1数学归纳法习题(含答案)(最新整理)

1、1#数学归纳法一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xnyn 能被 xy 整除”，在第二步时，正确的证法是()a. 假设 nk(kn)，证明 nk1 命题成立b. 假设 nk(k 是正奇数)，证明 nk1 命题成立c. 假设 n2k1(kn)，证明 nk1 命题成立d. 假设 nk(k 是正奇数)，证明 nk2 命题成立1112(2011鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1 n 1)”时，由 n2321k(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项数是() a2k1b2k1c2kd2k13(2011巢湖联考)对于不等式下：n

2、2nn1(nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如(1)当 n1 时， 12111，不等式成立(k1)2(k1)(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即 k2kk1，则当nk1 时， k23k2(k23k2)(k2)(k2)2(k1)1，当 nk1 时，不等式成立，则上述证法() a过程全部正确bn1 验得不正确c归纳假设不正确d从 nk 到 nk1 的推理不正确4. 用数学归纳法证明“n2(n1)3(n2)3(nn*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只需展开()a(k3)3b(k2)3 c(k1)3d(k1)3(k2)3111 135. 用数学归纳法证明不等式 ，1

3、 1,1 ，1 2,1 2232357 223152331，由此猜测第 n 个不等式为(nn*)28(2011东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第 60 个数对是 9如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 n(nn*)行，在这些数中非 1 的数字之和是 三、解答题(共 3 小题，共 34 分)11112113311464110(本小题满分 10 分)试证：当 nn*时，f(n)32n28n9 能被 64 整除111(本小题满分 12 分)已知数列an

4、的各项都是正数，且满足：a01，an1 an(4an)(n2n)12(本小题满分 12 分)(2011开封调研)在数列an，bn中，a12，b14，且 an，bn， an1 成等差数列，bn，an1，bn1 成等比列(nn*)，求 a2，a3，a4 与 b2，b3，b4 的值，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论1#答案：1.解析：a、b、c 中，k1 不一定表示奇数，只有 d 中 k 为奇数，k2 为奇数答案：d2.解析：增加的项数为(2k11)(2k1)2k12k2k.答案：c3. 解析：在 nk1 时，没有应用 nk 时的假设，不是数学归纳法答案：d4. 解析：假设当 nk 时，

5、原式能被 9 整除，即 k2(k1)3(k2)3 能被 9 整除当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3 为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3 展开， 让其出现 k3 即可答案：a111115. 解析：nk 时，左边 ，nk1 时，左边 k1k22k12k11k2k3，2k12k2111增加了两项、，少了一项.2k1 2k2k1答案：c6. 解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2111n7. 解析：3221,7231,15241，可猜测：1 n

6、 .2321 2111n答案：1 n 2321 28. 解析：本题规律：211；31221；4132231；514233241；一个整数 n 所拥有数对为(n1)对 设 123(n1)60，(n1)n260，n11 时还多 5 对数，且这 5 对数和都为 12， 12111210394857，第 60 个数对为(5,7)答案：(5,7)9. 解析：所有数字之和 sn202222n12n1，除掉 1 的和 2n1(2n1)2n2n.答案：2n2n10. 证明：证法一：(1)当 n1 时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当 nk(kn*，k1)时，f(k)32k28k9 能被 64 整除 当

7、nk1 时，由于 32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)， 即 f(k1)9f(k)64(k1)，nk1 时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意 nn*，命题都成立证法二：(1)当 n1 时 f(1)64命题显然成立(2)假设当 nk(kn*，k1)时，f(k)32k28k9 能被 64 整除 由归纳假设，设 32k28k964m(m 为大于 1 的自然数)，将 32k264m8k9 代入到 f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1 时命题也成立 根据(1)(2)知，对于任意 nn*，命题

8、都成立11. 证明：anan12(nn)证明：证法一：用数学归纳法证明：13(1)当 n0 时，a01，a1 a0(4a0) ，所以 a0a12，命题正确22(2)假设 nk1(kn*)时命题成立，即 ak1ak2.则当 nk 时，akak1111 ak1(4ak1) ak(4ak)2(ak1ak) (ak1ak)(ak1ak)2221 (ak1ak)(4ak1ak) 2而 ak1ak0，所以 akak10.11又 ak1 ak(4ak)4(ak2)22.所以 nk 时命题成立22由(1)(2)可知，对一切 nn 时有 anan12.证法二：用数学归纳法证明：13(1)当 n0 时，a01，a

9、1 a0(4a0) ，所以 0a0a12；221(2)假设 nk1(kn*)时有 ak1ak2 成立，令 f(x) x(4x)，f(x)在0,2上单调递增，2所以由假设有：f(ak1)f(ak)f(2)，111即 ak1(4ak1) ak(4ak) 2(42)，222也即当 nk 时，akak12 成立所以对一切 nn，有 akak12.12. 解：由条件得 2bnanan1，an2 1bnbn1.又 a12，b14，由此可得 a26，b29，a312，b316， a420，b425，猜测 ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当 n1 时，a12，b14，结论成立假设当 nk(k

10、n*)时结论成立，即 akk(k1)，bk(k1)2，那么当 nk1 时， ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k1)1，ak2 1bk1 bk(k2)2(k1)12，当 nk1 时，结论也成立由知，ann(n1)，bn(n1)2 对一切正整数都成立“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme.

11、as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovat