二元一次不等式组及简单的线性规划问题含解

1、（六）二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.不等式组$x+ 3y 4,Qx + yW4所表示的平面区域的面积等于 （）a.22B.34C.33D.4解析：选C平面区域如图所示.x+ 3y= 4, 解3x+ y= 4.得 A(1,1),易得00,4),4|BC = 4 - 3=184所以 & ABC= 2X 3 X 1 = .2不等式(x 2y+ 1)( x + y 3) 0（用阴影部分表示）应是在坐标平面内表示的区域ABCD解析：选 C (x 2y + 1)( x + y 3) 0,或 x 2y+ 10,x + y 3 0.3. (2019 杭州高三质检)若

2、实数x,则()A. z 0C. 3 z5画出图形可知选C.2x+ 3y 90,y满足不等式组*设zx 2y1 0,B . 0 z5.4.点（一2, t）在直线2x 3y+ 6 = 0的上方，贝U t的取值范围是解析：因为直线2x 3y+ 6 = 0的上方区域可以用不等式 2x 3y+ 6v 0表示，所以由点(2, t)在直线 2x 3y + 6 = 0 的上方得一4 3t + 6v 0,解得t |.5. （2019 温州四校联考）若实数x, y满足约束条件X 0,x + y w 2,、2x yw 2,则可行域的面积,z = 2x+ y的最大值为解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,

3、得4x= 3,2y= 3，所以，2，易得 IBC = 4,所以可行域的面积s=4x 3=3.由图可知，当目标函数z = 2x+ y所表示的直线过点,3时，z取得最大值且zmax4 210=2X 3+3=亍8 一 3-二保咼考，全练题型做到咼考达标y 1,1. （2018 金华四校联考）已知实数x, y满足yW2x 1, | x + yw m如果目标函数 z= x yA. 7C. 4解析：选B画出x, y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得直线y = 2x 1与直线x + y = m的交点使目标函数z = x- y取得最.,y = 2x 1，耐 12 m- 1 小、小值，由*解得 x = -,

4、y =-,代入 x y= 1,x+y= m33m+ 12m- 1m= 5.选 B.2.在平面直角坐标系中，若不等式组 域的面积等于2，则a的值为()A. 5C. 2,+ y 1 0,x 1W 0,(a为常数)所表示的平面区ax y+10B . 1D . 3解析：选D因为ax y + 1= 0的直线恒过点(0,1)，故看作直线绕点(0,1)旋转，不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分厶ABC由题意可求得 A(0,1) , B(1,0) , C1 , a+ 1),abc= 2, BC= | a+ 1| , BC边上的高为 AD= 1,1Sabc= x| a+1| x 1 = 2,解得 a= 5

5、或 3,当a= 5时，可行域不是一个封闭区域, 当a = 3时，满足题意，选 D.3. (2017 浙江新高考研究联盟)过点F( 1,1)的光线经x轴上点A反射后，经过不等x 2y+ 4 0,式组x + y 2 0,所表示的平面区域内某点(记为E)，则|PA + IAB的取值范围是、3x+ y 9W0( )A. (2 .2, 5)B . 2.2, 5C. 2,5D . 2 2, 5)x 2y+4 0,解析：选B不等式组x + y 20,所表示的平面区域如图中阴影部分所示，(3x + y 9 0,4.（2018 浙江名校联考）设x, y满足+ y 20,若z= 2x + y的最大值为7,ax y

6、 a 1，显然a= 0不符合题意作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x + y= 0,平移该直线，易知，当平移到过直线x+ y 2 = 0与ax y a= 0的交点时，z取得最大值，由x+ y 2= 0, ax y a= 0,x = 得；y=a+ 2a+1,aa+ 1a+ 2丨 x=a+ 1 把丫=上a+ 1代入 2x + y=2 得 a= 1.圈1的2法二：由z= 2x+ y存在最大值，可知a 1,显然a= 0不符合题意.作出不等式组所表示的平面区域，如图 1或图2中阴影部分所示，作直线 2x+ y= 0，平移该直线，易知,当平移到过直线x + y 2 = 0与

7、ax y a = 0的交点时，z取得最大值7 ,由+ y2 = 0,x = 2，1$7得“2x + y = ,1J = 2，3把5. (2018 余杭地区部分学校测试X = 2,1代入 ax y a= 0，得 a= 1.)若函数y= f(x)的图象上的任意一点P的坐标为(X,y),且满足条件| x| | y| ,则称函数f( x)具有性质S,那么下列函数中具有性质 S的是()xA. f (x) = e 1C. f (x) = sin xB . f(x) = ln( x + 1)2D . f(x) = |x 1|解析：选C作出不等式|x| |y|所表示的平面区域如图中阴影部 分所示，若函数f(x

