2020年九年级数学中考专题复习等式和方程 学案

1、2020年中考数学人教版专题复习：等式与方程 一、学习目标： 1. 正确理解方程和一元一次方程的概念，会判断一个方程是不是一元一次方程； 2. 理解和掌握等式的两个基本性质，会利用等式的性质解简单的一元一次方程； 3. 能够找出实际问题中的相等关系，初步掌握列方程解应用题的方法. 二、重点、难点： 重点：一元一次方程的概念、利用等式的性质解简单的一元一次方程. 难点：分析实际问题中的数量关系，根据其中的相等关系列方程. 三、考点分析： 本讲内容是方程的入门知识，在中考中所占的比例较小，难度也比较低，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查一元一次方程的概念和如何列一元一次方程解决实际问题，分值一

2、般在35分. 知识梳理 1. 方程 （1）表示相等关系的式子叫做等式. （2）含有未知数的等式叫做方程.方程必须具备两个条件：一是等式；二是含有未知数. （3）方程和等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程.另外，含有字母的等式也不一定是方程，如abba. 2. 一元一次方程 （1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.任何一个一元一次方程变形后都可以化为axb0（其中a0，a、b为常数）的形式，我们就把axb0（其中a0，a、b为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax叫一次项，a叫一次项系数，b叫常数项. （2）识别一元一次方程时，应注意以

3、下三点：分母中不含未知数；方程中只能含 .1有一个未知数；未知数的次数是3. 方程的解和解方程 （1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解. （2）解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 4. 等式的性质 （1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果ab，那么acbc. （2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果ab，ab那么acbc；如果ab，那么（c0）. cc（3）除此之外，等式还具有：对称性（如果AB，则BA）和传递性（如果AB，BC，则AC）. 5. 列方程 根据数量关系列方程，即把文字语言叙述的问题转化为数学语

4、言表达的式子.列方程的一般步骤：设字母表示未知数；将其中一部分数量关系列式表示；根据已知数和未知数的全部相等关系列出方程. 典型例题 知识点一：等式和方程的概念 例1：选择题. 12；3xxy6；1；xy；x12（1）已知下列各式：x521；32 2112220；8；x0.其中是方程的个数是（ 5x3y 4z ） yxA. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 3x22x3x0；x1；48；（2）已知下列方程：x15x；x1 3x3xy6.其中是一元一次方程的个数是（ ） A. 2个 个 5.D 个 4.C 个 3.B 思路分析： .本题考查方程和一元一次方程的定义：题意分析解题思路：（1

5、）含有未知数的等式是方程，满足要求的有.（2）含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有. 答案：（1）B；（2）B. 解题后的思考：解答本题的关键是正确理解方程和一元一次方程的定义.此题容易把x13这样的方程误认为是一元一次方程，识别一元一次方程时应注意以下三点：分母中不含 x未知数（一元一次方程是整式方程）；方程中只能含有一个未知数；未知数的次数是1，一次项的系数不为0. 例2：检验下列各数是不是方程3x12x1的解. （1）x4；（2）x2. 思路分析： 题意分析：本题考查对方程的解的理解，方程的解是一个结果，是具体的数值. 解题思路：把x的值分别代入方

6、程的左右两边，进行计算.如果两边相等，这个未知数的值就是这个方程的解；否则，就不是方程的解. 解答过程：（1）把x4分别代入方程的左右两边，得： 左边34111；右边2419，左边右边， 所以x4不是方程3x12x1的解. （2）把x2分别代入方程的左右两边，得： 左边3215；右边2215，左边右边， 所以x2是方程3x12x1的解. 解题后的思考：一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等.相等就是方程的解，否则不是. 例3：已知x5是方程2xa3x的解，求a的值. 思路分析： 题意分析：a是方程2xa3x中的一个未知数，a的值应通过解方

7、程来求得. 解题思路：既然x5是方程的解，就说明可以用5来代替x，也就是把原方程中的x换成 .的值a，进而求得53a52，得”5“解答过程：由于x5是方程2xa3x的解， 所以25a35，即10a2， 解得a12. 解题后的思考：本题巧妙地考查了方程的解和解方程的区别.方程的解是一个结果，而解方程是一个数式变形求解的过程. 小结：知识点一中的例题主要考查区分概念，包括等式和方程、方程和一元一次方程、方程的解和解方程等内容. 知识点二：利用等式的性质解方程 例4：利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子，并说明变形的根据以及是怎样变形的. （1）如果2x35，则2x_，x_； （2）如果5x2

