇到一个问题时，我们不是首先去考虑这道题用什么数学思想方法，数学思想方法应该渗透或贯穿于我们数学学习的始终.【模拟试题】（答题时间： 40 分钟）1. 王阿姨和李奶奶一起去买菜，王阿姨买西红柿，茄子，青椒各一千克，共花12.8 元 .李奶奶买西红柿2 千克，茄子1.5 千克 .共花 15 元 .已知青椒每千克4.2 元，求出西红柿，茄子每千克各多少钱？2.在图中各行、各列和对角

16、线上三个数之和都相等，请你求出x, y 的值；x31，3.23 x解不等式组并写出该不等式组的整数解1 3(x 1) 8 x，4.一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该为.5.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1: 4 ，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A. 20B.120C.20 或 120D. 366.如图， P、 Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则 BAC 的大小等于 _.7. 如图，直线l 是一条河，P， Q 两地相距8 千米，P， Q 两地到l 的距离分别为2 千米，5 千米，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向

17、P， Q 两地供水图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）.现有如下四种铺设方案，x2 y，8.6若则 x y2xy，9m2n，9.4n 的值是（已知二元一次方程组则 m）2mn，3A. 1B. 0C.2D. 110. 如图，已知 ABC 为直角三角形， C=90 ，若沿图中虚线剪去 C，则 1+ 2 等于（ ）A.90 B.135 C.270 D.315 11. 认真观察下列 4 个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：（ 1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征 1： _ ；特征 2： _.（ 2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征【试题答案】x

18、y4.212.8，1. 设每千克西红柿x 元，每千克茄子y 元 . 根据题意，得解得2x1.5y15.x4.2，答：每千克西红柿4.2 元，每千克茄子4.4 元 .y4.4.2x34 y 3x12. 由已知条件得4y5解得.（由已知条件还可得到其他的方程）yy13. 原不等式组的的解集是：2x1 ，所以，整数解是101，.4. 70 、 70 、 40 或 70 、 55 、 55 .（提示：分 110的角是底角的外角与顶角的外角两种情形考虑）5. C（. 提示：分顶角与底角的度数比为1: 4与分底角与顶角的度数比为1: 4 两种情形解答）6. 120 ；7.B. （提示：此题为一道基本作图题，其方法可联想当P、Q 两点在直线两侧时的作图方法，从而通过对称将问题解决.）8