应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第二章部分习题解答

1、应用多元统计分析,第二章部分习题解答,第二章,多元正态分布及参数的估计,2-1,设,3,维随机向量,X,N,3,2,I,3,已知,2,0,5,1,0,5,1,0,A,0,5,0,0,5,d,2,0,试求,Y,AX+d,的分布,解,利用性质,2,即得二维随机向量,YN,2,y,y,其中,2,第二章,多元正态分布及参数的估计,1,2,1,2,2-2,设,X,X,1,X,2,N,2,其中,1,1,试证明,X,1,X,2,和,X,1,X,2,相互独立,2,试求,X,1,X,2,和,X,1,X,2,的分布,解,1,记,Y,1,X,1,X,2,1,1,X,Y,2,X,1,X,2,1,-1,X,利用性质,2

2、,可知,Y,1,Y,2,为正态随机变量。又,1,1,2,Cov,Y,1,Y,2,1,1,1,1,0,1,1,故,X,1,X,2,和,X,1,X,2,相互独立,3,第二章,或者记,多元正态分布及参数的估计,Y,1,X,1,X,2,1,1,X,1,Y,CX,Y,2,X,1,X,2,1,1,X,2,则,Y,N,2,C,C,C,1,1,2,1,1,1,因,Y,C,C,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,1,1,1,0,由定理,2.3.1,可知,X,1,X,2,和,X,1,X,2,相互独立,4,第二章,2,因,多元正态分布及参数的估计,1,2,2,2,1,0,X,1,X,

3、2,Y,N,2,0,2,1,1,2,X,1,X,2,X,1,X,2,N,1,2,2,1,X,1,X,2,N,1,2,2,1,2,2,5,第二章,多元正态分布及参数的估计,2-3,设,X,1,和,X,2,均为,p,维随机向量,已知,1,1,1,2,X,X,2,N,2,p,2,X,2,1,i,其中,i,1,2,为,p,维向量,i,i,1,2,为,p,阶矩阵,1,试证明,X,1,X,2,和,X,1,X,2,相互独立,2,试求,X,1,X,2,和,X,1,X,2,的分布,解,1,令,X,X,I,p,I,p,X,Y,1,CX,2,2,I,I,p,X,X,X,p,1,2,1,6,第二章,多元正态分布及参数

4、的估计,I,p,1,I,p,2,2,I,p,I,1,p,I,p,I,p,则,Y,N,2,p,C,C,C,I,p,因D,Y,C,D,X,C,I,p,1,2,1,2,1,2,I,p,2,1,I,p,I,p,I,p,O,2,1,2,O,2,1,2,1,2,1,2,由定理,2.3.1,可知,X,X,和,X,X,相,7,互独立,第二章,2,因,1,2,多元正态分布及参数的估计,1,2,2,1,2,O,X,X,Y,1,2,N,2,p,2,1,2,O,X,X,2,1,所以,X,X,X,X,1,1,2,2,N,p,2,1,2,N,p,2,1,2,1,2,1,2,注意,由,D,X,0,可知,1,2,0,8,第二

5、章,多元正态分布及参数的估计,2-11,已知,X,X,1,X,2,的密度函数为,1,1,2,2,f,x,1,x,2,ex,p,2,x,1,x,2,2,x,1,x,2,22,x,1,14,x,2,65,2,2,试求,X,的均值和协方差阵,解一,求边缘分布及,Cov,X,1,X,2,12,1,f,1,x,1,f,x,1,x,2,dx,2,e,2,1,2,2,x,1,22,x,1,65,2,e,1,2,x,2,2,x,1,x,2,14,x,2,2,dx,2,1,e,2,1,2,2,x,1,22,x,1,65,2,e,1,2,x,2,2,x,2,x,1,7,x,1,7,2,2,dx,2,e,1,x,1

6、,7,2,2,9,第二章,多元正态分布及参数的估计,1,x,2,x,1,7,2,2,1,e,e,dx,2,2,1,2,1,2,x,8,x,16,x,x,7,1,1,1,1,2,1,2,2,e,e,dx,2,2,2,1,2,x,4,1,1,2,e,X,N,4,1,2,1,类似地有,1,2,2,2,x,1,22,x,1,65,x,1,14,x,1,49,2,f,2,x,2,f,x,1,x,2,dx,1,1,2,2,e,1,2,x,2,3,4,X,2,N,3,2,10,第二章,多元正态分布及参数的估计,u,1,x,1,4,令,u,2,x,2,3,12,Cov,X,1,X,2,E,X,1,E,X,1,

7、X,2,E,X,2,E,X,1,4,X,2,3,x,1,4,x,2,3,f,x,1,x,2,dx,1,dx,2,1,2,1,2,2,1,1,1,2,2,u,1,u,2,exp,2,u,1,u,2,2,u,1,u,2,du,1,du,2,2,2,u,1,1,u,e,1,2,u,1,2,2,2,u,u,1,2,1,2,u,e,du,2,du,1,2,2,u,e,1,1,2,u,u,u,2,u,1,2,1,2,1,2,2,u,u,e,du,u,e,du,2,du,1,2,1,2,1,2,1,2,u,e,2,u,1,2,2,1,du,1,1,0,2,11,第二章,所以,多元正态分布及参数的估计,4,1

