4个圆幂定理及其证明(最新整理)

1、相交弦定理如图,p 中,弦 ab,cd 相交于点 p,则 apbp=cppd证明：连结 ac，bd，由圆周角定理的推论，得ad，cb。pacpdb，papdpcpb，papbpcpd注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.adpcb切割线定理如图，abt 是o 的一条割线，tc 是o 的一条切线，切点为 c， 则 tc=tatb证明：连接 ac、bc弦切角tcb 对弧 bc，圆周角a 对弧 bc由弦切角定理，得 tcb=a 又atc=btcactcbtat:ct=ct:bt, 也就是 ct=atbt弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理：弦切角等于它所

2、夹的弧所对的圆周角.定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为 o，连接 oc，ob，oa。过点 a 作 tp 的平行线交 bc 于 d，则tcb=cdatcb=90-ocdboc=180-2ocd,boc=2tcb切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。如图中，切线长 ac=ab。abo=aco=90 bo=co=半径ao=ao 公共边rtabortaco（hl）ab=acaob=aocoab=oac割线定理如图，直线 abp 和 cdt 是自点 p 引的o

3、 的两条割线，则 papb=pcpd证明:连接 ad、bca 和c 都对弧 bd由圆周角定理，得 a=c 又apd=cpbadpcbpap:cp=dp:bp, 也就是 apbp=cpdp圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点 p 引两条割线与圆分别交于 a、b；c、d，则有 papb=pcpd。统一归纳：过任意不在圆上的一点 p 引两条直线 l1、l2，l1 与圆交

4、于 a、b（可重合，即切线），l2 与圆交于 c、d（可重合），则有 papb=pcpd。“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of conti

5、nuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. this document is also edited by my studio professionals, th