8、)具有性质S,则函数f(x)的图象必须完全分布在 阴影区域和部分，易知f (x) = e 1的图象分布在区域和部分， f (x) = ln( X+ 1)的图象分布在区域和部分，f (x) = Sin x的图象分布在区域和部分，f(x) = | x2 1|的图象分布在、和部分，故选6.当实数x+ 2y 4W 0,x, y 满足 x y 1 w0,x1时，1w ax+ y4恒成立，则实数 a的取值范围是解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1 ax+ y0且在A(1,0)处取得最小值， 在政2,1)处取得最大值，所以 a 1,且2a+14,故a的取值范围 是 |1, I .答案：

9、1, |7 .(2018 金丽衢十二校联考)若实数x , y满足x y1 0,y + 1 0,则一的取值范围为x + 1y 0,-x 3y + 60,&(2018 金华十校联考)已知实数x, y满足mx- y 3 0,解析：作出所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x 3y+ 6 0,2x y 30/ X*9$畫厂 2 二 D易得A(3,3)161令 a = x+ 5y 6,即卩 y = x + + a,5 55显然当直线过A（3,3）时，a取得最大值，此时a= 12,当直线过B3,和,a取得最小值，此时8a= 3又z = |a|，所以z的最大值为12.x 3y + 6= 0,由方程组mx- y

10、 3= 0,得A6m+ 3，3m 1，x+ y 2 = 0, mx- y 3= 0,如图，易得D（0， 3）,所以 S A B” C= S A CDB” CD=2x 5X活 i= 30,即 9吊+ 6m- 8= 0,所以 m= 34或m= 3（舍去）.32答案：122部).如图所示.9.已知D是以点A(4,1),氏一1, - 6) , C( 3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内(1)写出表示区域 D的不等式组. 设点B( 1, 6) , C( 3,2)在直线4x 3y a= 0的异侧,的取值范围.解： 直线 AB, AC； BC的方程分别为 7x 5y 23= 0, x+ 7y 11 =

11、0,4 x+ y+ 10= 0.r7x 5y 23 0.(2)根据题意有4 x ( 1) 3X ( 6) a4 x ( 3) 3X 2 a 0,即(14 a)( 18 a) 0,解得18 a 1,10.若x, y满足约束条件 仔y 1,L2x y 2.1 1(1)求目标函数z = x y+的最值; 若目标函数z = ax+ 2y仅在点(1,0)处取得最小值，求 a的取值范围.a .1 - 2，解得4 a解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4) , B(0,1) , C(1,0)1 1平移初始直线 y+ 2= 0,过A(3,4)取最小值2,过C(1,0)取最大值1.所以z的最大值为1 ,最小

12、值为2. 直线ax+ 2y= z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知故所求a的取值范围为(一4,2).三上台阶，自主选做志在冲刺名校0,y w 2x+ 6,则x+ 3y的最大值为；若x2+ 4y2w a恒成立，则实数a的最小值为y w x,解析：作出不等式组 y0,y w 2x+ 6所表示的平面区域如图 1中阴影部分所示,由图1可知，当u= x+ 3y过点A（2 , 2）时,u = X+ 3y 取得最大值Umax= 2+ 3X 2= 8.w x.令x = x , 2y= y，则原不等式组等价于尹w 2x+ 6,2x y 0, 即y 0,4x + y 12w 0,作出可行域如图2中阴影部分所

13、示，由图 2可知,y 2的最大值为原点到点B（2,4）的距离的平方,易得|OEB2= 22+ 42= 20 ,所以a的最小值为20.答案：8202.某工厂投资生产利润300万元；投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m2，可获每生产一百吨需要资金300万元，需场地100卅，可获1 400万元，场地900 m2,问：应做怎样的组合投资，B产品时,利润200万元现某单位可使用资金可使获利最大?资金（百万兀）场地（百平方米）利润（百万兀）A产品（百吨）223B产品（百吨）312限制149解：先将题中的数据整理成下表,然后根据此表设未知数，列出约束条件和目标函数设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元,2x+ 3y w 14,则约束条件为 2x+ y w 9,x0, y0,It目标函数S= 3X + 2y.作出可行域如