8、,1,E,X,D,X,3,1,2,1,1,1,且,f,x,1,x,2,exp,x,x,2,2,故,X,X,1,X,2,为二元正态分布,12,第二章,1,2,多元正态分布及参数的估计,2,1,解二,比较系数法,1,1,设,f,x,x,2,exp,2,2,x,1,2,1,2,x,2,x,1,x,2,22,x,1,14,x,2,65,2,2,1,2,2,2,2,exp,2,2,2,x,1,1,2,1,2,x,1,1,x,2,2,1,x,2,2,2,1,2,2,1,2,1,比较上下式相应的系数,可得,1,2,1,1,2,2,2,2,2,1,1,1,2,1,2,2,2,22,1,2,1,2,2,2,2,

9、2,1,2,1,2,1,14,2,2,2,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,2,1,1,1,2,4,1,2,2,22,2,2,14,2,1,65,1,4,3,2,13,第二章,多元正态分布及参数的估计,1,2,2,2,1,故,X,X,1,X,2,为二元正态随机向量,且,4,1,1,E,X,D,X,3,解三,两次配方法,2,1,2,2,1,第一次配方,2,x,2,x,1,x,2,x,x,1,x,2,x,2,1,2,2,2,1,x,1,2,1,1,1,1,1,因,2,x,2,x,1,x,2,x,x,1,x,2,而,B,B,1,1,x,2,1,1,1,0,1,0,y,1,1,1,x,1,x

10、,1,x,2,2,2,2,2,令,y,则,2,x,1,2,x,1,x,2,x,2,y,1,y,2,y,2,1,0,x,2,x,1,x,1,y,2,2,第二次配方.由于,x,2,y,1,y,2,14,第二章,2,1,2,2,2,1,2,1,2,2,多元正态分布及参数的估计,2,x,x,2,x,1,x,2,22,x,1,14,x,2,65,y,y,22,y,2,14,y,1,y,2,65,y,14,y,1,49,y,8,y,2,16,y,1,7,y,2,4,2,x,1,y,2,即,1,x,y,y,1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,x,1,x,2,2,x,1,x,2,22,x,1,14,x

11、,2,65,1,2,y,1,7,y,2,4,e,e,2,2,2,2,2,g,y,1,y,2,设函数,g,y,1,y,2,是随机向量,Y,的密度函数,15,第二章,多元正态分布及参数的估计,Y,7,1,3,随机向量,Y,N,2,I,2,4,Y,2,4,由于,X,1,0,1,Y,1,X,CY,X,2,1,1,Y,2,0,1,7,4,0,1,0,1,1,1,1,1,4,3,1,1,I,2,1,1,1,2,4,1,1,故,X,CY,N,2,4,1,1,E,X,D,X,3,1,2,3,1,2,16,第二章,多元正态分布及参数的估计,2-12,设,X,1,N(0,1,令,X,1,当,1,X,1,1,X,2

12、,X,其它,1,1,证明,X,2,N(0,1,2,证明,X,1,X,2,不是二元正态分布,证明,1,任给,x,当,x,1,时,P,X,2,x,P,X,1,x,x,当,x,1,时,P,X,2,x,P,X,2,1,P,1,X,2,1,P,1,X,2,x,P,X,1,1,P,1,X,1,1,P,1,X,1,x,P,X,1,x,x,17,第二章,当,1,x,1,时,多元正态分布及参数的估计,P,X,2,x,P,X,2,1,P,1,X,2,x,P,X,1,1,P,x,X,1,1,P,X,1,1,P,1,X,1,x,P,X,1,x,x,X,2,N,0,1,2,考虑随机变量,Y= X,1,X,2,显然有,X

13、,1,X,1,当,1,X,1,1,Y,X,1,X,2,其它,0,18,第二章,多元正态分布及参数的估计,P,Y,0,P,X,1,1,或,X,1,1,P,X,1,1,P,X,1,1,X,1,N,0,1,2,1,0,3174,0,若,X,1,X,2,是二元正态分布,则由性质,4,可知,它的任意线性组合必为一元正态,但,Y= X,1,X,2,不是正态分布,故,X,1,X,2,不是二元正态分布,19,第二章,多元正态分布及参数的估计,2-17,设,X,N,p,0,X,的密度函数记为,f,x,).(1)任给,a,0,试证明概率密度等高面,f,x,),a,是一个椭球面,2,1,2,当,p,2,且,0,时,

14、1,概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆,的方程式，长轴和短轴,1,p,2,1,2,证明,1,任给,a,0,记,a,0,2,当0,a,时,a,0,f,x,a,x,x,b,2,p,2,1,2,1,2,其中,b,2,ln,a,2,2,ln,aa,0,0,20,第二章,多元正态分布及参数的估计,1,因,0,的特征,值,记为,1,2,p,0,i,对应,的特征向量,记,特,l,i,i,1,2,p,则,有,的,谱谱,分解,l,i,l,i,1,i,1,p,1,i,见附录,5 P390,令,y,i,x,l,i,i,1,2,p,则概率密度等高面为,x,x,x,l,i,l,i,x,b,1,p,1,2,y,i,1,i,p,1,i,1,i,2,i,b,2,21,第二章,2,1,多元正态分布及参数的估计,2,2,2,p,y,y,y,1,2,2,2,1,b,2,b,p,b,故概率密度等高面,f,x,),a,是一个椭球面,4,2,2,1,1,2,当,p,2,且,0,时,1,2,2,4,2,由,I,p,2,2,0,可得,的特征值,1,1,2,1,22,2,2,2,2,2,2,2,2,第二章,多元正态分布及参数的估计,i,i,1,2,对应的特征向量为,1,1,2,2,l,1,l,1,1,1,2,2,2,2,由,1,可得椭圆方程为,y,1,