8、2x4，则3x_，x_； 15（3）如果x2x3，则x_，x_. 33思路分析： 题意分析：本题考查等式的性质，等式左边的变形已经给出，要求填上对应的等式右边的变形结果. 解题思路：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论. 解答过程： （1）根据等式性质1，两边同时加上3，得2x2，再根据等式的性质2，两边同时除以2，得x1； （2）根据等式性质1，两边同时减去2x2，得3x6，再根据等式性质2，两边同时除以3，得x2； 5（3）根据等式性质1，两边同时减去2x，得x3，再根据等式性质2，两边同时 359除以，得x . 53解题后的思

9、考：方程是等式，方程变形的理论依据是等式的性质. 例5：利用等式的性质解下列方程. xx（1）x45；（2）3；（3）35. 23思路分析： 题意分析：本题考查等式性质的应用. 解题思路：（1）使x45转化为xa（常数）的形式，在方程两边同时加上4.（2）使方x程3转化为xa（常数）的形式，将方程左边x的系数化为1，因此在方程两边同时 3x乘以3.（3）使方程35转化为xa（常数）的形式，在方程两边同时加上3，去 2掉方程左边的常数项，再在方程两边同时乘以2，将方程左边x的系数化为1. 解答过程： （1）方程两边同时加上4，得x4454.于是x9. x（2）方程两边同时乘以3，得（3）3（3）

10、.于是x9. 3xx（3）方程两边同时加上3，得3353.化简，得8.两边同时乘以2， 22得x16. 解题后的思考：用等式的性质解方程，就是使方程转化为xa（常数）的形式，要合理地选用等式的性质，不要用错，在变形中要特别注意“负号”. 小结：利用等式的性质解一元一次方程就是把方程变形为xa（常数）的形式，从而求得方程的解，在这一过程中，必须注意在等式“两边”同加（或同减、或同乘、或同除以）某个数（除数不能为0），不能只在一边进行. 知识点三：列方程 例6：某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则（ ） A. 4月份的产值与2月份相等 1B. 4月份的产值比2月

11、份增加 991C. 4月份的产值比2月份减少 991D. 4月份的产值比2月份减少 100思路分析： 题意分析：本题要求分析数量关系，4月份的产值与2月份相比的变化情况. 解题思路：设2月份的产值为x，则3月份的产值为1.1x，4月份的产值为1.1x0.90.99x，1所以4月份的产值比2月份减少 100解答过程：D 解题后的思考：本题的数量关系较复杂，共有三个月份.如果把2月份的产值设为x，根据题意求出3月份的产值，再求4月份的产值，最后比较4月份和2月份的产值. 例7：根据下列问题，设未知数列方程. （1）三个连续偶数的和是2010，那么中间一个偶数是多少？ （2）黄豆芽是人们喜爱的营养丰

12、富的蔬菜，已知把黄豆生成豆芽后，质量可增加7倍，现在要得到30千克这样的豆芽，需要多少千克黄豆？ （3）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价是240元.这件商品的成本价是多少元？ （4）某同学在学校图书室借了一本300页的新书，要在一个月后（30天）归还，刚开始的10天平均每天读6页，那么后面的时间该同学平均每天至少读多少页才能按时看完这本书？ 思路分析： 题意分析：本题要求设未知数、列出方程，不需求解. 解题思路：（1）两个连续偶数相差2，对于任意一个偶数x，比它大的相邻偶数是x2，比它小的相邻偶数是x2；（2）题的相等关系是：黄豆的质量生芽增加的质量黄豆芽的

13、质量；（3）题的相等关系是：打折后的售价实际售价240元；（4）题的相等关系是：前10天读书页数后20天读书页数总页数300页. 解答过程： （1）设中间一个偶数是x，那么另外两个偶数分别是x2和x2，根据题意列方程得： 2010）2x（x）2x（2）设要得到30千克豆芽，需要x千克黄豆，根据题意得： x7x30. （3）设这件商品的成本价是x元，则商品的标价是（x140%）元，售价是（x140%）80%元.根据题意得： x（140%）80%240. （4）设后面的时间该同学平均每天至少读x页，才能按时看完这本书.由题意得： 106（3010）x300. 解题后的思考：列方程的关键是寻找相等关

14、系，分析数量关系.相等关系是列方程的依据，也就是找出方程的左边和右边，而数量关系是指题目中的一些数量如何用已知数和未知数表示出来. 例8：有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人.她不直接回答，倒是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉，这样不多不少，加起来共65个碗，你知道有多少客人吗？ 思路分析： 题意分析：本题要求适当设出未知数，列方程并解方程，求出客人人数. 111解题思路：设有x位客人，饭碗有x个，汤碗有x个，肉碗有x个，相等关系为：饭碗 423汤碗肉碗65. 解答过程：设有x位客人，根据题意，得： 1113xxx65，即x65， 124313两边都除以，得x60. 12答：客人有60人. 解题后的思考：列方程解应用题的一般步骤是：设未知数，列方程，解方程. 小结：寻找实